多解多变 提升能力

王友峰

【课本原题】（苏科版《数学》教科书八年级上册第132页练习题第2题）已知点A（2，y1）、B（1，y2）在反比例函数y=[kx]（k<0）的图像上，比较y1、y2的大小.

【多解分析】方法1（计算法）：∵点A（2，y1）、B（1，y2）在反比例函数y=[kx]（k<0）的图像上，∴y1=[k2]，y2=k.又k<0，∴y1>y2.

方法2（性质法）：∵k<0，∴反比例函数图像在第二、四象限内，且在各自的图像内，y随x的增大而增大，A、B两点在同一象限，2>1，∴y1>y2.

方法3（图像法）：画出函数y=[kx]的图像（草图略），标出A、B两点，由图像可知y1>y2.

若将两个点的横坐标用字母来表示，则得到苏科版《数学》教科书八年级上册第145页复习题“探索研究”第12题：已知点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在反比例函数y=[kx]（k<0）的图像上，且x1

【演变过程】课本原练习题已知了自变量的具体数值，直接通过计算或增减性或画图就能判断y1、y2的大小，而复习题则需要对P、Q两点的位置分类讨论.改变题目的条件或结论，变式拓展，就可以得到许多中考题.

【考题在线】

变式1：（2016·甘肃天水）反比例函数y=[-1x]的图像上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1<0

A.y1

C.y1>y2>0 D.y1>0>y2

【分析解答】本题给出了具体的反比例函数解析式和图像上两个不在同一象限的点的坐标，比较两个反比例函数值的大小.解题关键是画出图像，数形结合，直接观察获解.如图1所示，观察图像发现若x1<00>y2，故选D.

【解后反思】本题是选择题，因此也可采用特值法，如令x1=-1，x2=1，可求得y1=1，y2=-1，由1>0>-1得到y1>0>y2.

变式2：（2016·四川成都）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点都在反比例函数y=[2x]的图像上，且x1

【分析解答】本题给出了具体的反比例函数的解析式和图像上两个在同一象限的点的坐标，比较两个反比例函数值的大小.可以采用解决课本练习题的三种方法求解，请同学们自己试一试，答案是y1>y2.

变式3：（2016·福建龙岩）反比例函数y=[-3x]的图像上有P1（x1，-2），P2（x2，-3）两点，则x1与x2的大小关系是（ ）.

A.x1>x2 B.x1=x2

C.x1

【分析解答】本题给出了具体的反比例函数解析式和图像上两个在同一象限的点的坐标，由反比例函数值大小来比较自变量值的大小.也可采用解决课本练习题的三种方法求解，答案选A.

变式4：（2016·新疆生产建设兵团）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=[kx]（k≠0）图像上的两个点，当x1y2，那么一次函数y=kx-k的图像不经过（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【分析解答】本题给出了反比例函数的解析式和图像上两个在同一象限的点的坐标，考查由点的横坐标与纵坐标的大小关系来确定反比例函数的增减性，得出比例系数k的性质符号，进而判断一次函数图像经过的象限.由A、B两点坐标，当x1y2，可知当x<0时，y随x的增大而减小，故k>0，所以

-k<0，所以一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，不经过第二象限，故选B.

变式5：（2015·江苏泰州）点（a-1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数y=[kx]（k>0）的图像上，若y1

【分析解答】本题给出了反比例函数的解析式和图像上两个横坐标含参数字母a的点坐标，要求由横坐标与纵坐标的大小关系来确定参数字母a的取值范围.∵k>0，∴在图像的每一支上，y随x的增大而减小.但由于参数a的变化，两个点可能在双曲线的同一支上，也可能在双曲线的两支上，因此需要分两种情况进行讨论求解.答案是-1

【解后反思】本题是由课本练习题和复习题综合而成的，它有以下三个特点：一是将原题的条件、结论交换，变为根据函数值的大小关系判断自变量值的大小关系问题，考查了逆向思维能力；二是两点的横坐标a-1、a+1隐含了大小关系，考查将隐性信息转化为显性条件的能力；三是在解题时要结合图像，用分类方法进行探究与尝试，既考查了分类思想、数形结合思想，也考查了操作探究能力.

变式6：（2016·天津）若点A（-5，y1），B

（-3，y2）、C（2，y3）在反比例函数y=[3x]的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）.

A.y1

C.y3

【分析解答】本题是在原题的基础上将比例系数k变为常数，将图像上的点增加到3个，且3个点不都在同一象限内，解决这类问题上述三种方法仍适用.

方法1（计算法）：把x=-5、-3、2分别代入得y1=-0.6，y2=-1，y3=1.5，所以y3>y1>y2.

方法2（性质法）：∵k=3>0，∴反比例函数图像在第一、三象限内，且在各个象限内，y随x的增大而减小，A、B两点在同一象限，∴y1>y2；又点C在第一象限，∴y3>y1>y2.

方法3（图像法）：画出函数y=[3x]的图像（草图，图略），按照要求标出A、B、C三点，由图像可知y3>y1>y2.

【解后反思】根据反比例函数的增减性确定图像上的点的纵坐标值的大小，要分同一象限和不同象限内的点进行比较，同一象限内的点可根据增减性进行比较，不同象限的点可根据纵坐标的正负性进行比较.上述三种解法各有特色，要灵活选用，也可相互验证.

【总结归纳】纵观上述试题，它们都可看成是由课本中的一道练习题和复习题，通过变式、综合、拓展而成的，这就启发我们在复习中不要舍本逐末，要在掌握课本基础知识、基本技能和方法的基础上，将课本中的例习题进行改编、演变、拓展等“再创造”，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，在例习题的探索中潜移默化地学会发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，这样就能以一当十，进而有效地提高复习效率.

（作者单位：江苏省苏州工业园区青剑湖学校）