基于抽象性的函数问题分类

王 康

(吕梁学院汾阳师范分校，山西 汾阳032200)



基于抽象性的函数问题分类

王 康

(吕梁学院汾阳师范分校，山西 汾阳032200)

通过对函数抽象性表征的分析，从人们认识事物对象时思维方式的转变过程这一角度，文章将函数问题进行分类，以期找到有效解决函数抽象性问题的解决策略。

函数；抽象性；思维方式

高一学生学习的函数概念是第二次接触了，是站在了一个新的高度，变换了一个认识的角度，再次学习函数概念，主要体现在知识内容的广度上陡然增大，学习内容的深度上越来越抽象。相比于初中学习的函数来说，高一学习的函数增添了许多新内容，比如定义域、值域、对应法则、函数性质及符号化、形式化的表述等等，而这些新内容是看不见、摸不着的，似乎感觉没有什么实用性，充分体现出学生认知结构的不完整。

高一学生所面临的抽象问题分为相对的抽象和绝对的抽象。相对的抽象主要来自于函数概念的抽象性表征，比如函数本质属性的认识、函数基本性质的理解等，属于认知层次的抽象；绝对的抽象是指对函数问题符号化、形式化表述的深刻认识和没有解析式的纯抽象函数问题，主要体现在学生逻辑推理能力和思维的深刻性，属于思维层次的抽象。文章从函数的各种抽象性表征出发，结合教学实际，将函数问题进行分类。

1 函数的抽象性表征

表征即信息在头脑中的呈现方式，从长期的教学实践和前人的研究成果来看，对于学生来说，函数的抽象性表征主要表现在如下几个方面：

1.1 符号化、形式化的抽象表征

数学符号是在数学抽象化的基础之上由数学家们在研究工作中逐步引入的，而数学符号的逐步引入，又促进了数学的形式化，只有形式化，才能揭示数学对象的基本结构和基本特征，保证数学推理和演算的严密性，促进数学科学的繁荣与进步[1]。但是，数学抽象符号的使用在提高运算、证明速度的同时，也增加了其本身承载的信息量，使得学生在数学学习和数学解题中遇到了很多来自数学符号的困惑，致使一些学生感觉读不懂题，无从下手。

数学抽象符号的正确认识是进一步形式化表述、书写的前提,学生如果对其没有正确的认识，就不能从变量对应的角度理解函数，当其独立解题时只能靠死记硬背，生搬硬套，而这种机械记忆、模仿重现的学习方法对人的大脑皮层刺激方法单一，很容易产生遗忘，到头来还是不会做题.从而直接导致很多方法(待定系数法、换元法、赋值法、配凑法等)是一知半解，不能领会到方法的本质，普遍出现“听而不懂”、“懂却不会”、“会却做不对习题”的怪现象。

1.2 图像与性质的抽象表征

函数图像的几何特征与习题中的数量特征紧密结合，是数形结合解决函数问题的根本之所在，图像的抽象表征是一种站在方法论的角度处理函数抽象性问题的有力工具。然而，学生在实际解题时常常表现出来的是，画不出图与读不懂图。

函数的基本性质是刻画函数图形特征的，是较函数概念更高层次的抽象，因为其中夹杂了自变量之间、函数值之间的关系比较，具体的抽象表征体现在：第一，概念叙述抽象，其中加入了简易逻辑中的全称量词“任意”二字，在实际教学中，初学的同学经常会把“任意”二字特殊化；第二，性质的应用，在综合性的题目当中，函数的基本性质发挥了极其重要的枢纽式的作用，所以要理解函数性质抽象表征背后的实质，如单调性是为了刻画函数变量间的不等关系，奇偶性是为了刻画函数图形的对称特征。

1.3 函数属性的抽象表征

2 基于抽象性的函数问题分类

抽象和具体是人们认识客观对象的完整的思维方式，人们认识事物对象时，首先是通过感觉、知觉所把握的各种感性规定性的综合，反映的是具体的事物对象，我们把它称之为感性具体。在这一基础上，人们使用分析的方法，从众多具体事物对象中舍弃个别的、非本质的东西，抽象出共同的本质属性，这样，人们的认识就从感性具体发展成理性抽象，更进一步，弄清抽象对象各部分间的内在联系，每一个规定占什么地位，起什么作用，把各种抽象的规定进行更深刻的思维加工，再从总体上把握某一具体事物对象，使人们对具体事物对象的认识又由理性的抽象上升到理性的具体或者思维的具体。正是借助于抽象和具体的方法，人们对客观事物的认识不断的有现象向本质深入、由片面向全面发展，我们把人们认识客观对象的一般思维方式用图示表示如下：

