概率论与数理统计问题式教学的探索与实践*

殷 烁，丛玉华，于梅菊

(通化师范学院数学学院，吉林通化134002)

概率论与数理统计问题式教学的探索与实践*

殷 烁，丛玉华，于梅菊

(通化师范学院数学学院，吉林通化134002)

在地方本科高校转型发展，大力培养应用技术人才的导向下，概率论与数理统计课程教学也面临着严峻挑战.如何改进教学方法，加强学生实践与应用能力的培养，是我们应该特别关注的问题.问题式教学是一种以发现问题、解决问题为主线的教学活动，有利于应用型创业型技术人才的成长，是进行概率论与数理统计课程教学改革的有效方法.

地方高校;概率论与数理统计;问题式教学

概率论与数理统计是大学数学的一门主要课程.学生对这门课程普通感觉基本概念抽象难以理解、思维受限难以展开，应用起来更难.在传统教学模式已不完全适用的情况下，如何改进这门课的教学方法就显得特别重要.课题组经过多年的教学实践和探索，认为在概率论与数理统计课程教学中，应把问题式教学作为主要的教学方法.

1 问题式教学概述

问题式教学模式是激励学生去“疑”去“问”，教学中以发现问题、提出问题、分析问题、解决问题为线索，并把这一线索贯穿于整个教学过程始终.是以问题为载体，把教材上的知识点以问题的形式呈现在学生的面前，让学生在寻求、探索解决问题的思维活动中掌握知识、发展智力，进而培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力.

例如在学习条件概率时，可以利用“玛丽莲问题”先制造一个问题情境:多年前，美国的玛利亚幸运抢答电台公布了这样一道题:在三扇门的背后藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的.现在让你选择，如果你选中了一扇门，然后主持人打开了剩余两扇门中的一扇，让你看清这扇门背后的是只羊，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对小汽车的概率.

这个问题叙述得简单、明确，学生们很感兴趣，就主动地参与到这个问题的讨论中.讨论的方法是这个问题的答案与主持人是否知道所有门背后的车辆有关，这样就可以很自然地引出条件概率，通过创设问题情境并来学习此概念，学生们觉得很有意思，同时又意识到所学的随机数学与我们日常生活是有着密切联系的，提高了学习的积极性.

达尼洛夫在《教学过程》中提出“问题式教学理论就是让学生处于问题解决的角色.一方面通过问题来进行教学，把问题看作是教学的动力、起点和贯穿教学过程的主线;另一方面通过教学来生成问题，把教学过程看成是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程，让学生通过老师的协助主动学习并尝试去解决问题”.［1］在概率论与数理统计教学中采用问题式教学目的在于引导教师更新教育教学观念，构建以培养学生独立思考、主动探究、自觉实践的基本价值取向的教学内容和教学方法体系.在教学过程中，教师首先设立问题情境，用以激发学生的求知欲和探索欲，鼓励学生积极思考、大胆质疑，并帮助学生推理、比较、鉴别和分析.教师不但要自己善于提出启发性问题，也要鼓励学生质疑问难.教师在课堂上不再纠结于繁琐的概念、定理、性质之类的东西，而是突出重点、难点的讲解，并给学生指明解决问题的关键，指明钻研的道路.

2 问题式教学的实施

如何在概率论与数理统计教学中去具体实施问题式教学?我认为，更新教学观念是前提，设计好问题是手段，培养学生的问题意识是核心，掌握系统知识是基础.

2.1 更新教育教学观念

在教学中以谁为中心是一个教学观念问题，要保证问题式教学顺利开展下去，首先要更新教育教学观念，以学生为中心.大学教学有其学术性和严谨性，但现在大学生接受的不再是一种真理式教育，即对“准确”与“唯一”的追求.［2］学习的内容也从公理、定理拓展到了假说、猜想等.教师在概率论与数理统计问题式教学中要培养学生的发散思维和逆向思维，催化他们发明与创造的热情.要想方设法引导学生积极思考，发现问题并创造性地解决问题.让学生既能主动地接受必要的知识，又能积极地沿着这些知识线索延伸到更宽广、更深刻的领域.要做到这一点就需要教师树立正确的教育教学观念，在教学中尊重学生的主体地位.在概率论与数理统计问题式教学中，教师还应及时掌握本学科的发展动态，借鉴吸收最新研究成果.要对所教授的内容融会贯通，才能更好地设计问题，准确地解决问题，提高教师的学术思想、学术水平和综合素质是进行概率论与数理统计课程问题式教学的先决条件.

需要指出的是，根据奥苏泊尔的学习理论，学生学习可以分为四种类型:有意义地接受学习、机械地接受学习、有意义地发现学习与机械地发现学习.显然，问题式教学属于有意义地发现学习，但是不全盘否定其他的教学方式.在问题式教学中，教师也要辅之以讲授式，因为学生如果长时间处于思考状态中，他们会感到厌倦，学习的质量就会明显下降.在概率论的发展历史中产生了很多有趣的、新颖的随机变量问题，［3］结合这些问题进行问题设计会使学生在一种趣味的数学情境中探究和学习.

2.2 精心设计问题

问题式教学是以问题为纽带，基于问题情境发现探索知识，掌握技能，学会思考，学会学习，学会创造，提高学生的创造力.一个好的问题设计要有内在的启发性.通过启发性问题情境去开启学生的思维，主动获取知识.［4］

(1)问题指向明确，难度适宜.问题式教学的问题设计时一定要使其难度适宜.要符合“摘桃子”的原则，使学生的思维达到“最近发展区”水平.还要根据教材的重点难点设计问题，指向关键点.

