一道课本习题的深入探究

☉江苏省如皋市第一中学 孙海建

一道课本习题的深入探究

☉江苏省如皋市第一中学 孙海建

课堂教学除完成教学计划及传授知识以外，笔者认为开展数学教学最重要的目的就是拓展学生的思维，提升他们的思维活跃度和学习积极性，这有这样，才可以提高教学课堂的有效性，提升学生的学习能力.为了提升学生对课堂及知识的关注度，无论耗费多少精力和时间，都是值得的.因此，教师在实际教学中一定要提升对增强学生思维能力的重视程度.

在上高三数学一节复习课时，本着重视教材，重视基础的角度，笔者选择了课本中的一道习题及该题的两个变式题，希望学生通过训练，熟练掌握此类题型的一般解法.结果学生在解题过程中却意外地用不太常规的方法探究出了此类问题的一般结论！下面笔者将这节课的进行过程展现给读者.

一、试题再现

题目（高中数学课本人教A版的选修2-1第80页的复习参考题的A组第11题）在抛物线y2=4x上求一点P，使得点P到直线y=x+3的距离最短.

笔者当初的课堂设计是想要求学生掌握如下的一般解法：

解法一：设点P的坐标是（x0，y0），因为点P在抛物线上，所以y2=4x，点P到直线y=x+3的距离为

00将代入，整理得所以y0=2时，d有最小值算得x0=1，故点P（1，2）到直线y=x+3的距离最短.

以上解法是利用点到直线的距离公式，将问题转化为二次函数求最值.笔者的教学目的也是想通过学生对此类题型的反复练习，能熟练用此方法解决此类问题.

班上大多数同学按照以上方法解答此题，但有个别基础较好的同学由于在前不久复习了简单线性规划的相关知识，见过类似求最值的题型.他们采用了下面方法解答此题，在后面的文中笔者称之为方法二.

解法二：记直线l：y=x+3，和直线l平行的直线记为l′，l′和抛物线的公共点到直线l的距离就是直线l和直线l′的距离.易知当直线l′和抛物线相切时，直线l和直线l′的距离最小，即直线l′和抛物线的切点就是要求的P点.设直线l′：y=x+b，代入抛物线方程y2=4x，整理得x2+（2b-4）x+ b2=0（※），由Δ=0可得（2b-4）2-4b2=0，化简得b=1，代入方程（※）中可计算得x=1，进而求得y=1+b=2，故所求P点坐标为（1，2）.

点评：实际上直线y=x+3在抛物线y2=4x的左侧，当把直线向右侧平行移动时，平行直线和原直线的距离逐渐增大，当直线平行移动到和抛物线恰好相切时，切点到原直线y=x+3的距离最短.因此笔者肯定了同学们的这种解题方法，称赞了他们能够利用数形结合的思想，灵活运用所学知识解决数学问题.接下来就有了更多的同学运用此方法解答下面两个变式题，从而引发了一类最值问题的探究.

二、探究过程

变式题1：已知直线l：y=2x-4交抛物线y2=4x于A，B两点，在A，B两点之间的抛物线上求一点P，使得△APB的面积最大，并求出最大面积.

分析：由弦长公式不难求出线段AB的长度，所以只要在A，B两点之间的抛物线上求一点P，使得点P到直线l的距离最大，则△APB的面积最大.此问题是和课本习题相关的一个变式题.下面是部分学生用方法二解答此题的过程：

解：联立直线方程y=2x-4和抛物线方程y2=4x，得x2-5x+4=0，算得x1=1，x2=4，所以y1=-2，y2=4，不妨设A（1， -2），B（4，4），所以把和直线l平行的直线记为l′，l′和A，B两点之间的抛物线的公共点到直线l的距离就是直线l和直线l′的距离.当直线l′和抛物线相切时直线l和直线l′的距离最大，即切点到直线l的距离最大.设直线l′：y=2x+b，代入抛物线方程y2=4x，整理得4x2+（4b-4）x+b2=0（※），由Δ=0得（4b-4）2-16b2=0，算得b=代入方程（※）中可计算得进而求得b=1，故所求切点P的坐标为此时P点到直线l：y=2x-4的距离为所以△APB面积的最大值为故所求点P的坐标为最大面积为

变式题2：已知直线l：y=x-1和抛物线y=x2-4x+3交于A，B两点（A在B的左边），在A，B两点之间的抛物线上求一点P，使得△APB的面积最大，并求出最大面积.

