尝试中犯错、反思 反思中发现、积累——“尝试—发现”教学法的灵活运用

☉江苏省宜兴中学 刘国祥

尝试中犯错、反思 反思中发现、积累
——“尝试—发现”教学法的灵活运用

☉江苏省宜兴中学 刘国祥

曾读过一篇文章，题目叫《教室就是出错的地方》，作者魏得胜.“教室就是出错的地方.”这句话说得太好了！细想起来，确实就是这样.出错是正常的，不出错才是不正常的.如果学生的学习解题、所作所为都正确，没有出错，教师乃至学校就没有存在的价值了.从教学的角度看，错误是重要的教学资源.任何正确的答案和方式，都是通过曲折探索得到的.而往往在出错和改错的曲折探索过程中，课堂才是最活的，教学才是最美的，学生的生命才是最有价值的.从这个意义上说，错误对于学生，不是尽量避免的问题，而是不可或缺的元素.关键是我们如何对待如何运用这样的“错误”.

高中数学新课程教学中，我们常常引进“尝试—发现”教学法，即让学生在老师创设的教学情境下自主尝试学习，在学习中自主发现、探索，解决数学学习过程中的问题.这种教学方法强调学生主体参与和实践中完成自身知识建构的发展.但是教学现实中，教师还是不断给学生详尽的“提示”，唯恐学生出错；面对学生的“错误”，除批评、责怪，并没有重视这一重要资源.由此，我将“尝试—发现”教学法推进一步，形成“尝试—犯错—反思—发现—积累”的教学方法，即让学生在一定的教学情境下自主尝试学习，在尝试中犯错或产生思维阻塞，抓住这个契机，教师引导学生讨论反思，寻找错因，发现正确方法正确思路，在发现中积累经验与教训，从而提高数学解题能力.下面以高中数列教学为例说说这种教学方法的意义.

数列是普通高中数学的重要内容，在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系；同时，数列蕴涵了许多重要的数学思想，在数列教学中注重数学思想方法的挖掘与渗透具有十分重要的意义.在高中数学数列教学中，我运用“尝试—犯错—发现—积累”教学法，收到显著效果.

一、利于积累审题经验

尝试中犯错发现细心阅读题目，正确理解概念，提高运算技能在数学解题中的重要性，从而积累教训.

故人云“智者千虑，必有一失”.学生解题时经常出现错误，并不是方法不对，也不是解题过程不严密，常常是因为平时解题时，老师有明确的提示与强调，所以缺乏细心读题、正确辨析概念的良好习惯，或者是忽略提高运算技能而造成的.

例1求和Sn=a+3a2+5a3+…+（2n-1）an.

错解1：aSn=a2+3a3+5a4+…+（2n-1）an+1，因此（1-a）sn= a+2a2+2a3+…+2an+（2n-1）an+1（最后一项应是减号）.

错误2：（1-a）Sn=a+2a2+2a3+…+2an-（2n-1）an+1，则（中间是n-1项等比数列和，并不是n项等比和）.

错误3：没有对变量a分类讨论，分a=0，a=1，a≠0且a≠1三种情况来讨论.

解题启示：概念理解上的偏差是造成学生解题错误的常见原因，让学生自主尝试解题，然后针对学生错误，创设情境讨论错误原因，让学生顿悟.上面案例中的错误3告诉我们在使用等比数列求和公式时要注意对公比q进行讨论；而错误一和二关键是运算技能的缺失.通过这样的尝试、犯错、发现，逐步培养学生审读题目、辨析概念与重视运算技能良好习惯.

二、利于培养思维习惯

尝试犯错中发现打破习惯思维，研究条件、改变思维角度带来的意外效果，从而培养审题分析的良好习惯.

对于一题多解的问题，学生往往孤立地看待条件，从而钻进死胡同，形成繁杂的解题过程，既费时间，又易出错.如果能够利用题目条件，改变思维角度，采用简约的思维，往往可以直达问题的本质，运算更简单，更能保证解题的正确性.

例2 数列｛an｝成等差数列，S10=100，S100=10，求S110.

解法1：这是我有意让学生自主尝试的一道计算题.绝大多数同学想到设首项为a1，公差d联立方程得得由于运算复杂，结果仅有较少一部分同学能得出S110=-110.

本题是否一定要求出首项和公差呢？在多数同学经历挫折后，老师适时引导学生改变思维角度，运用整体思维，研究S10和S100间关系，思考另一种解法.结果，有学生发现：

解法2：a11+a12+a13+…+a100=-90得到a11+a100=-2，因此

解题启示：解法2运算简单，体现整体思维，事半功倍.学生为什么没想到后一种方法？原来，学生潜意识里只有求首项和公差，没想到利用S10和S100之间的关系.面对运算繁杂的解法1，只要稍稍转换思维角度即可获得解法2，可见，面对繁杂的运算题，从整体上把握题中条件，研究条件间的联系，改变思维角度，就可以取得意想不到的解题效果.学生从中积累了经验，可以很容易完成以下问题：

（1）等差数列｛an｝中，前n项和为Sn，若Sn=m，Sm=n（m≠n），则Sm+n=-（m+n）.

