教材习题自然生长 数形互译提升能力——与七年级学生探讨弦图内的无理数边

苏 斌（浙江省温州市第十四中学）

曾小豆（浙江省温州市外国语学校）

教材习题自然生长 数形互译提升能力
——与七年级学生探讨弦图内的无理数边

苏 斌（浙江省温州市第十四中学）

曾小豆（浙江省温州市外国语学校）

数与形是数学中两个最基本的研究对象，数可解形，形能助数.用“形”的直观可阐述无理数的抽象，提升学生对无理数本质的认识.通过深入解读教材，领悟编者意图，从一道习题入手，充分挖掘其潜在价值，增强学生对图形和数据关联的处理能力，培养学生的数感和几何直观.

数形结合；过程教学；分割补形

浙教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“浙教版教材”）七年级上册第三章“实数”，为说明无理数的存在，安排了几道求弦图内部正方形边长的习题.在未学勾股定理的前提下，学生面对这类题目只能先求正方形的面积.笔者反复思考学生的学习起点，充分关注学生解题过程中的思维障碍，重新整合教学素材，在近期的名师工作室活动中开出一节知识方法拓展课“网格中边长为无理数的正方形”，在七年级学生心里预先埋设一颗思想方法的种子.现将教学过程和教学反思呈现如下.

一、价值分析，目标定位

赵爽弦图蕴含丰富的数学知识，承载着深刻的数学思想.即便是同一名学生，在不同阶段探索弦图，也会有新的发现.九年级阶段，学生已具备综合运用三角形外角、三角形全等、四边形、勾股定理、三角形相似等知识技能，以及数形结合（构造图形解决代数问题）、转化（间接法求面积）、建模（弦图模型）等思想方法，并能全方位、多角度地看待和解决此类问题.然而对于刚入学两个月的七年级学生而言，他们仅学过有理数的运算和无理数的概念，没有深刻感知过无理数的存在，对线段长度的认识还停留在有理数上；而且只知用公式求几何图形的面积，缺少求不规则形状或特殊位置图形面积的一般方法.本节课试图通过让学生经历用分割和补形等方法求弦图内部正方形的面积，归纳求图形面积的一般方法，并在构造正方形和开平方求取线段长度的过程中感受无理数边的存在.

二、回归教材，找准起点

上课伊始，教师在黑板上随意画一条线段，问：这条线段的长度是有理数还是无理数？

生：有理数.

师：一定是有理数吗？

生：可能是无理数.

师：同学们见过长度为无理数的线段吗？这种线段理论上能作出吗？今天我们就借助网格来探讨这个问题.

【设计意图】在学生的认知结构中，“长度为无理数的线段”尚属新鲜事物，不妨借此机会拿来说一说.现实生活中，线段指代的对象总可以用有理数来表示其长度，因为我们平时测量长度时往往会取近似值，所得数值是有限的，自然也就“有理”了.可理论中的线段却做不到这一点，在同一条数轴上，两个有理数表示的点之间，有无限个无理数表示的点.

浙教版教材七年级上册第71页为引入无理数所设置的经典范例入口宽，易上手，能让每位学生迅速进入问题情境，并产生自己的初步想法.

例1 如图1，每个小方格的边长为1，在2×2的网格内有一个阴影正方形，回答下列问题．

图1

（1）阴影正方形的面积是多少？（2）阴影正方形的边长是多少？应怎样表示？

师：我们首先来解决第（1）小题，谁来回答？

生1：阴影正方形的面积是2.

师：哪位同学能说说自己求阴影正方形面积的算式？你能否用图形来解释所给出的算式？

抛出问题后，教师并不急于讲解，而是让学生有足够的时间读懂问题和展开思考.学生提供的思路五花八门，其中不乏精彩和机智的回答.所用方法有如下几种.

方法1（直接法）：将阴影正方形分割成四块等腰直角三角形，并求其面积之和.

教师在算式下方给出如图2所示的图形解释.

图2

方法2（直接法＋平移法）：将阴影正方形分割成四块等腰直角三角形，再拼成一个矩形.

教师板书学生所说算式的同时，和学生一起商讨，最终得出图形解释，如图3所示.

图3

方法3（间接法）：整个网格减去外围四块“多余”的等腰直角三角形.

学生经历自主探究，合作交流，给出图形解释，如图4所示.

图4

方法4（间接法＋平移法）：先将阴影部分平移成一个矩形，再用整体减去剩下的“多余”矩形部分.

教师请一位中等生在黑板上给出相关的图形解释，如图5所示.

图5

【设计意图】在教学过程的核心环节，把简单问题说透彻，说尽方法，道出本质，可以为后续学习过程提供知识线索，是将教学效益最大化的有效手段.以上方法的探讨和获取用时10分钟，教师不惜时，不惜力，将算式与图形相关联，有效沟通数与形之间的联系，尽显数形互化的魅力.做足过程的同时，也初步落实了分割补形和转化等基本思想方法.

师：阴影正方形的面积为2，边长是多少？

生2：边长为1.

