稳步推进求发展 积极探索谋新篇
——2016年高考数学试卷总体评析与教学启示
2017-01-12安徽省灵璧第一中学安徽省宿州市教科所
☉安徽省灵璧第一中学 郑 良☉安徽省宿州市教科所 王 锋
稳步推进求发展 积极探索谋新篇
——2016年高考数学试卷总体评析与教学启示
☉安徽省灵璧第一中学 郑 良☉安徽省宿州市教科所 王 锋
一、总体评价
2016年全国各地高考数学试卷共有10套19份（文、理科各算1份，江苏文理科合卷，理科有卷II（附加题）），分别是教育部考试中心统一命制的试题3套：全国卷I（河南、河北、山西、江西、安徽、湖南、湖北、福建、广东等省区），全国卷II（陕西、重庆、辽宁、吉林、黑龙江、宁夏、甘肃、青海、新疆、西藏、内蒙古、海南等省区），全国卷III（云南、贵州、广西等省区），自主命题7套（北京、天津、上海、浙江、江苏、山东、四川等省区）.总体来说，各套试卷保持一贯风格（新增全国卷III），稳步推进，适度发展创新，使学生心态平稳，较快地进入考试状态，发挥真实水平；立足基础，尽可能使每个学生都得到基本分，彰显人文关怀；着眼能力，通过思维层次的甄别，凸现学生能力，突出高考的测试与选拨功能；在延续主干知识重点考查的同时兼顾知识面的覆盖，不偏不难，有效避免“猜题押题”“题海战术”；频现经典、兼顾冷点，体现了命题专家坚持改革与创新的尝试；关注应用，体现了数学“来源于生活，应用于生活”，让学生在学以致用中理解升华；文化创新，彰显数学学科育人价值，促进素质全面发展；突出本质、强化综合，从整体角度、系统高度考查学生的综合素养，有利于发挥高考的导向作用.
二、试题特点与应用举例
《义务教育数学课程标准》（2011年版）提出“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），“四能”（发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力、解决问题的能力），高中学生理应具备更高的能力与素养.R.柯朗和H.罗宾指出：“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求.它的基本要素是逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性.”［1］知己知彼，百战不殆.限于篇幅，本文不再对全国各地数学卷考点分布情况进行统计，仅就试题显著特点进行概述与部分试题例析与链接.
1.立足基础
基础扎实，能力才能提升.各地数学卷整体上难度略有降低，压轴题运算量减少，十分注重对“四基”与“四能”的考查.如集合运算（19份）、复数运算（17份，浙江卷文、理科无）和向量运算（19份）等基础知识与方法，程序框图（15份，浙江卷与上海卷文、理科无）、三视图（17份，上海卷文、理科无）、线性规划等仍然是知识考查的热点.此类试题大多为客观题的靠前部分，需要解题者通过审题发现问题的一般与特殊，实现“小题小（巧）做”，谨防“青蛙效应”引起时间悄然流逝.
例1（北京卷文科第2题）复数=（ ）.
A.i B.1+i C.-i D.1-i
点评：本题常规解法是分子、分母同乘以分母的共轭复数实现分母实数化，充分观察分子、分母中复数的实部与虚部的联系，用“i2=-1”局部逆代换，通过约分实现分母实数化复数的本质是“i2=-1”，很多学生只知道复数的代数形式和四则运算，使复数的学习与运用成为机械化的操作，索然无味.若从复数的三角形式来理解“i2=-1”，复数的本质是对平面局部做旋转和缩放，另解清楚自然，水到渠成.将其变式，利用几何意义可解四川卷文、理科第15题（“伴随点”姊妹题）.
例2（天津卷文、理科第7题）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为（ ）.