读者不难看出此题和上题为同类题型，只是改变了抛物线的顶点位置和开口方向，增加计算难度而已.下面笔者将学生的方法二的解法简述如下：

解析：联立直线方程y=x-1和抛物线方程y=x2-4x+3，可得x2-5x+4=0，解得x1=1，x2=4，所以y1=0，y2=3，所以A（1，0），B（4，3），所以把和直线l平行的直线记为l′，l′和A，B两点之间的抛物线的公共点到直线l的距离就是直线l和直线l′的距离.当直线l′和抛物线相切时直线l和直线l′的距离最大，即切点到直线l的距离最大.设直线l′：y=x+b，代入抛物线方程y=x2-4x+3，整理得x2-5x+3-b=0（※），由Δ=0算得代入方程（※）中可计算得进而求得故所求切点即P点的坐标为P点到直线l：y=x-1的距离为d=所以△APB面积的最大值为

到此笔者本以为这节课的教学目的已经达到，剩下的时间让学生将两种解题方法做个小结，把以上几个题的结果整理一下，准备到时间下课.这时笔者发现有个小组的几个学生好像在下面讨论着什么，笔者正准备询问，该组的小组长举手发言了：“老师我们小组在用方法二解这两个变式题时，发现所求P点的坐标和A，B两点的坐标有一定关系.变式题1中P点的纵坐标为A，B两点纵坐标和的一半；变式题2中P点的横坐标为A，B两点横坐标和的一半.这里面是否存在某种规律？”经他这一说，其他小组的同学发现确实如此！在变式题1中为P点的纵坐标；在变式题2中是P点的横坐标.是否有规律？同学们期待的目光望着笔者.笔者事先还真没有研究过，灵机一动，反问该组组长：“你们是怎样注意到这个情况的？”该组的其他学生有人抢着发言说：“我们作出简图后，在把直线平行移动到和抛物线相切时，发现切点和AB弦的中点有某种位置关系.由于我们作的图是简图，因此我们也不敢肯定，但之后的计算结果却支持了我们的想法……老师这里面应该有规律吧？”一堂原本平稳的复习课变成了一堂探究课.直觉告诉笔者：学生的想法可能是正确的.一看时间还有，于是笔者要求各组选定不同的开口方向和顶点位置的抛物线，用几何画板在抛物线上任取两点A，B，记AB中点为M，作出AB的一组平行线，观察当平行线和抛物线相切时，切点P和M的位置关系.结果各组通过几何画板作图，得到一致结论：P，M两点连线恰好和抛物线对称轴平行.通过几何画板画出的结果更精确，更直观！于是笔者对学生提出要求：能否给出证明？

学生1说：“各种情况分类太多，不好证明.”学生2说：“我们只要证明其中一种情况，根据问题的结论，其他情况可以由图形的平移和旋转得到，因为平移和旋转不会改变图形中M点和P点的相对位置关系.”笔者对学生2的说法给予了肯定，并建议学生对顶点在原点、开口向上的抛物线的情况给出证明.

设抛物线方程为x2=2py（p＞0），A，B为抛物线上已知两点，点P为A，B之间抛物线上任意一点，求证：当点P的横坐标为A，B两点横坐标的一半时，P点到直线AB的距离最远，即此时△PAB的面积最大.

在同学们的共同探究和笔者的指导下，不久就有基础较好的学生给出了答案.笔者让其中一个学生在黑板上展示了他的答案.笔者将其证明过程进行了点评，最后整理如下：

证明：如图1，设A（x1，y1），B（x2，y2），作直线AB的平行线l，l和A，B之间的抛物线的公共点到直线AB的距离就是直线l和直线AB的距离.当l和抛物线相切时，直线l和直线AB的距离最远，即切点P（x0，y0）为所求.因为直线AB的斜率由x2=2py知求导可得所以过切点P（x0，y0）的切线l的斜率由条件知k0=k，所以故结论得证

图1

若设AB的中点为M，则此时P，M两点的连线平行于抛物线的对称轴，考虑到将整个图像在直角坐标系进行平移或旋转不会改变P和M的相对位置，并注意到A，B两点的特殊位置情况，可以得到如下推论：

推论：设A，B是抛物线上的任意两点，M为线段AB的中点，在A，B两点之间的抛物线上到直线AB距离最远的点记为点P，则直线PM平行于抛物线的对称轴或者与对称轴重合（此时AB垂直于对称轴）.

得到这个推论后学生都感到非常兴奋，有些同学说：“以后遇到类似题型，我们只要找到弦AB的中点M，过M点作抛物线对称轴的平行线，该平行线和抛物线的交点就是要求的点P.”另外有学生补充到：“当AB垂直于对称轴时，P点就是抛物线的顶点.”笔者也感到非常高兴，说到：“以后你们做此类选择题和填空题时可直接使用这个结论.”一堂常规复习课变成了一堂探究课，而且得到了精彩的结论，真是意外的收获！

假如在教学中教师没有能够充分认识试题的内涵意义，这不但无法找到问题的另一种解决方式，至于问题的延伸及变式就更无从谈起.这对教师和学生来说损失都是非常大的.有鉴于此，本文着重研究了数学教学过程中提升学生思维能力的重要性，旨在提升数学教学的有效性.