师：1乘以1等于……

生：不对，边长不是1.

【设计意图】这四种方法有共同点，并各有和自身特色，从基本图形上看，用到了等腰直角三角形或矩形；从计算方法上看，有分割后直接相加和补形间接相减.方法1和方法3是直接利用阴影正方形中的等腰直角三角形，更多地考查学生的基本运算能力；方法2和方法4是将四个等腰直角三角形拼接成一个矩形，使得阴影正方形面积可从所占网格中直接数出来，更重几何直观.学生喜欢平移拼接，因为平移理顺了分析过程，简化了所列算式.学生的思路在这一环节被激发，为后续问题的求解埋下伏笔.

三、归纳方法，提炼思想

如图6，用几何画板软件，化静为动：让阴影正方形的四个顶点以相同的速度顺时针运动.

图6

师：运动过程中什么改变，什么不变？

生3：面积改变，边长改变，形状不变（还是正方形）.

师：那么上述计算面积的四种方法是否依然适用？

生3：上述方法2和方法4不能用了，因为无法再拼成一个矩形.

师：同学们说得很好，方法1和方法3是分别从内部分割和外部突破求面积，合称为割补法，可推广到一般情况.而方法2和方法4的平移拼接过程可将图形化繁为简，就看同学们下面能否灵活运用了.

【设计意图】通过几何画板软件中正方形顶点的运动，让学生感受到网格中的正方形也可以是倾斜的，打破作图的思维定势，为知识和方法的迁移做好准备.动静结合，培养学生的动态几何思维.

变式训练：如图7，求在每个小正方形边长为1的4×4网格中阴影部分正方形的边长.

图7

学生独立思考2分钟后.从学生的反馈来看，他们更多地关注到图7外围的四个直角三角形.多数学生用减法算式得出阴影部分的面积为3＝10.

师：阴影正方形的外围四个直角三角形都是一样的，同学们能不能在阴影正方形内部找到这样的直角三角形？

生：……

经过短暂的思考，有个别学生意识到阴影部分内部也藏着四个直角三角形，它们分别和外围的四个直角三角形交相辉映，可以拼成面积为3的两个矩形，不同的是，中间多出一个2×2的小正方形.

师：谁能将自己的想法表达清楚？

生4：如图8，将阴影正方形内部分成五块，并给他们标上序号.移动直角三角形①，②，并分别与直角三角形④，③拼接成两个矩形，阴影部分面积为3＋3＋4＝10.

图8

生5：同理，阴影正方形外围的四个直角三角形也可以拼成两个面积为3的矩形，对应的面积算式为16－3－3＝10.

师：同学们分割得很到位，而且拼接得也很巧妙.可见上述的方法2和方法4仍然适用，只不过拼成的图形由原来的两个正方形变成了现在的两个矩形.

【设计意图】即便之前已经讨论过2×2网格内正方形的面积，学生面对稍大些的网格，仍然会存在思维障碍.通过变式练习，让学生进一步体验以上的四种面积求法，强化“平移拼接可以进一步简化计算”的认识，在反思的过程中将以上方法真正纳入自身的认知结构中.由于阴影正方形内部线段较多，如何分割一时成为难点.教师可设置如下问题：我们知道2× 2网格中可以分割出八个相同的等腰直角三角形，那么在4×4网格里有没有这样的直角三角形呢？面积的获取是为进一步求得边长，及时的总结和反思能确保学生碰到此类问题时想到先求面积.数学是思维的科学，合理地组织数学活动（教师启发引导，学生交流讨论，验证结果，展示成果，教师追问，学生反思，师生归纳结论），是做实过程的有效方式.

以上的题目都是给出图形，计算面积.为了进一步培养学生的几何直观，下面一题是给定面积，求作正方形.

例2 如图9，在边长为单位1的小正方形组成的3×3网格内作出面积为5个平方单位的正方形，并求出这个正方形的边长.

图9

生6很快“凭感觉”画出图形（图略），并说出边长为

师：你能把所画的图形分成几部分？

生6：将所求的正方形分成五块，先确定网格正中间的小正方形为其中1块，则其余四块直角三角形的总面积为4，每块的面积为1.考虑直角边取整数，它们的两条直角边分别为2和1.

师：生6将所求面积拆成五份，再逐一分配给我们刚刚讨论出的“五块结构”，优先分配正中间这块，他的运气很不错，仅一次就尝试成功了.如果求作的正方形面积再大一些，同学们可要多尝试几次了，还有其他方法吗？

生7：3×3网格的面积为9，所求正方形的面积为5，多出的面积是9－5＝4.所以外围的四块相同的直角三角形的面积分别为1.外围四块的直角三角形大小和位置一旦确定，所求的阴影正方形也随之确定.考虑直角边取整数，它们的直角边分别为2和1.

师：说得很好，生7从外围四块直角三角形的总面积出发，求出每块的面积，再得边长，分析了作图的可行性.3×3网格的外部边长为3，将每条边分成2和1，刚好能作出四块面积为1的直角三角形.