纵观初高中函数部分的学习，课本的编排也是符合以上人们认识客观事物对象的思维方式的：首先初中课本通过具体反比例函数、一次函数、二次函数，反映函数“变量说”，即为感性具体；其次高中课本由3个实例导入，抽象出函数共同的本质属性，函数“对应说”由此产生，进而从一般角度抽象出函数的基本性质，即为理性抽象；最后把各种抽象的规定通过更深层次的加工来把握具体的基本初等函数，即为理性具体。因此，我们的教学也应该遵循这一思维认知过程。

感性具体和理性具体是思维发展过程中的两个不同阶段，但他们有着本质的不同：感性的具体是零散的，是“知其然，不知其所以然”；理性的具体则是把事物各个抽象的规定综合为一个相互联系、相互制约的整体，是对事物完整的的认识[2]。

抽象是数学区别于其他学科的主要特点，《普通高中数学课程标准(实验)》中强调，在具体教学中，要引导学生经历从具体到抽象，概括事物本质属性而获得函数概念，在运用中形成知识网络[3]下面围绕思维方式上抽象与具体之间的转化，我们将函数抽象性问题分为如下几类：

2.1 具体——抽象——具体

有些函数问题已知条件明确具体，若用常规办法处理会导致非常繁琐，若能结合条件把问题抽象，上升到一般角度，考虑函数抽象性的性质表征，再从性质出发解决具体函数问题，往往能收到意想不到的效果，我们称这个过程为具体函数抽象化。

分析： 此题可直接代入计算，但运算量巨大易错，注意到所求中自变量互为相反数，我们可以研究此具体函数的定义域及奇偶性，得到∀x∈(-1,1)，都有f(-x)=-f(x)，即f(x)+f(-x)=0，从而得解。

2.2 抽象——具体——抽象

与上一类问题相对的是，题中条件均抽象不具体时，倘若能把抽象函数具体化、图形化，通过自然语言表述加工转化，可能会收到意想不到的结果，打开解题思路，我们称这个过程为抽象函数具体化，通常采用的方法有：变量赋值具体化、函数图形具体化、函数解析式具体化。

例2 已知函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(x)=1，求证：f(x)是偶函数

分析：深入分析f(x1x2)可知，只需证f(-x)=f(-1)+f(x)即可，所以重点思考f(-1)=0，即证f(1)=0，此时结合条件将x1,x2均具体化为1，即找到解题思路。也可结合f(x1x2)=f(x1)+f(x2)将函数解析式具体化为f(x)=log2|x|分析。

通过抽象函数具体化只是为了找到题目解决的切入点、突破口，即通过具体函数的解析式、图像来推测抽象函数的性质，同时也要注意不能完全代替应用，要把握分寸，防止以偏概全的解决问题。

2.3 纯抽象性问题

解决纯抽象性函数问题要求学生有较完备的知识结构，有一定的解题经验，充分利用数形结合、转化划归等数学思想，是对学生综合素质的锻炼与提高。除此之外，还要求学生能从众多条件中把握此函数最本质性质，并深入分析应用，重视知识点的交汇处，善于利用函数图像的抽象表征。

例3 设f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上根的个数，并证明你的结论。

分析：从条件中不难得到函数的周期、对称轴、零点等信息，若学生能据此简单勾画出函数草图便可得出函数为非奇非偶函数，明确解题方向：欲证非奇非偶只需利用周期性找一特殊位置说明函数没有对称性即可，如(-3,f(-3))与(3,f(x))；同样，零点个数问题，也是结合草图利用周期性证明函数在[4,7]和[7,10]上无零点，在[0,10]上只有1和3两个零点。

以上是从函数解题时思维发生发展的角度，对函数问题进行分类，探寻在解题中如何将抽象化与具体化相结合来降低函数抽象性带给学生的认知障碍，以期寻找克服函数因其抽象性而难教难学的有效解决策略[4]。

[1]郑正亚·数学抽象概念教学随笔[J].数学教育学报, 1999(1):75-78.

[2]史宁中·数学的抽象[J].东北师大学报哲学社会科学版, 2008(5):169-169.

[3]中华人民共和国教育部·普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.

[4]王康·高一数学函数抽象性教学研究[M].山西:山西师范大学,2014.

(责任编辑：王德红)

Analysis of the Function Categorization form the Perspective of Abstractness

Wang Kang

(Lvliang College Fenyang Teachers’ School Branch,Fenyang 032200,Shanxi,China)

Analysing the abstract characteristics of the function from the perspective of variation of thinking modes towards the concrete objects, the paper focuses on the categorization of the function so as to find the best strategy to tackle the issue of abstractness of the function.

function，abstract，thinking modes

2016-09-10

王康(1982～)，男，吕梁学院汾阳师范分校讲师，硕士。研究方向：基础数学。

G634.6

A

1673-9507(2016)06-0115-03