让“权”递进式地彰显理性价值——“加权平均数”的教学分析及思考

卜以楼（江苏省南京市宁海中学分校）

让“权”递进式地彰显理性价值
——“加权平均数”的教学分析及思考

卜以楼（江苏省南京市宁海中学分校）

加权平均数是描述数据集中趋势的一种定性表述，其理性价值在于让学生在问题情境中，让“权”浮出水面，感受研究“权”的可能性；发现“权”的价值，感受引入“权”的必要性；彰显“权”的理性，感受凸显“权”的重要性；根据“权”的属性，感受揭示“权”的本质性.加权平均数要在这“四性”中，让“权”递进式的生长、发展.

加权平均数；“权”的价值；递进式呈现；活动设计；教学思考

笔者曾在2011年江苏省第二届“苏派名师”课堂教学研讨活动中上了一节“加权平均数”的展示课．下面从价值判断、活动设计、教学反思三个方面谈谈“加权平均数”这节课的个人教学主张．

一、基于价值判断的教学分析

1.课程价值在于让统计成为发展学生理性思维的有效载体

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出：了解在现实生活中有许多问题应当先调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴含的信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法．为此，统计这门学科的教学活动，要从有背景的问题起航，以数据分析为主要内容，挖掘数据中隐含的信息，运用归纳而非演绎的思维方法分析研究，并做出理性判断．要注意的是，对用不同方法分析得到的结论没有对错之分，只有好坏之说，否则就会失去它存在的价值．一句话，统计的教学价值就是发展学生的理性思维，让人讲道理，以理服人．所以，有人说，真正能让人产生理性思维的学科是统计．

2．课时价值在于运用情境引导学生自主建立“权”的概念

“加权平均数”是苏科版教材中“数据的集中趋势和离散程度”第一节“平均数”第二课时的教学内容．教材于2014年做了修订，修订前此内容放在八年级上册第六章，修订后移至九年级上册第三章．修订前的教材内容是直接提供“权”，让学生计算平均数，通过计算结果让学生理解“加权平均数”的意义．修订后的教材，做了技术处理，提供了对同一问题采用不同的方法计算平均数，得到不同的结果，让学生来辨析哪种方法合理，来理解“权”的本质，可谓是一个创新之举．无论是修订前的教材还是修订后的教材，对根据给定的“权”计算加权平均数处理得较好，但对研究“权”的必要性这一事关概念教学成败的关键性要素还有开发的空间．

笔者认为，概念教学的关键就是要让学生深知建立这个概念的必要性，如果抓住了这个“牛鼻子”，概念教学就成功了一半．加权平均数的课时教学价值，一方面，在于让学生根据提供的“权”计算加权平均数；另一方面，是在实际问题的情境中让学生基于理性，自主地发现“权”的作用，并能定位“权”．要营造一个“权”的思维“场”，在这个“场”中，让学生有自发产生“权”的欲望、认识研究“权”的必要性，有自主得到加权平均数的计算方法与计算公式的倾向．

3．教育价值在于设计思维活动，教育学生“权”为“理”用

“权”是反映一组数据的“重要程度”，教学中要列举典型的、贴近学生生活、具有现实意义的例子，通过改变“权”的数值，让学生体会“权”对计算结果的影响，加深对“权”的理解和体会，渗透平均数和“权”的统计思想．在这一活动中，要注意渗透“权”为“理”所用的思维取向，对学生进行教学不仅是一门讲推理，还是一门让人讲道理的学科教育，即借助这个学习载体对学生的世界观、人生观、价值观进行熏陶和教育，正确地影响学生的情感．

根据上述的价值判断，结合学生已有的认知结构和心理特征，本节课教学要达成下列三个目标．一是在实际情境中，让学生自主地产生“权”，并理解“权”的意义；二是会计算加权平均数，并在计算过程中体会“权”的差异对结果的影响；三是理解算术平均数和加权平均数的联系和区别，能利用它们解决实际问题，并在此过程中体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心．其教学重点在于引导学生理解“权”的作用和加权平均数的意义．