解法2：以B，C的中点为坐标原点，以B，C所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图1所示，则所以（1，0），故
图1
点评：本题考查三角形的性质，平面向量基本定理、线性运算与数量积，考查考生的运算能力.解法1以为平面向量的一组基底（基向量的选择要尽可能容易表示出目标向量），将目标式中向量“标准化”，彰显化归思想的力量，对可直接展开，利用解法2为解析法，将几何问题代数化，通过运算来研究几何性质，数形结合以不变应万变；解法3利用“互相垂直的两个向量的数量积为零”简化运算，利用共线定理往已知结论上转化，体现了特性在解题中的作用；解法4利用数量积的几何意义（a与b的数量积等于|a|乘以b在a方向上的投影），直观快捷.以上解法是处理（平面、空间）向量问题的基本方法.解题要有模式，但不能囿于模式，要具体问题具体分析，如山东卷文科第13题用解析法较好（若用几何意义沦为解三角形问题），山东卷理科第8题代数法与几何法运算量相当.
2.突出本质
《普通高中数学课程标准（实验）》提出：“形式化是数学的基本特征之一，在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里……”.“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学定义、法则、结论的发生、发展过程和本质.”各地数学卷都突出考查数学（尤其是核心）定义和核心思想方法的掌握与运用，以及对数学本质的理解与感悟，这就要求学生能透过现象看本质，数学地理解、数学地思考、数学地表达.
例3（浙江卷理科第5题）设函数f（x）=sin2x+bsinx+ c，则f（x）的最小正周期（ ）.
A.与b有关，且与c有关 B.与b有关，且与c无关
C.与b无关，且与c有关 D.与b无关，且与c无关
点评：本题考查三角函数的周期性.深刻理解正弦（型）函数、余弦（型）函数、正切（型）函数的图像与性质，函数的图像变换是解决问题的关键.不少教师认为本题重在考查周期函数和与差函数的周期公式，即在f（x）= g（x）+h（x）中，（其中［Tg（x），Th（x）］、（Tg（x），Th（x））分别表示函数g（x）的最小正周期与函数h（x）的最小正周期的最小公倍数、最大公约数）.笔者认为命题者意在考查函数y=|sinx-m|+c的图像与性质，因为y=sinx既是轴对称图轴，又是中心对称图形，将其在平衡线一侧的图像沿着平衡位置翻折，其周期减半.考虑到y=sinx的平衡位置为直线y=0，故需对参数b是否为0分类讨论.
例4（上海卷理科第18题）设f（x），g（x），h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x），f（x）+ h（x），g（x）+h（x）均为增函数，则f（x），g（x），h（x）中至少有一个为增函数；②若f（x）+g（x），f（x）+h（x），g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x），g（x），h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.
A.①和②均为真命题
B.①和②均为假命题
C.①为真命题，②为假命题
D.①为假命题，②为真命题
点评：两个函数单调性相同时，其和函数的单调性与每个函数单调性相同，其差函数不一定具有单调性，这与每个函数增（减）的幅度有关.构造反例，应从每个函数的增（减）幅度入手.记F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）+ h（x），H（x）=g（x）+h（x），则f（x）=考虑最简单的函数载体——线性函数，其单调性取决于直线斜率的符号.将定义域R分成三段（抽屉原理），函数f（x）、g（x）、h（x）分别在第一段、第二段、第三段上是水平的射线、线段、射线，而在其余的部分，三个函数均为斜率为1的线段或射线，那么在每一段上，F（x），G（x），H（x）均为斜率为1或2的线段或射线.若考虑函数严格单调递增，只需将水平的、斜率为1的线段或射线的斜率改为斜率为-1、2即可.如f（x）=②由f（x+T）即函数f（x）是周期为T的周期函数，同理可得g（x），h（x）为周期函数（周期函数的和与差函数必定是周期函数）.如该卷第13题：设a，b∈R，c∈［0，2π），若对任意实数x都有则满足条件的有序实数对（a，b，c）的组数为_________.若从恒成立角度求解，则会陷入繁杂的计算.在y= Asin（ωx+φ）+b（A>0，ω>0）中，A、ω、φ、b分别决定函数的高度、宽度（周期）、初始位置、平衡位置.将几何表征转换为代数表征，即函数的图像与函数y= asin（bx+c）的图像重合，其必要条件是高度和宽度必须一致，起点相差周期的整数倍，结合诱导公式及［0，2π）的区间长度为一个周期，说明c取值唯一.因此本题表象是枚举法，本质为对应，利用计数原理得有序实数对（a，b，c）的组数为2×2×1=4，体现出思维的深刻性.
