基于认知心理谈几何题的解题教学

顾广林（江苏省泰州市九龙实验学校）

基于认知心理谈几何题的解题教学

顾广林（江苏省泰州市九龙实验学校）

几何题的解题教学是数学教学的重要内容．从认知心理学角度看，解题技能是在解题策略的调控支配下实施的，而解题策略是解题者心理活动的产物.因而，帮助学生提升解题策略水平，应该成为解题教学的根本之道．基于解题的认知心理，结合实例，从问题表征、模式识别、知识迁移、思维监控四个环节阐述了几何解题的教学设计，以期对提高解题教学的效率有所助益．

认知模式；解题教学；模式识别

数学学习中，做习题学生是必须经历的环节，做习题的过程是应用数学知识解决问题的过程．解题训练的目的是使学生加深对数学概念、原理的理解，巩固所学的知识和技能，培养数学能力，因此教师必须重视解题教学．但在目前的解题教学中，部分教师还停留在把解法演示一下或在学生思维参与度很低的情况下热衷于解法的罗列，造成学生依赖性的复制模仿，试题一变，学生就找不到解题思路了．从认知心理学角度看，解题技能是在解题策略的调控支配下实施的，而解题策略是解题者心理活动的产物.所以，解题教学与其说是教“解”法，不如说是教“想”法，帮学生提升策略水平，才是解题教学的根本之道．下面基于解题的认知心理学理论，例谈如何进行几何题的解题教学．

一、数学解题的认知模式

从认知心理学角度分析，数学题的解答，是在问题空间中寻求一条由问题初始状态到目标状态的通路，即一个数学问题由初始状态A，目标状态B和解题规则组成，因而解题分为理解问题、选择规则、应用规则、结果评价四个阶段．与此对应，其认知过程分别为问题表征、模式识别、知识迁移、思维监控．这样就形成了解题认知模式，如图1所示．

图1

这个模式说明解题是在元认知的调控下，解题者对问题进行表征，对问题进行模式识别，然后将解题图式（基础知识、解题策略和解题经验）进行提取、迁移，进而达到目标状态的信息加工行为，最后对解题过程和结果进行再思考和拓展．

二、几何题解题教学设计

题目已知：如图2，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．求证：AM=DM．

图2

1.问题表征

首先，引导学生从题目的基本构成去充分表征已知条件，即要从理解题意中捕捉有用的信息．具体的做法就是通过进行文字语言，形象语言，数学语言之间的转化，从题目的叙述中获取数学“符号信息”，从题目的图形中获取数学“形象信息”．

（1）从题目的文字中获取符号信息：AE=BE，AC⊥ME；

（2）从题目的图形中获取形象信息：AC为角平分线，或四边形的四边相等，或若连接BD（如图3），得BD⊥AC，EF∥DB；

图3

这三个信息不是题目叙述直接告诉我们的，而是我们通过图形间接感知的．有了这样的表征，标出得到的信息，学生就沟通了已知与未知的联系，大脑中也就自然冒出了一些解法的念头，所以图2和图3有本质的区别.从图形中提取，过滤出形象信息是学习几何的基本功．有时候，难就难在怎样提取，妙就妙在恰当过滤．

表征方式是实现有效思维的重要方面．问题的表征能力不仅包括对对象的形式化的表征，也包括对研究问题的思维过程与认知方式的表征．对于一个对象，要引导学生：你能想到什么？也就是看到这个对象你能联想到怎样的东西？能否根据你的联想用适当的方式将问题进行重新的表征？在遇到困难的情况下，你能否变换表征形式，调整思维方向？有时在思维受阻时，多维表征是思路产生的灵感源泉．可以说，正确的问题表征是解题的必要前提．

2.模式识别

基于前文四个时段内人均生态足迹、人均生态承载力计算结果，在SPASS软件中分别拟合回归方程，预测该区域2020年的人均生态足迹与人均生态承载力值，推算2020年生态盈余与生态压力指数，以此判断未来2020年公园的可持续发展的趋势。

模式识别是一种知觉过程．人们能够确认他所知觉的某个模式是什么，而且将它与其他模式区别开来的过程称为模式识别．在数学解题中，模式识别是指对数学模式的再认．就是要引导学生尽力从自己的长时记忆中搜索有关的模式，用已有模式解决当前问题.怎样进行模式识别教学设计呢？

模式识别必须揭开条件与结论之间的内在联系．怎样揭开呢？教师提出问题：由条件（用P表示条件）能推出什么结论（用Q表示结论）？证明结论需要什么条件？

由前面的表征易得条件P={AE=BE，AC⊥ME，BD⊥AC，EF∥DB，▱EBDF， }…… ，要得到结论Q还要引导学生从长时记忆储存中激活并提取与证明线段相等的图式（如图4），以便灵活地提取有用信息解决问题．