二、基于教学分析的活动设计

基于这样的价值判断，教学中可以建构下列教学活动，实现上述教学价值．

活动1：建构概念

问题1：学校电视台要招聘一名采访小记者，现对招聘人员“采访写作”这一素质进行测试．如果第一考场平均分为84分，第二考场平均分为76分.你能计算出参加这次所有招聘人员“采访写作”测试的平均分吗？

【设计意图】让学生在理性中孕育“权”．通过对这个问题的研究与探索，让学生知道这次所有招聘人员“采访写作”测试的平均分除了与每个考场的均分有关，还与每个考场的参考人数有关．事实上这里的“每个考场的参考人数”就是这个考场测试平均分的“权”．但是在这里又不给出“权”的概念，关键是让学生关注还有一种计算平均数的方法，这种计算平均数的方法与上节课学习的“算术平均数”的计算方法有所不同．这样就为“权”粉墨登场营造声势，为孕育“权”埋下生命的种子，也为研究“权”提供了可能性．

生成预设：如果学生用这种方法计算平均数，要舍得花时间让学生尝试、交流，并引导、讨论用这种方法计算两个考场所在参考人员的平均数是否合理？应该怎么计算才是最合理的．显然“问题1”是本节课的有效出发点，是一个“孕育‘权’”的过程．

问题2：学校电视台要招聘一名工作人员，小平、小华报名参加了三项素质测试，成绩如表1所示．

表1

如果这名工作人员将负责栏目策划工作，假如你是电视台台长，将如何确定人选？

【设计意图】 让学生在理性中诞生“权”．问题中给出的小平与小华的三项成绩总分、平均分都相同，让学生体验用已有经验和方法来确定人选的方法是不可能的．即用“总分”或用“算术平均数”的方法已不能解决这个问题了，那么就必须要建立新的标准和方法来选拔人选．这个新标准、新方法是什么呢？从而引发学生自发、自主、独立思考，且在“愤”与“悱”的氛围中思考．在这里显然就是人为制造矛盾，为诞生“权”提供基础保障，为进一步研究“权”打好基础，积累经验，让学生认识研究“权”的必要性．

生成预设：这个问题的生成空间比较大，教学中可从下列两个方面进行预设，并根据教学机智加以随机把握和调整．一是学生认为要招聘的这名工作人员将负责栏目策划工作，为此，在均分（或总分）相同的情况下，可以从应试者的“创意设计”分上做选择.这时要充分肯定这种方法的合理性，并追问“你为什么可以从应试者的‘创意设计’分来决定人选”，此时，“权”就从幕后走向台前．因为“创意设计”这一素质对“栏目策划”这一工作较“采访写作”“计算机”更为重要，这时“重要程度”就出来了．在获得这样的探索成果时，可提出“除了这种方法，还有其他更合理的方法吗？”的问题，让学生思考，逼学生尝试用“权”这个量来解决问题．二是学生此时还想不到用“权”的思维来解决问题，可将表1中的成绩调整为表2，让学生做选择．表2中小平、小华的平均分（或总分）不相同，你又怎么做选择？此时，如果仅从三项测试的算术平均数来判断，或仅从“创意设计”这一成绩做判断，显然不是最好的方案，最好的方案应该是兼顾三项测试成绩，突出“创意设计”这一成绩，则用“权”的意识来判断就会立马显现．显然“问题2”是将“孕育‘权’”向“诞生‘权’”进行递进式地生长的过程．

表2

问题3：若学校电视台要招聘一名工作人员，分别从事新闻采访、后期制作、栏目策划工作，小平、小华报名参加了三项素质测试，成绩如表3所示．

表3

如果你是电视台台长，你会录取谁？

【设计意图】 让学生在理性中欣赏“权”．运用分类的思想方法，分别从“新闻采访”“后期制作”“栏目策划”工作的内涵对人的素质要求出发，赋“权”计算，感受“权”的作用，欣赏“权”的魅力，感受“权”的重要性．在赋“权”计算的过程中，将会得到不同的计算结果，这些结果又会引起人选上的量变到质变的变化．因此，在这个过程中，要对学生进行慎行慎权、“权”为“理”用的人生教育．