3.注重推理
推理是直觉思维与逻辑思维的综合体现，包括合情推理（归纳推理、类比推理）和演绎推理等.数学是思维的科学，数学教学是数学思维的教学.数学地思考就是逻辑推理（从给定的前提条件出发，在推理过程中遵守逻辑规律、规则，正确地得出结论的推理）的表现.
例5（上海卷理科第11题、文科第14题）无穷数列an由k个不同的数组成，Sn为an的前n项和，若对任意n∈N*，Sn∈｛2，3｝，则k的最大值为__________.
解：由题意知，k最大当且仅当Sn=｛2，3｝（否则，当Sn=｛2｝时，则有时同理）.当Sn=｛2，3｝，有两种情况：当S1=a1=2，则必有ai=1（i≥2），还存在aj=-1，且数列｛an｝中仅有首项为2，1与-1彼此相间且先出现1，数字0可任意插入；当S1=a1=3，则必有ai=-1（i≥2），还存在aj=1，且数列｛an｝中仅有首项为3，-1与1彼此相间且先出现-1，数字0可任意添加.无论哪种情况，k的最大值为4.
点评：学生可能会通过列举法归纳出k的最大值为4，结论是否正确？为什么？通过正反思维、理性分析、逻辑推理锁定数列｛an｝的构成规律，证实发现.推理是数学的生命线，无处不在.直接考查数学推理的试题有全国卷II理科第15题（文科第16题）、北京卷理科第8题（利用对应对称性）、北京卷文科第8题（正反思维）等，当然也可以把结论当作条件，实现整体结构、思想方法上的融会贯通，如北京卷文科第18题第（III）问等.
4.强化思想方法
高考试题由“知识立意”到“能力立意”，并逐步发展能力的内涵，不断加大考查的力度.很多试题殊途同归，只有通晓相关定义，理解数学思想方法，才能随心所欲，找到优美的、本质的解法.高考中的数学思想主要包括：数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化、函数与方程、特殊与一般思想、有限与无限思想、或然与必然思想等，数学基本方法有：待定系数法、配方法、换元法、割补法、反证法等.
例6（天津卷文科第5题）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（ ）.
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解：x＞|y|等价于-x
图2
由于x＞0，当x>y时，取x=1，y=-2，不满足x＞|y|；
反之，当x＞|y|时，有x>|y|≥y，即x>y成立.故“x＞y”是“x＞|y|”的必要而不充分条件.
点评：判断充要条件的方法有三种：①定义法（命题p与命题q相互推出情况），②命题法（构造新命题：若p则q，通过判断原命题与逆命题的真假确定），③集合法（以p、q所包含的对象构成集合P、Q，通过判断集合P、Q的包含关系确定）.三种方法表现形式不同，但逻辑本质（蕴含关系）相同，可对具体问题具体分析.一般说来，实数问题往往采用数形结合思想（形的直观和数的精确双管齐下）与集合法.反例怎么找？先将命题p、q等价转化，从隐形走向显性.通过判断两者差异，寻找符合条件而不符合结论的部分.类似的有天津卷理科第5题，江苏卷第9题（代数角度解三角方程，几何角度确定交点个数）等.
5.重视变形能力
数学是运算的科学，而运算的核心是恒等变形，相等与不等是对立统一的.因何而变，变向何方？变形就是对问题数学地理解、数学地思考基础上数学地表达.
