b-度量空间中压缩型映象的公共不动点定理

刘丽亚,谷峰

(杭州师范大学数学系,浙江 杭州 310036)

b-度量空间中压缩型映象的公共不动点定理

刘丽亚,谷峰

(杭州师范大学数学系,浙江 杭州 310036)

在完备的b-空间中,建立一个压缩型映象,研究公共不动点的存在性和唯一性,得到了一个新的公共不动点定理.举例证明了在b-空间中的新结果,改进了当前文献中的结果.

完备b-空间;压缩映象;公共不动点;弱相容

1 引言和预备知识

Czerwik在文献[1-2]中介绍了b-度量空间的概念,最近,文献[3-13]在b-度量空间中研究了满足一定压缩条件的非线性算子的不动点的存在性问题,得到了一些新结果.

受上述文献的启发,本文介绍b-度量空间的定义,主要在完备b-度量空间中研究压缩型映射不动点存在性问题,得到了几个新的不动点定理,本文的结果推广了一些已知的相关结果,而且也是度量空间中某些经典结果在b-度量空间的进一步推广.在介绍主要结果之前,先介绍一些基本概念和已知结果.

定义1.1[1]设X是一非空集,令d：X×X→R+满足：

(b-1)d(x,y)=0,若x=y;

(b-2)d(x,y)=d(y,x),∀x,y∈X且x≠y;

(b-3)d(x,y)≤s(d(x,z)+d(z,y)),∀x,y,z∈X,s≥1.

则称函数d是X上的一个b-度量,或称d是X上的一个b-度量,称(X,d)为b-度量空间,s为其系数.

定义1.2[8]设X是一非空集,(X,d)是b-度量空间,点列{xn}⊆X.

引理1.1[8]设X是一非空集,(X,d)是具有参数s≥1的b-度量空间,序列{xn},{yn}⊆X分别收敛于X中的两点x,y,则有

特别的,当x=y时,有limn→∞d(xn,yn)=0.此外,∀z∈X,有

引理1.2[8]设(X,d)是一个b-度量空间,序列{xn},{yn}⊆X,如果

则

注 1.1[14]设X是一非空集,(X,d)是b-度量空间.在X中存在三个偏序关系和令A,B,C,D,E,F：X→X是X中的六个自映象.

其中x∈X.

定义1.3[14]设X是一非空集,(X,d)是b-度量空间,是X上的一偏序关系.序列{xn},{yn}⊆X分别收敛于X中的两点x,y,即

定义1.4[14]设是定义在b-度量空间(X,d)中的两个偏序关系.令A,B,C,D,f,g：X→X是X中的六个自映象.称f是(A,B,C,D,g≼1,≼2)稳定的,如果满足下列条件：

定义1.5[13]b-度量空间(X,d)中的自映象对(f,g)称为是弱相容的,若fx=gx,x∈X,就有fgx=gfx,即d(fx,gx)=0⇒d(fgx,gfx)=0.

2 主要内容

该文处处假设以下两种类型的函数：

定理2.1设X是一非空集,(X,d)是完备的b-度量空间,s≥1为其系数.其中为(X,d)上的三个偏序关系.函数f,g,S,T,A,B,C,D,E,F,I：X→X为X上的11个的自映象,其中I表示X中的恒等映象,且满足以下条件：

定理2.2设X是一非空集,(X,d)是完备的b-度量空间,s≥1为其系数.其中为(X,d)上的三个偏序关系.函数f,g,S,T,A,B,C,D,E,F,I：X→X为X上的11个自映象,其中I表示X中的恒等映象,且满足以下条件：

如果f,g,S和T其中之一在(X,d)上是闭区间,则当(f,S)和 (g,T)是弱相容时,这时f,g,S,T有唯一的公共不动点.

证明与定理2.1的证明方法类似,同理也可证得.

定义2.1[14]设X是一非空集,(X,d)是b-度量空间,其中是定义在X上的两个偏序关系.令A,B,C,D,f：X→X是X中的5个自映象.称g是 (A,B,C,D,f)稳定的,如果满足下列条件：

注 2.1在定理2.1中,令函数S,T为X中的恒等映像I.即可得到以下结果.

推论2.1设X是一非空集,(X,d)是完备的b-度量空间,s≥1为其系数.其中为(X,d)上的三个偏序关系.函数f,g,A,B,C,D,E,F,I：X→X为X上的9个自映象,其中I表示X中的恒等映象,且满足以下条件：

如果f和g其中之一在(X,d)中是闭区间,则f,g有唯一的公共不动点.

注 2.2[5]在推论2.1中,令函数f,g为X中的同一个映像T,即可得到以下结果.

推论 2.2设X是一非空集,(X,d)是完备的b-度量空间,s≥1为其系数.其中为(X,d)上的两个偏序关系.函数T,A,B,C,D：X→X为X上的五个自映象,且满足以下条件：

3 非线性方程解的唯一性

令推论2.1中的A,B,C,D,E,FI为X中的恒等映象,定义偏序关系

在以上情形中,我们可以考虑方程组的解的存在性情况.

规定X=C[0,T]为所有[0,T]上的连续函数全体,现在我们考虑下列积分方程组在[0,T]中解的存在情况.

这里函数G1,G2：[0,T]×[0,T]×X→R+.

在X中定义b-度量为

其中2s-1为其系数.

假设在b-度量空间(X,d)中满足以下条件：

定理3.1在条件(a)-(c)下,可证得方程(32)在X中存在唯一解.

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A common fixed point theorem of contractive mappings in b-metric spaces

Liu Liya,Gu Feng
(Department of Mathematics,Hangzhou Norm University,Hangzhou 310036,China)

In complete b-metric spaces,by establishing a new contractive condition,we obtain the existence and the uniqueness of fixed point theorem,We also provide illustrative examples in support of our new results in b-metric spaces.The result obtained in this paper differ from the recent relative results in the literature.

complete b-metric space,contractive mappings,common fixed point,weak compatible

O178

A

1008-5513(2016)06-0591-15

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.005

2016-09-01.

国家自然科学基金(11071169);浙江省自然科学基金(Y6110287).

刘丽亚(1990-),硕士生,研究方向：应用非线性分析.

谷峰(1960-),教授,研究方向：应用非线性分析.

2010 MSC:47H10,54H25