【设计意图】数学不是教结果，而是教思考的方法和过程.虽然“由图算数”和“由数构图”都用到“5块结构”，却是相反的思维过程.此题并不是上一环节的简单重复，在给定面积，构造正方形的过程中需要估算作图的可行性和多次尝试构图，对学生的思维提出了进一步的挑战.

四、技能演练，知识应用

练习：如图10，利用上面几个小题的解题经验，在5×5的网格内作尽可能多的格点正方形，并用阴影部分表示.回答下列问题：① 作出的阴影正方形的面积是多少？② 阴影正方形的边长是多少（结果保留根号）？

图10

经过2分钟的独立思考和3分钟的合作交流，每组学生派代表上来轮流展示.

其中生8的答案引起了笔者的注意，初看似乎有点杂乱无章，细品方知该生思维严谨.如图11，他在5×5网格内画出十一个面积各不相同的正方形（包括网格中原有的1×1到5×5这五个正方形），其中有五个有理数边，六个无理数边，不经意间将5×5网格内的所有无理数边尽收眼底.

图11

用代数观点来解释生8的探究成果：如表1，设正方形网格内的最长边被分割后的长度分别为x和y，以5×5网格为例，x＋y＝5，且x，y为整数（分割点位于格点上），可分成（1，4）或（2，3）这两种情况.（4，1）在图形上与（1，4）相同.由于5×5网格内包含4×4，3×3和2×2网格，再用同样的方法讨论一遍，共有6对整数解，对应6条无理数边.学生思维之有序，作图之创新，令人称奇.

表1

师：随着网格的扩大，正方形的画法可能不止一种，同学们要向生8学习，注意分类讨论，全面思考.

【设计意图】有以上作图过程的深刻反思做理论和方法支撑，学生完全可以独立解决5×5网格内任意格点正方形的作图和面积计算，教师可放手让学生自主探究.学生各自独立思考后，在小组内分享自己的画法，可以使整组学生得到更多的画法.本想让每组学生上来展示一种画法，却不料一名学生将所有画法叠加在同一张图上，而且一种也没有遗漏.不由感叹，课堂生成无处不在，就看教师能否及时把握.

五、拓展探究，思维提升

由于之前的铺垫工作细致，学生经历充分，体验深刻，学习过程轻松，氛围热闹，解决问题水到渠成.

拓展1：如图12，网格中的每个小正方形的边长为1，如果把阴影部分的“花瓶”剪拼成一个正方形，那么这个新正方形的面积是______，边长是______，如何剪拼？试用虚线画出你的剪拼痕迹，并给你剪出的每一块标上序号：①，②，③，……

图12

拓展2：如图13，在7×7网格中，每个正方形的边长为1，

图13

（1）以线段AB为一边，画一个正方形；

（2）求所画正方形的面积和边AB的长；

（3）如图14，在数轴上以表示-2的点为圆心，以线段AB的长为半径画圆弧，交数轴于点C，则点C表示的数是________.

图14

【设计意图】从拓展1拼剪环节的设置，到拓展2正方形的补全和局部图形的抓取，让学生再次强化网格内正方形的基本结构.通过探索过程中的动手操作积累数学活动经验，促进理性认知的形成，提升学生思维的灵活性和深刻性.

六、知识梳理，教后反思

师：同学们在这节课中都收获了哪些基础知识与基本方法？

经过热烈的讨论，学生提出的方法集中在以下两种.

（1）直接分割法：将阴影部分的面积分割成四个直角三角形和一个正方形.

（2）间接补形法：将阴影部分补成正方形，再减去补上的四个直角三角形的面积.

教师小结：①分割和补形两种方法可以有效解决图形的面积问题，当正面思考问题遭遇困难时，可以考虑间接求法；②重组，拼接，让面积的计算更简便.而我们所做的这一切最终都是为了进一步感受无理边的魅力.

板书设计略.

七、教学反思

面积为2的正方形不容易直接作出，本节课在充分考虑七年级学生知识和经验的基础上，借助网格构建了一系列正方形，数形联动，建立新、旧知识之间的无痕对接.学生在计算面积时发言踊跃，分割图形时思考积极，归纳方法时讨论热烈.

本节课以教材例、习题为生长点，合理组织数学活动，引领学生深入思考，关注知识点落实和自主学习能力培养.由思路的诱导，到方法的提炼，至思维的提升，将过程做实，做细，做深.

［1］范良火.义务教育教科书·数学（七年级上册）［M］.浙江：浙江教育出版社，2013.

［3］陈月兰，杨秀娟.初中生对无理数概念的理解［J］.上海中学数学，2008（6）：11-13.

图3

实际上，在探索问题的教学中，时常会遇到类似生8这样的个案，写本文的目的在于：当遇到类似问题时，愿有一个可供教师参考、借鉴的资料，以便更好地促进学生自主构建知识．

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2016—09—23

苏斌（1985—），男，中学二级教师，主要从事初中数学课堂教学研究.