生成预设：如果学生不能用分类的思想来解决问题，可以让学生继续读题，在审题的过程中，找到用分类的思想来解决问题．如果学生得不到“量变引起质变”的案例，可要求学生大胆地多赋一些“权”的数值进行计算．显然“问题3”是将“诞生‘权’”向“欣赏‘权’”递进式生长的一个过程．

问题4：上述计算平均数的方法很特别、很有趣，现在请你谈谈这种计算平均数的体会．

【设计意图】让学生在理性中定义“权”．要学生谈体会，就是让学生用理性思维提升解决问题的价值，从而建立“加权平均数”的数学模型，彰显“权”的本质性．

生成预设：如果学生只用文字语言表达求加权平均数的方法，可追问：能否用更简洁、更准确的语言来表述？逼学生用符号语言表述计算加权平均数的方法．显然“问题4”是将“欣赏‘权’”向“定义‘权’”进行递进式地生长的过程．

活动2：运用概念

问题5：表4是某班全体学生年龄的统计表，根据表中提供的信息，求出该班学生的平均年龄．

所谓“隐形贫困人口”更多是自我消费不节制所造成的——不是没有钱，只是花得多而已。其实，“钱不够花”几乎是每个世代都会面临的问题。

表4

问题6：学校食堂午餐供应6元、8元和10元三种价格的盒饭.图1是根据食堂某月销售午餐盒饭的统计图，计算该月食堂销售午餐盒饭的平均价格．

图1

问题7：某食品店将甲、乙、丙三种糖果质量按5∶4∶1的比配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果每千克的零售价分别为16元、20元、27元．

（1）商家准备把这种什锦糖果按这三种糖果单价的算术平均数来定价，你认为合理吗？说说你的看法.

（2）如果商家配置什锦糖果时，甲、乙、丙三种糖果质量相等，你将如何定价？

【设计意图】问题5中的“权”以“绝对数”形式出现，问题6中的“权”以“百分数”形式出现，问题7中的“权”以“比值”的形式出现，这三种形式就是“权”在通常情况下存在的三种形式．通过这三道题的练习，可以让学生在具体的问题中快速地寻找出“权”，迅速地用加权平均数解决问题．

生成预设：如果学生找不到例题中的“权”，可要求学生说说题中各数据的意思，这样就能顺利地解决问题．问题5、问题6、问题7中的“权”也梯进式地彰显了“权”的三种存在形态．

活动3：课堂总结

问题8：上节课我们学习了算术平均数，本节课我们又研究了加权平均数，你能说说它们的区别与联系吗？

图2

生成预设：要求学生边讨论，边画框图．若画出的框图有多种，可让学生展示后，并进行优化，选择自己认为最好的框图进行收藏．这样就将本节课用递进式的方法推向了高潮．

三、基于活动设计的教学反思

上述活动设计，总是要求学生递进式地理性思考问题，并不断创新思维方式，把握问题本质和数学本质，让学生的思维在每一次理性思维之后得到升华，从而把学习数学内化为一种自觉的思维形式．

1．教学设计要精设出发点，体现切入之巧

如果说每一节课都是一个有目标的思维活动，那么就有一个活动的起点，即思维的出发点，它也应是递进式彰显理性的出发点．选择准、选择好思维活动的出发点，需要建立在学生已有的知识基础和认知经验之上，并且距离要探究的问题越近越好．

选择“问题1”作为本节课的思维出发点，就是基于学生上节课已经学习了算术平均数的概念、计算方法，并用其解决了一些简单的实际问题，而且算术平均数离本节要研究的加权平均数非常接近．在这个活动中，让学生发现仅用上节课学习的知识，不能很好地解决问题1，于是便产生了认知冲突，在这个认知冲突中来激发学生的探究欲望，正体现了“切入之巧”的教学艺术．

