提炼学习方法 积淀学习经验 提升学习能力——以“函数y=x+的学习”的教学为例

朱敏龙（江苏省南京市金陵汇文学校）

提炼学习方法 积淀学习经验 提升学习能力

朱敏龙（江苏省南京市金陵汇文学校）

通过对“函数的学习”的教学，提出教学分析要依据学生已有的学习经验，活动设计要基于学生学习方法的提炼、学习经验的积淀和学习能力的提升，得出函数图象的教学要经历“大致—精致—一致”的学习过程，教学设计要倡导“逆向设计”模式和数学教学要有利于培养学生数学素养的教学思考.

学习经验；活动设计；教学思考

2015年1月9日至12日在陕西省西安市成功举行了“全国中学数学创新课堂观摩研讨活动暨全国中学数学说课（微课）大赛”活动，笔者受主办方邀请执教了一节自主开发的数学活动课“函数的学习”，并做了有关基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的课堂教学观点的报告，引起了与会教师的共鸣.现谈谈该课的教学分析、活动设计与教学思考，与同行交流.

一、基于学习经验的教学分析

数学教学是数学活动的过程，这样的数学活动，是学生经历数学知识发生、发展和应用的过程，是教师帮助学生建构和发展认知结构的过程，是师生互动、共同发展的过程.《标准》中强调，教师教学应以学生的认知发展水平和已有经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教.为此，无论是教师的教，还是学生的学，都必须理清学生已有认知结构的活动经验.确定本次授课的对象是九年级学生，从学习起点来看，学生已掌握一次函数、反比例函数和二次函数，已经知道函数学习的一般研究思路和研究方法，但章节学习是孤立和分散的.作为研究函数方法的总结、归纳与拓展的数学活动课，笔者选取一个由学生学习过的函数组合成的函数作为知识载体来复习巩固、整合研究函数的方法，学生是能够接受的，也是必要的.同时，通过对新函数的探讨，经历建立模型、解决问题的研究过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题.通过对新函数的探讨，体会参与活动的全过程，并能进行交流，进一步获得数学活动经验.通过对新函数的探讨，感悟所学过知识之间的关联，进一步提升学习能力并培养数学素养.

二、基于教学分析的活动设计

活动1：交流学习体验，提炼学习方法

问题1：我们刚学习完二次函数，在之前学习了一次函数、反比例函数，你认为一般需要从哪些方面对函数展开研究？

学生各抒己见，相互启发和补充，归纳出函数研究的几个方面：要学习函数的概念，要关注函数图象的特征（如位置、对称性、有无最高或最低点等），要关注函数的性质（如增减性、对称性等），等等.

问题2：对于这几方面的研究，总体的研究思路是什么？你有哪些研究方法？

通过小组合作交流，形成研究函数的总体思路（如图1）和学习函数的方法：由“列表—描点—连线”的方法画函数图象；由画图、观察、比较、归纳的方法研究函数的性质；由数学建模的方法用函数的性质解决实际问题等.

图1

【设计意图】在展开新知探究之前，教师以提问的方式引导学生回顾曾经学习过的函数，通过独立思考、合作交流、启发补充，提炼出研究函数的思路和方法.本环节为“如何研究一个新函数”的问题，激活学生已有的知识和经验储备，为新问题的解决提供研究方向和方法.

活动2：促进学习迁移，积淀学习经验

问题3：由正比例函数y=x和反比例函数组合成的函数我们该如何认识呢？

【设计意图】通过活动1环节形成的函数学习体验和方法经验将会对一个新函数的学习产生正迁移.学生自然提出问题：该函数的图象怎样？它具有哪些性质呢？并会做一些思考和判断.

生1：因为分母为0无意义，所以x≠0，y≠0，说明这个函数的图象与x轴和y轴都没有交点.

生3：当x＞0时，y＞0；当x＜0时，y＜0，所以函数的图象在第一象限和第三象限.

【设计意图】不是立刻让学生动手画函数图象，而是先让学生有一个“由数想形”的过程：根据函数表达式中x，y的取值范围及相互关系，初步估计图象的基本概貌.例如，形状（直线或曲线），位置（所在的区域，与直线或坐标轴的交点情况），趋势（上升还是下降），对称性等.

学生通过列表、描点和连线三个步骤操作画图，几分钟后，展示典型学生的函数图象，师生共同分析，学生再进一步完善、修正图象.最后，教师用几何画板软件动画演示函数图象的形成过程（如图2）.

图2

【设计意图】在原先头脑中“大致”的函数图象，学生动手操作，通过“列表—描点—连线”的方法画出函数的图象，在逐步完善中促进“精致”图象的形成，再通过几何画板软件演示形成图象的“一致”.

活动3：反思学习历程，提升学习能力

问题6：经历了画图的过程，谈谈你画函数图象的心得.

【设计意图】一个学习活动结束后，教师要通过追问培养学生解后反思的意识.通过学生的操作反思，归纳函数图象画图的技巧，形成函数图象画图的技能，积累函数图象特征的经验.