例7（浙江卷文科第20题）设函数f（x）=x3+1 1+x， x∈［0，1］.证明：
（1）f（x）≥1-x+x2；
（2）证法1：由0≤x≤1得x3≤x，故f（x）
由（1）得f（x）≥1-x+x2=又因为所以f（x）>
（2）证法2：f（x）=x3+则f′（x）=3x2-是（0，1）上增函数，由f′（0）=-1<0，f′（1）=知存在唯一实数x0∈（0，1）使f′（x0）=0，故函数（fx）在［0， x0］单调递减，在［x0，1］单调递增，又（f0）=1，（f1）=所以f（x）在［0，1］的最大值为
当x∈［0，1］时，由f′（x0）=0，即解得所以f（x）的最小值f（x0）
点评：（1）利用代数式恒等变形和不等式放缩完成证明.（2）适当利用代数式放缩来证明，要注意放缩的方向与精度，尤其要注意取等条件，如x3≤x在x=1时等号成立，f（x）≥1-x+x2当且仅当x=0时等号成立当且仅当时等号成立.放缩方向本质为同向不等式可加性（符号法则），一般不可调整，而放缩的精度要结合要求设定，如f（x）的本质是f（x）max≤取等条件为x=1，证法1中利用增量法，而f（x）>的本质为f（x）min>，f（x）的最小值点能够确定，但最小值不易化简，证法2利用等量代换，将目标（函数）式用我们熟悉的（函数）式替代或拟合.
6.频现经典
很多问题具有典范性、示范性，能体现学科（知识、思想方法）的精髓，百考不厌，常考常新.如函数的“极值点偏移”问题，可逆用函数的单调性（构造函数、等量代换、化归与转化）解决，可也用对数平均不等式处理，其实施步骤、逻辑原理等仍有待挖掘与提升.如全国卷I理科第21题第（2）问即为“极值点偏移”问题，同样取整函数也出现在全国卷II文、理科第17题.经典需要传承发展，文化需要继承弘扬，如全国卷II文科第9题（理科第8题）“秦九韶算法”程序框图问题，全国卷III理科第12题的背景是“卡特兰”计数（体现了一一对应与构造），江苏卷第22题（圆锥曲线中对称点）、浙江卷理科第18题（最小值函数）.
7.强化综合
因为高考具有选拔功能，难题设置势在必然.在知识的“交汇点”设置问题成为高考命题的趋势，不仅增加了知识的覆盖面，更检测了学生对数学知识、思想方法的整体内化水平.一般客观题往往由两到三个知识点交汇而成，解答题由更多内容无缝对接、巧妙融合.如四川卷理科第19题，将数列、圆锥曲线以及不等式进行综合，能较好地考查学生的知识体系是否完备，同时也考验学生的心灵素质.
8.严谨表达
数学具有高度的抽象性、准确性（逻辑的严密性，结论的确定性）、应用的广泛性，数学是一门语言（包括自然语言、符号语言、图形语言等）.数学地表达是数学交流沟通的重要方式，命题者试图通过表达来检测学生思维的广度、深度、严谨程度，但遗憾的是，很多学生只能意会，不善甚至不能言传，主要原因有：教师没有足够的重视与示范而导致“哑巴”数学；学生学习的不求甚解导致“不拘小节”积习难改；各学科（如语文、物理等）不能齐头并进等.如立体几何中，证明线面垂直的条件为直线垂直于平面内的两条相交直线，缺少“相交”，前提条件错误导致推证无效.高考试题具有推证规范性、精确化的趋势，如确定方程根的存在一般要求给出根的有穷区间（区间的端点为具体的实数）.
例8（江苏卷第19题）已知函数f（x）=ax+bx（a>0，b> 0，a≠1，b≠1）.
①求方程f（x）=2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，求实数m的最大值；
（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）-2有且只有1个零点，求ab的值.
解：（1）①方程f（x）=2的根为x=0（过程略）；②实数m的最大值为4.
（2）方法1：因为函数g（x）=f（x）-2只有1个零点，而g（0）=f（0）-2=a0+b0-2=0，所以0是函数g（x）的唯一零点.因为g′（x）=axlna+bxlnb，又由0
令h（x）=g′（x），则h′（x）=（axlna+bxlnb）′=ax（lna）2+bx（lnb）2，从而对任意x∈R，h′（x）>0，所以h（x）=g′（x）是（-∞，+∞）上的单调递增函数.