2．教学设计要巧构生长点，彰显过程之妙

一节课的思维出发点，也可以认为是这节课的“根”，因此，这节课的所有教学活动必须在其“根”上进行梯进式发展和生长．如何生长，让思维生长出一串生长节，这是教学活动的关键．笔者认为，数学思维的生长，主要靠问题来引领，这就要求教师提出高质量的问题．设计高质量的问题要在整体思路、基本结构、思想方法上做宏观把握，要在基础知识、基本技能、思维节奏上做微观调整．具体地讲，要求教师高位理解教材，要把教学内容放在数学学科这个体系下认识其地位及作用、挖掘其数学思想；还要参考《标准》、其他版本的教材，结合所教学生的特点来设计教学活动．对问题的设计及问题的探究，始终要坚持“导而弗牵”的原则，要给学生思考的环节，特别是独立思考的时空．要暴露学生的思维过程，对解决问题的策略、方法要引导学生不断进行优化，这样才能让所学知识梯进式彰显理性价值．只有这样，才能使学生喜欢数学，才能感受到数学的价值，体现数学思维过程的内在美．

例如，本节课，以学校电视台招聘工作人员为主题，巧妙地、“递进式”地设计了问题1、问题2、问题3、问题4四个问题，不断引导学生进行探究和探索，直逼问题的核心和本质．具体地说，问题1为“权”造势，孕育“权”，让学生知晓研究“权”的可能性．问题2让学生明白研究“权”的必要性，并诞生“权”．问题3让学生彰显“权”的理性，欣赏“权”，理清研究“权”的重要性．问题4让学生定义“权”，就是让学生认识“权”的本质性．这样，不仅让学生在这“四性”上递进式感受“权”的理性价值，而且在建构概念的活动中还自然地围绕同一主题背景，在“设问—思考—迁移”这个思维循环链上前行，凸显了教学的思想性，真正做到了教学活动有物（言之有物）、有趣（思考乐趣）、有情（学科育人）．

3．教学设计要妙选训练点，勾勒数学之简

数学学习，离不开训练反馈，提高训练的效能是我们的共同追求．提高训练效能的因素有很多.例如，有选择好训练题，分析好训练题，变式好训练题，规范好解题步骤等等．限于篇幅，结合本课例，笔者在这里只简单说明如何选择好训练题的问题．

由于“权”在数学中有“绝对数”“百分数”“比值”三种表现形态，所以本课“递进式”地选择了问题5、问题6、问题7作为这节课的基本训练点．如果这三个训练点的问题学生能无障碍地解决，那么关于加权平均数的相关问题就会迎刃而解．因为这三个基本训练点中的“权”可以帮助学生进一步理解“权”的内涵和外延，也是解决加权平均数的基本模型．因此，让学生在解决这样的问题的同时，也能让学生体会到数学模型的简约之美．4．教学设计要回归落脚点，揭示结构之美

华罗庚先生曾说过，读书的过程是一个把“书变厚再变薄”的过程．课堂教学何尝不是如此．如果把问题情境作为探究的起点，那么探究过程、探究方法就是一个思维变“厚”的过程，在得到探究结论并用探究结论解决完问题之后，要对本节课的学习活动进行小结，这个小结过程就是把思维变“薄”的过程．显然，这一过程是符合事物发展正态分布的，也是符合认识论根本规律的，因此，课堂小结不可缺失．

本课例中在学生进行了全方位的探究后，要求学生对这节课做一个小结，并花足够时间，让学生畅所欲言，就是要把这节课的探索活动、思维过程、思想方法，递进式地提升、内化为理性经验，这个经验是基于学生实践得来的，也就是“品尝了梨子味道”而得来的，是学生的真知灼见，是一个把问题变薄的过程.如何变薄，最好的方法就是形成知识结构．知识结构化了，往往就能在同中析异、异中聚同了，这也是教学之道．

［1］卜以楼．教育价值：数学教学的根本之所在［J］.数学通报，2012（1）：12-16.

2016—09—14

卜以楼（1962—），男，正高级中学高级教师，江苏省特级教师，主要从事初中数学教学设计与课程建设研究．