（2）等差数列｛an｝中，前n项和为Sn，若Sn=Sm（m≠n），则Sm+n=0.

（3）等差数列｛an｝中，前n项和为Sn，若Sn=m2，Sm=n2（m≠n），则Sm+n=-（m+n）2.

（4））等差数列｛an｝中，前n项和为Sn，若则

三、利于提高思维的灵活性

尝试中思路受阻时，发现调整解题角度或解题方法，可以打通思路，积累解题智慧，培养思维的灵活性.

解题中途思维受阻，因而无法完成解题，是学生在数学解题中经常遇到的情况.这时，通过师生共同分析讨论思路不通的原因，调整解题方向或解题方法，会让学生有豁然开朗的感觉.

例3已知两个等比数列｛an和｛bn｝，满足a1=a（a>0），b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3，若数列｛an｝是唯一，求a值.

学生很容易想到设数列｛an｝的公比为q，由数列（2+ aq）2=（1+a）（3+aq2），得aq2-4aq+3a-1=0.（*）

由a>0得Δ=4a2+4a>0，却发现方程有两解，与题中数列｛an｝是唯一发生矛盾而思路中断.这时师生共同分析思路不通原因，回头再分析题目，突然发现公比q有限制条件q≠0，思路豁然开朗，方程（*）必有一根为0，代入得学生经历了困惑、领悟的过程，加深了对概念的理解.

例4已知数列｛an｝中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn=

（1）求a1.

（2）证明数列｛an｝为等差数列，并写出其通项公式.

（3）设lgbn=试问是否存在正整数p，q（其中1

解题分析：令n=1，容易得a1=0.

（n-1）an+1=nan，（1）

学生因an+1-an不能得到是常数而思路中断.学生中断思路原因是判定等差数列方法单一，师生共同分析努力走出困境.

思路一：从等差中项来判断：对（1）式递推得nan+2=（n+1）an+1.（2）

两相加得，得nan+2+nan=2nan+1，即an+2+an=2an+1.

如何寻找满足条件的（p，q），学生不知道如何处理.当我们遇到一个比较复杂的问题时，不妨退到最简单的情况，通过简单情况的研究逐步推广到复杂情况.当p=2时得q=3；当p=3时，等式显然不成立.依次类推当p≥3，且p∈N*时数列为递减数列，于是所以此时方程（☆）无正整数解.易知（p，q）=（2，3）

解题启示：学生思维受阻可能是知识理解上存在偏差，如等差数列判断与证明有多种方法，当定义失效，能否通过二阶递推回到等差中项来判断，能否求出通项公式来判断；也有可能是思维方法上缺失，如第（3）小题，通过特殊化研究，来寻求整体思路，在探索过程中获得成就感和满足感，一定能激发学生的学习兴趣.

四、利用培养思维的思辩性

尝试犯错中发现辨别概念内涵、关注起始条件对解题的重要意义，培养与积累关注细节、综合分析的能力.

分析粗疏、思维单向是学生在数学解题过程中常有的问题，靠正面提醒或强调往往效果不明显，这次纠正，下次又会重犯.如果让学生在自主尝试中犯错，又让学生在自我分析或讨论中明白错误原因，发现正确途径，学生就会记住教训，在辨别概念内涵、关注起始条件方面细心起来.

例5已知数列｛an｝和｛bn｝是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，且求值.

例6已知数列｛an｝满足（n≥2），若am=2014，则m=_______

解题分析：数列问题在递推是要注意题目的起始条件，在上（1）式中n≥2，在（2）式中n≥1，故累乘知即又a1=a2=1，所以an=通过尝试犯错，学生对解题细节就会重视关注起来，逐步养成严密思维品质，确保解题无懈可击.

如果学生在“多次发现”“多次教训”中不断关注概念内涵、不断关注起始条件，从而获得正确的解题途径，学生的综合解题能力就会发生飞跃.

古代教育家孔子曾说：“不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也.”意思是说：“不到学生努力想弄明白但仍然想不透的程度时先不要去开导他；不到学生心里明白却又不能完善表达出来的程度时也不要去启发他.如果他不能举一反三，就不要再反复地给他们举例了.”

意大利报人兼发行人朗根尼西也曾说过：“不要给我忠告，让我自己去犯错.”意思是说有些事情，只有自我实践中有了教训，才能逐渐成熟并获得智慧.

这些思想，在高中数学教学中有着特别重要的意义.“尝试—犯错—发现—积累”的教学方法，是这种思想的最好实践.