(2)问题具有内在的启发性.以随机试验的概念为例.在传统的教学中往往是教师把试验的三个特点给出:①可以在相同的条件下重复进行;②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果;③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.再举几个例子进行说明，但是这一概念虽然简单却很重要，因为概率论与数理统计课程的所有结论的得到基本上都要通过随机试验给出.它会影响到很多概念与定理的理解.教师可以改变传统的做法，与学生一起做一些随机试验.如掷骰子，抛硬币等，然后提出问题:这些试验具有哪些共同特征?再引导学生自己把“随机试验”的三个特征得到.这个问题虽然显得简单，但却具有内在的启发性.通过正确回答这个问题，学生必须归纳总结出上述三个特征.这既可以开发学生的智力又可以培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，达到了传统教学法无法实现的教学效果.

2.3 大胆质疑，培养学生问题意识

爱因斯坦曾说:“提出一个问题往往比解决一个问题重要，因为解决一个问题也许只是数学上或实验上的技巧问题.而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.”

教师不仅要鼓励学生在课堂上大胆质疑，而且在课程进展到一定阶段后，要向其推荐一些期刊上的论文或教材与著作中的重点章节进行阅读和探究，从中发现问题，提出问题，论证问题，以培养其提出问题的能力与创新意识.如有些同学提出了下列读书报告与论文题目:①期望与方差在教学评价中的作用;②正态分布在教育教学研究中的应用;③选课策略研究;④正态随机变量的独立性及相关性研究.

2.4 注重知识的系统性，形成良好的认知结构

大学教学与基础教育阶段教学的一个最大不同点是强调知识的系统性.强调培养学生系统掌握知识的能力.大学教育的主要功能是专业教育，为将来进一步深造或从事专业工作做充分的准备.大学的每一门课程自身都是一个系统，这样大学的课堂教学就与中小学有了本质的不同，大学教师不管采用何种模式、方法进行教学都必须坚持一条原则，那就是帮助每一个学生建立自己的知识系统，形成良好的认知结构，能够在适当的条件刺激下，迅速准确地提取出有用的信息.碎片化的、杂乱的认知系统就谈不上将知识转化为能力，灵活运用知识解决实际问题.

图1 概率论与数理统计概念支架

例如，在学习完概率论与数理统计课程时，老师就应该向学生提出“概率论与数理统计的区别与联系是什么?”的问题，让学生课后从它们的研究对象、研究条件、研究内容和思想方法进行对比研究后交出一份概率论与数理统计概念支架图，这张图可能形式各异，因为每个人对概率论与数理统计的认知结构不可能完全一样，但是大体上都是图1所示的模式.

通过回答这个问题，学生对概率论与数理统计的知识结构有了深刻的理解，在头脑中构建出了一个很好的关于概率论与数理统计知识系统的认知结构，为今后在自己的专业领域应用概率论与数理统计知识打下了坚实的基础.

综上所述，在地方普通高校向应用技术型高校转型的导向下，概率论与数理统计课程的教学改革还要进一步深化，构建完善的教学内容与教学方法体系，进而培养学生应用能力、创新能力，为社会培养高素质的应用型高级专门人才，是我们需要长期研究的课题.

［1］M.A.D.达尼洛夫.教学过程［M］.北京:人民出版社，1998.

［2］刘莱玄.利用概念图促进学生知识构建的探索［J］.数学教育学报，2010(19):3.

［3］孙莱恒.趣味随机问题［M］.北京:科学出版社，2012.

［4］徐玉如.把问题式教学建设为一流教学方法［J］.中国教育报，2009(1):12.

(责任编辑:陈衍峰)

由式(10)、式(11)解得

3 结束语

从上述例子的求解过程可以看出，有些三角函数有理式的积分，用传统的万能代换法求积分过程相当困难，有时甚至无法积出.因为传统的万能代换法求积分过程有其不足之处，主要是有些三角函数有理式用万能代换化为代数有理式后仍然比较复杂，使求积分的难度加大了.若巧妙使用辅助积分法解决这类问题，则积分过程简洁，思路清晰明了，因此辅助积分法对解决某些三角函数有理式积分是有效而实用的，是一种新方法和新思路，当然辅助积分法只能是传统万能代换法的有益补充.灵活使用这种方法，能丰富积分手段，提高积分能力.

参考文献:

［1］张友梅，唐绍霞.不定积分的求解方法［J］.通化师范学院学报，2015，4(2):29－31.

［2］同济大学应用数学系.高等数学［M］.北京:高等教育出版社，2002.

［3］谭维奇.高等数学［M］.南京:江苏人民出版社，2008.

［4］张治俊，黄江，连玉.新编高等数学［M］.北京:北京邮电大学出版社，2012.

［5］夏国斌.高等数学［M］.合肥:安徽大学出版社，2006.

［6］韩群，宋立温.高等数学［M］.北京:冶金工业出版社，2009.

(责任编辑:陈衍峰)

G642

A

1008－7974(2016)06－0105－03

10.13877/j.cnki.cn22－1284.2016.12.032

2015－10－20

吉林省教育科学规划项目“地方高校转型趋势下概率论与数理统计课程教学改革探索与实践”(GH14398);通化师范学院高等教育教学改革研究课题“以数学建模竞赛为依托，促进概率论与数理统计课程实践性应用型教学改革研究”

殷烁，女，吉林通化人，副教授.