于是当x∈（-∞，x0）时，g′（x）
若x0<0，则于是又g（loga2）= aloga2+bloga2-2>aloga2-2=0，且函数g（x）在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和loga2之间存在g（x）的零点，记为x1.因为0 若x0>0，同理可得，在和logb2之间存在g（x）的非0的零点，矛盾. 因此，x0=0.于是故lna+lnb=0，所以ab=1. 方法2：因为g′（x）=axlna+bxlnb，又由0 当x→-∞时，ax→+∞，所以g（x）→+∞；当x→+∞时，bx→+∞，所以g（x）→+∞； 又g（x）在R上的图像不间断，且g（0）=f（0）-2=a0+b0-2=0，所以x0=0，故ab=1. 方法3：因为函数g（x）=f（x）-2只有1个零点，即ax=2-bx有且只有一个解，而函数m（x）=ax，n（x）=2-bx分别是过定点（0，1）的下凸函数，上凸函数，故两个函数在x=0处的切线重合.而m（x）、n（x）在点（0，1）处的切线方程分别为y=（lna）x+1、y=（-lnb）x+1，所以有lna=-lnb，即lna+lnb= 0，所以ab=1. 点评：对于第（2）问，方法1通过反向思维，利用排除法锁定x0，理由充分，过程详实；方法2根据函数的单调性，利用图像上升与下降（学生初中时对单调性的几何映像），理由不如解法1充分；方法3分离函数，根据函数凸凹性确定其公切线重合，结论是正确的，但规范的证明要用到高等数学知识.因此，从图看出来的结论不能替代证明，要用代数语言来精确表征. 9.关注应用 应用题的设计需要符合“贴近生活、背景公平、控制难度”.因为学生生活环境不同，对生活经验的感知与理解程度差异较大，往往难以确定贴近所有学生生活的载体，无法保证背景公平；同时学生的阅读能力、抽象水平整体偏低，往往导致难度的失控，试卷的区分度、信度、效度不高，这也导致与应用相关的高考题（主要是应用题）在非议中裹足不前，甚至有萎缩的可能.目前，高考卷中很多应用问题都经过命题者反复的抽象与改编，就是成熟的数学模型，缺乏原生态的数学味.欣喜的是，江苏卷与上海卷保持一贯关注应用的风格，并开展积极探索，其他各省市将应用问题主要集中在概率与统计部分. 10.适度创新 《考试大纲》指出：“既考查中学数学的知识和方法，又考查考生进入高校继续学习的潜能.”命题专家往往通过“自定义”信息题考查学生即时学习的能力.这类问题需要对信息提取，理解，对所给的信息进行抽象、加工，然后对所要解决的问题确定化归方向，逐步转换，进而有效输出.如全国卷III理科第12题（规范01数列），北京卷理科第20题（G时刻），四川卷文、理科第15题（伴随点），上海卷文科第22题（无穷互补数列）等，全国卷III文、理科第4题（识图、用图能力）等. 11.几点商榷 高考试题对中学数学教学具有导向功能.高考数学试题以下问题值得商榷：（1）运算量大，书写内容多.总体来说，每份试卷都需大量的运算和繁多的书写，耗费学生大量的时间与精力，此种现象助推教学的异化——题海战术，把思维能力的考查演变为机械操作熟练度的比赛.工具化的学科教育也许是有效教学，但绝不是好教学，因为他缺乏善良的意志.因此，建议减少试题数量，提高思维含量.（2）客观题多，主观开放题少.学科教育是教育的一部分，具有智慧生命.目前，高考试题为了避免人为因素引起的不公平，片面追求客观化、数量化，导致一些学生客观题功亏一篑，被冰冷的分数掩盖、埋没.建议去掉选择题，减少填空题数量，通过以主观题为载体的思维对话（自主招生试题与面试作了有益的尝试），切实挖掘学生真实的情感与能力.（3）评分标准要透明、统一.