由动圆相切引出的问题

江苏省南京河西外国语学校 李 敏

由动圆相切引出的问题

江苏省南京河西外国语学校 李 敏

圆是初中数学中非常重要的基本图形，而动圆使圆能够“运动”起来，这就可以在丰富出题思路的同时增加题目的难度。动圆相切作为其中的一类问题，在具有以上性质的同时，还具有情况多样、注重思维等特点。

坐标；面积；时间；动圆；相切

相切在平面几何的各种位置关系中是非常特殊的，由相切我们可以得出很多性质，但是如何巧妙地应用以达到简化答题、准确答题的目的是我们要学习的。接下来就分几种情况，向学生介绍相切这种情况下的解题思路。

1、求坐标

坐标一定是在直角坐标系中的，所以涉及求坐标的问题大多是与函数结合起来考查，常见的有一次函数、二次函数、反比例函数等等，这就需要我们全面掌握各种函数的图像、性质等，对学生的知识范围是有力的考查。

解析：首先我们要在直角坐标系中画出抛物线的图像，接下来就是确定动圆在何处时会与x轴产生相切。由抛物线的解析式可知顶点到x轴的距离是1，并不能存在点P在x轴下方相切的情况，所以动圆只能在x轴的上方分为在y轴左右的两种情况分别相切（如题中图所示），下面就对此进行求解。当动圆与x轴相切于点A时，P1的纵坐标是2，代入二次函数中得出横坐标。横坐标出现两个值，其实这就是上面所说的两种情况，它们是关于y轴对称的。综上所述，求出点P的坐标为或。

点拨：题中如果将动圆的半径减小到某一个值时，就有可能出现在x轴下方与其相切的情况了，这时就会出现四种情况，学生可以将此作为拓展，自行计算出满足条件的半径值。不光是二次函数，当有这种对称性质的图形时都要注意情况的多样性。

二、求面积

这里的面积并不是求两个动圆的面积，大多数都是与两个圆有关的其他图形的面积。这就需要学生在知道动圆相切时的位置关系的基础上对各种图形的面积公式了如指掌，同时对割补法等常见的求面积的方法也要掌握。

例2 如图所示，△ABC为等腰直角三角形，，。有一个半径为1的圆A，O点在BC边上运动，设BO=x，。（1）求y关于x的关系式和x的取值范围：（2）以BO为半径，O为圆心做圆O，当此圆与圆A相切时，求△AOC的面积。

点拨：当在初中数学中涉及直角三角形的知识时，勾股定理是非常实用的，尤其是在求边长证明直角三角形等问题上，另外本题中的两种情况必须都要计算才行。关于相切问题，由于位置关系的不同常出现多种情况，学生一定要考虑全面。

三、求时间

当出现时间的时候，就一定会伴随着路程与速度，可以说此种情况是更加偏向于实际情况的，让原本的计算问题添加一些实际气息会使题目更加有趣，在激发学生兴趣的同时也更加贴近中考的出题理念，是很好的出题思路。

例3 如图所示，有两个半径都为2cm的动圆圆P和圆Q，圆心分别为P，Q。有一矩形ABCD，AB=20cm，BC=4cm。点P从A点出发以4cm/s的速度沿着曲线A-B-C-D移动，与此同时，点Q从C点开始以1cm/s的速度沿着CD运动，当两者有一个到达D点之后，两点就都停止移动，求t为何值时两动圆相切。

点拨：此类问题并不注重对学生计算能力的检验，而是更加看重学生的逻辑思维能力以及分析推理能力，情况的多样性使题难度增加的同时，还容易让我们的思路变得不清晰，这就需要学生在解题时集中注意力。

纵观全文，我们可以看出动圆相切问题的多样性是非常强的，不论以何种形式考查，在题中都会出现不同的情况，这就给我们一个启示，在解此类题时务必要考虑全面，不能在盲目找出一种情况时就直接结束本题的解答。