学生按照函数自变量的取值范围、对称性和增减性进行了有条理的归纳.同时，有学生说图象很像“耐克”的标志，也有学生说像教师批改作业正确时打的“勾”，借此，教师指出这个函数有人就称为“耐克函数”或“双勾函数”.另外，学生还对每个分支的图象的最低点或最高点进行了讨论和理论推导.

【设计意图】本环节给学生充分的时间进行归纳、探索和合作交流，通过提问与追问引起学生的深思，并启迪学生的思维，培养学生解后反思的意识，积累学生的数学基本活动经验，并深化学生对问题的本质理解.整个过程是曲折的，但学生经历了思考的过程，这样的数学学习是有意义和有价值的.

学生畅所欲言之后，教师指出到高中再学习函数时的思路是一致的，只是更加地具体、精细.例如，函数自变量的取值范围就是指定义域，y的取值范围就是值域，增减性就是单调性，图象的对称性就是指函数的奇偶性等.

问题9：通过今天的函数学习，你还想研究什么函数，请课后探讨，并将研究成果与其他同学分享.

【设计意图】变作业为开放性问题，给学生更大的学习自由，课堂从课内延伸到课外，学生的研究兴趣及研究能力有很大提高.课后发现有学生想到了研究二次函数与反比例函数的组合：有学生想到了研究函数进一步拓展为研究函数y=k1x+（k1，k2为常数）等等，学生的探究潜能是无限的，也将会给他们带来无限的惊喜！

三、基于价值判断的教学思考

1.在结构上，函数的图象教学要经历“大致—精致—一致”的学习过程

本节课对于函数图象的教学过程可分为四个方面：（1）让学生根据关系式这个“式结构”，猜想出函数图象这个“形结构”的“大致”样子；（2）用“列表—描点—连线”的方法逐渐“精致”地画出函数的图象；（3）通过几何画板软件进一步对比“精致”图象与“大致”图象的“一致”性；（4）在“大致—精致—一致”的作图过程中积累画函数图象的学习经验.

因此，函数的图象所承载的教学价值不仅仅是经历用“列表—描点—连线”的方法，让学生的画图技术更熟练，而是让学生先根据函数的关系式，在不需要精确地画出图象前（其实对于一个新的函数，学生也不知道它的图象是个什么样子），能判断函数图象的一些特征和“大致”样子，这是一个智力层面的思维，高于技术层面的操作.另一方面的价值体现在“大致”图象与“精致”图象的吻合度上，这一过程让学生体验成功的乐趣和思考的价值.因此，数学教学的价值不但是教技术、教方法和教技巧，而且是要教研究问题的思维方式、解决问题的基本策略，以及体会数学教育的智慧价值.

2.在设计上，课堂教学要倡导“逆向设计”的模式

日常教学活动中，许多教师关注的是教材中的教学内容，更多的是依据教材的内容安排教学，至于为何选择这些内容、如此安排教学顺序的原由，却缺乏深入的思考.针对这种现状，威金斯和迈克泰（Grant Wiggins&Jay Mctighe）提出了一种“逆向设计（backward design）模式”，主张在教学设计中首先明确学习目标，然后确定实施学习目标的评价方式，最后规划学习经验和教学.这种设计方式有别于传统教学设计将评价置于最后考虑的环节.笔者选择执教“函数的学习”一课，事先进行了充分的教学分析，即先明确学习目标，再确定评价方式，最后设计教学活动.评价设计优先于教学活动设计就是教师带着问题思考教学活动，增强教学活动的针对性，使得预期学习结果、学习成绩、教学与学习行为之间实现有机的关联，确保学习目标的实现.

3.在本质上，数学教学要有利于培养学生的数学素养

初中数学教学要引领学生经历“问题提出、探寻捷径、实践操作、交流评价”的“微科研”的过程，真正做到学以致用，学用结合.“函数的学习”一课，让学生认识到面对一个新函数，都可以运用已有的研究函数的“通性、通法”（思路、方法）去研究它，这不仅提高了学生解决问题的能力，还给了学生一个解决问题的方法.在这样的“微科研”过程中，学生通过提炼学习方法，积淀学习经验，从而提升学习能力——发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，进而增强了学生的问题意识和创新意识.这样的过程性教学，是培养学生数学素养的有效策略.

［1］卜以楼.大致—精致—一致：“反比例函数的图象”教学分析及思考［J］.中学数学教学参考（中旬），2014（6）：6-8.

［2］李锋.基于标准的教学设计：理论、实践与案例［M］.上海：华东师范大学出版社，2013.

［3］史宁中.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2016—09—14

江苏省教育科学“十二五”规划重点资助课题——初中数学体验室建设与利用的研究（B-a/2015/02/029）．

朱敏龙（1972—），男，中学高级教师，教育硕士，主要从事中学数学教与学的理论与实践研究．