评分标准关乎考生的命运，备受师生关注.以前高考答案（册）中有赋分标准，使学生学习知根知底，教师教学心中有数.通过解读评分标准，使师生在现实中实现理想.省（市）考试院可对赋分的依据、上一年（近几年）学生高考的情况进行通报，使师生抬头看路，有的放矢.各省评分标准尽可能统一，以免造成师生无所适从.（4）试水速度缓慢.锐意改革，逐步推进，稳中求变是当前高考卷试水题的发展规律，以数学文化为例，主要以数学史和经典数学问题为载体，对数学史是浓墨重彩还是蜻蜓点水？若用文言文考查，异化到语文古文领域；若直接翻译为现代文，其功能无从谈起.如何把握好度，开拓更多途径值得深思. 上面罗列了高考数学试题的部分特点，可作为（新授课与复习课等）教学的重要参考.如夯实基础，构建知识网络体系；感悟数学思想，理解数学方法；适度形式化，注重挖掘本质；培养创新意识，突破知识交汇等，其作用与实施办法不再赘述，此处强调四点. 1.强化阅读理解能力培养 高考在考查基础知识的同时，着重考查诸多方面的能力，而要让这些能力在解题过程中得以充分发挥，离不开对题目的阅读理解.数学阅读障碍导致不少学生出现数学学习困难，读不懂，读不通，不能正确完整理解题意，正是考生认为试题偏难原因之一.教师要深入分析学生数学阅读障碍的原因，给予系统性的指导策略.因此，教学中要加强阅读理解能力训练，教会学生阅读（泛读，细读、精度）的方法，使学生获得源头活水. 2.教师自觉深入学习反思 当前教师多是埋头教学无暇三思，对新问题不求甚解，企图通过题海战术让学生感知、感悟、理解、升华，把压榨学生当作认真负责.教育作为一门人文科学，要立足于人性，从而自然的教育便是“爱”，爱让教师要敢于担当，乐于奉献.教师要不断地学习，解决、反思、整合问题，时时刻刻、事事处处站在系统的高度讲授知识，让知识总是以“系统中的知识”的面目出现在学生面前.教师要着眼于知识之间的联系和规律，使学生从系统的高度领悟和把握知识进行思考，做到八方联系，浑然一体，达到浮想联翩、思潮如涌的思维状态.在此过程中，教师要抓住机会向学生学习，丰富自己的理解，实现教学相长. 3.重视概念理解推进教学 《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.”概念是思维的基本形式，具有确定研究对象和任务的作用.数学概念则是客观事物中数与形的本质属性的反应，是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解决问题能力的前提，是数学学科的灵魂和精髓.概念是解题的出发点与归宿，无论怎么强调都不为过.但要注意每一个数学概念都有一定的发展过程，不同学段的学生对同一概念的理解也应当是不同的，这是学生的认知水平和认知规律所决定的. 4.加强自主探究能力训练 教育家苏霍姆林斯基说过：“没有自我教育，就不是真正的教育.”教师不要急于用自己的思想去同化学生的片面观点、错误认识，而应站在学生的立场去顺应学生的思维，掌握其思维轨迹，给学生一定的探究平台、时间和空间，让学生在探究中发现错误，寻找错因，探究正解，在辨析中明理，在理解中内化，在纠错中升华. 1.［美］R.柯朗，H.罗宾.什么是数学——对思想和方法的基本研究［M］.左平，张饴慈，译.上海：复旦大学出版社，2005. 2.朱恒元.星垂平野阔 月涌大江流——2012年全国各地高考数学试题的特点和启示 ［J］.中国数学教育（高中版），2012（7/8）. 3.郑良.强化变形意识 明晰变形方向 深化变形理解 提升解题能力［J］.数学通讯（教师版），2015（3）. 4.孙勇军，许晓天.注重基础创新 达到平稳过渡——2015年安徽省高考数学试卷评析［J］.中学数学（上），2015（8）.三、教学启示