图4

这道题是要证明线段相等，可引导学生从记忆储存中提取以下有用信息：（1）证明两条线段相等的方法主要有全等三角形性质，等角对等边，特殊四边形的性质；（2）有“两条线”重合的三角形是等腰三角形；（3）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（4）存在如图5所示的基本图形．结合表征得到结论Q={△AEM≌△DFM，问题转化为如何P→Q（“→”表示依据解题规则进行的操作）．存储机构中提到的有关信息结合起来，进行加工、重组与再生，不难发现，由条件P中的信息可以证明四边形EFDB为平行四边形，进一步可以证明△AEM≌△DFM或AM=AE．这样得到解题的模式，一是利用全等三角形证明线段相等的模式，二是运用平行四边形对角线互相平分证明线段相等的模式，三是考虑用等量代换证明线段相等的模式等．模式识别沟通了条件和结论的联系，或者说找到了条件和结论的深层结构，解题思路也就基本清晰了．

图5

引导学生自觉地、坚持不懈地进行这样的结构分析，将有效提高学生模式识别的能力，将综合提高学生运用知识、调动方法的能力．

3.知识迁移

以上是将两组信息和记忆储存中的信息进行有效的组合，进行模式识别，使问题成为一个和谐的逻辑结构．在此基础上，再引导学生提取适用该题的相应方法解决问题，这个过程就是知识迁移（应用规则），最终使问题化归为简单的或学生熟悉的问题．这个过程的关键是引导学生对问题的有效感知与观察，要善于变换角度，抓住要害特征，充分揭示待解问题与已学过的命题或已解决的问题之间的抽象关系，一旦学生明确这种关系，迁移就会产生，就能较快的形成如下多种解题方案.

方法1：联想AC为∠BAD的角平分线，可以证明△AMN≌△AEN，得AM=AE.也可以运用等角对等边，得AM=AE．由E为AB的中点，得又根据菱形的性质，得AB=AD，所以

方法2：联想AC⊥BD，得EF∥BD，得四边形EFDB为平行四边形，得到AE=BE=DF，且AE∥DF，得到四边形AEDF为平行四边形，所以AM=DM．

方法3：联想如图5所示的基本图形，由以上分析易证明△AEM≌△DFM，得到AM=DM．

在以上的教学过程中，教师要注意突出学生学习的主体地位．具体来讲，就是要把教师的精辟分析让位于学生的思索与感悟，使学生形成相应的问题解决技能，表现出自我获取知识的独立建构行为，这样才能使学生对几何问题达到关系性理解的层次．

4.思维监控

至此，问题似乎解决了，这也是教师平时解题教学中常常出现的问题．这时还要引导学生对解题结果进行评价，解题后的评价实际上也就是自我监控或反思的过程，目的在于知识的积累与扩充，完善认知结构．例如，对解题过程进行整理，对其中涉及的基础知识、数学思想和方法进行归纳总结，对不同解题思路进行比较，并思考优化，改进解题过程，所以这这是学习过程中的一个再概括环节.由于是在已有实践基础上进行的学习活动，因此学生对问题所涉及的知识、思想和方法的体验、领悟会更加深刻．

例如，引导学生看看是否还有更多、更简单的解法？引导学生进一步思考，学生会发现以上方法存在着思维定势，原因是没有从整体上抓住题目的本质特征.事实上M，E分别为AD，AB的中点，ME为△ABD的中位线．由此得到更为简洁的方法4：由EM∥BD，E为AB的中点，根据平行线等分线段定理推论1，可得AM=DM．从笔者多年的教学实践看，这种简洁的方法很少有学生能够发现，说明学生整体把握问题的能力欠缺．

教师还应对问题进行变式训练，这是思维监控（结果评价）的一项重要环节．

（1）能用数形结合的方法解决此题吗？根据菱形的性质，可以以对角线为坐标轴建立平面直角坐标系，结合三角函数的知识解答问题．

（2）教师还可以引导学生把条件和结论做适当的修改变换，例如，①对条件进行“弱抽象”，将菱形改为对角线互相垂直的四边形，结论仍然成立．若改为平行四边形或矩形呢？②对条件进行“强抽象”，结论当然成立；③本题还可以得到其他结论，如NC=

解题后对题目本身及解题方法的重新认识，可以收到“解一题，带一片”的效果，更好地发挥习题的普遍迁移功能，提高学生的元认知能力，长期积累可以升华为学生的数学才华．思维监控应当贯穿于整个解题过程，解题中的监控目的在于调节自我行为，解题后的监控目的在于对知识的积累与扩充，完善认知结构．更为重要的是，学生会从解题中获得愉快的体验，并接受到数学文化的熏陶．

最后用石志群先生的一段话作为结束．教师自身的解题素养是其教学能力的重要组成部分，希望我们的数学教师多读一些解题理论方面的书籍，多独立解决一些有价值的数学问题，提高自己的数学解题素养，只有这样才能提高指导学生学会解题的能力．

［1］喻平．数学教学心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，2010．

［2］罗增儒．数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008．

［3］石志群．充分突出学科本质 有效测试数学素养：江苏省2010年高考数学试卷评析［J］.中学数学月刊，2010（7）：1-4.

［4］沈岳夫．以“本”为源巧建模 提炼规律妙解题：对一类函数视角下平行四边形顶点坐标求解的研究［J］．中国数学教育（初中版），2014（11）：43-47，64.

2016—09—14

顾广林（1964—），男，中学高级教师，主要从事数学文化价值及数学教学有效性研究.