子系统码的一个图的构造方法*

陈丙亚，白姗姗

(安徽理工大学 理学院,安徽 淮南 232007)

子系统码的一个图的构造方法*

陈丙亚，白姗姗

(安徽理工大学 理学院,安徽 淮南 232007)

子系统码是具有消相干自由子空间、无噪子系统和量子纠错码混合特点的一类量子纠错码。介绍线性码和子系统码的基本知识，基于前人的研究，首次利用三元图邻接矩阵生成的三元线性码构造子系统码，并给出具体的子系统码参数，进一步丰富已有结论，同时结合具体的例子，分析构造的子系统码的性能，发现构造的子系统码可以纠正小于或等于3个量子错误，且它们的码率随着码长增大而增大。

子系统码；三元图；线性码；邻接矩阵

0 引 言

当前，子系统码（也称算子量子纠错码）已经成为量子编码理论领域的一项重大发现。有关消相干自由子空间、无噪子系统和量子纠错码的最新研究表明，这三个方面的内容可以统一为子系统码。子系统码拥有一些特殊功能，如简化综合计算、易实现容错操作等[1]。

Knill[2]和Kribs[3]等人首次提出子系统码概念，即结合基本范式的量子纠错码的一般模式，也称为算子量子纠错码。Kribs[3]和Bacon[4]等人对子系统码的形式结构和它们与子系统码的关系作了介绍和分析。2008年，Klappenecker[5]等人根据Clifford码介绍了子系统码的一种原始构造。Aly[6]等人则证明了在二进制和非二进制域上构造子系统码的几种方法。Qian[7]等人给出一类新的循环码构造，并提供一类新的最优子系统码。

本文首先介绍线性码和子系统码的基本知识，再利用三元图的邻接矩阵生成的线性码构造新的子系统码，最后给出具体的例子来分析文中构造的子系统码的性能。

1 基本知识点

1.2 子系统码

这部分将对子系统码的背景做简单介绍[5]。

令{|x x∈Fq}是复矢量空间Γq中关于标准Hermitian内积的一个固定的正交基，称为计算基失。对a,b∈Fq，分别用X(a)|x=|x+a和Z(b)|x =ωtr(bx)|x定义Γq上的单位算子X(a)和Z(b)。

定义1[8]：一个((n,K,R,d))子系统码是的子空间Q被分解成两个向量空间的张量积，即Q=A⊗B，其中向量空间A的维数为K，向量空间B的维数为R。因此，Q中所有重量小于或等于d的错误都可以被A检测。

我们称A为子系统，B为协同子系统，而信息只在子系统A中被编码。

((n,K,R,d))q或 [[n,k,r,d]]q， 其 中 k=logqK，r=logqR）子系统码可以由Fq上的经典码构造。下面给出Euclidean构造。

定理1[9]：若C是有限域Fq上长度为n的一个k'维线性码，码C的一个k''维子码D=C∩C⊥且k'+k''＜n，则存在参数为[[n,n-(k'+k''),k'-k'',wt(D⊥C)]]q的子系统码。

引理1[10]：设d是量子纠错码C的最小距离，则C可以纠正≤l个量子错误。

2 新的子系统码构造

图的邻接矩阵是表示两个事物之间具有的特定关系。用邻接矩阵表示图很容易确定图中任意两个顶点是否有边相邻。通常，图是以其邻接矩阵的形式贮存于计算机。

下面给出图的邻接矩阵的定义。

定义2[11-12]：对任意图G，设v1,v2,…,vn和e1,e2,…,em（其中m和n分别表示点和边数）分别表示G的顶点和边，则伴随与G的一个n×n矩阵A(G)=[aij]是邻接矩阵。其中，aij是连接vi和vj的边的数目。

文献[13]中，Key、Moori和Rodignes给出由三元图的邻接矩阵生成三元线性码的方法，同时也给出了由三元图的邻接矩阵生成的三元线性码的参数，分别如引理2和引理3、引理4所述。

引理2[13]：设Ω是一个大小为n≥7的集合，令P=Ω(3)是大小为3的子集合，且对i=0,1,2，P=Ω(3)是3个图Ai(n)的顶点集。设Ci(n)是域F3上图Ai(n)的一个邻接矩阵生成的线性码。

引理3[13]：当n≥7且n≡1(mod3)时，存在三元线性码其中2(n-3)＜n≤4(n-4)；当n≥10时，其对偶码为且有

引理4[13]：当n≥10且n≡1(mod3)时，存在三元线性码其对偶码为

文献[14]中，钱建发等人利用立方图线图生成的二元线性来构造量子纠错码和非对称量子纠错码，得到了一类新的量子纠错码和非对称量子纠错码。鉴于此，下面将利用三元图的邻接矩阵生成的三元线性码来具体构造一批子系统码，如引理5、定理2相关论述。

引理5[13]：当n≥7且n≡1(mod3)时,有C1(n)=

定理2：当n≥10且n≡1(mod3)时，存在参

证明：三元图上的线性码C1(n)和C2(n)满 足 关 系可 验 证 当时， 满 足再根据定理1可知，可以构造参数为的子系统码。

例如，当n分别取10,13,16,19,22和25时，其对应的线性码和子系统码，如表1所示。

从表1可以看出，所构造的子系统码是新的。根据引理1可知，这些子系统码可以纠正小于或等于3个量子错误，且它们的码率分别为

表1 带具体参数的线性码及其对应的子系统码

3 结 语

本文首次利用三元图的邻接矩阵生成的三元线性码构造子系统码，得到了有具体参数的子系统码。分析它们的性能发现，这些新的子系统码可以纠正小于或等于3个量子错误，且它们的码率随着码长n的增大而增大。

子系统码是相对较新和富有成果的量子纠错码。对编码者来说，如何利用更简单、更快捷的方法构造出有具体参数和性能良好的子系统码是子系统码未来研究的热点，这也将是本文的下一步工作。

[1] Aly S A.On Quantum and Classical Error Control Co-des:Constructions and Applications[D].State of Texas:Texas A＆M University,2008.

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[3] Kribs D W,Laflamme R,Poulin D.Unified and Generalied Approach to Quantum Error Correction[J].Physical Review Letters,2005,94(18):1-4.

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[7] Qian J F,Zhang L N.Constructions of Optimal Subsystem Codes[J].Modern Physics Letters B,2012,26(26):1-8.

[8] Aly S A,Klappenecker A.Subsysem Code Constructions[C]. Toronto,Canada:In Proc.2008 IEEE International Symposium on Information Theory,2008:369-373.

[9] Aly S A,Klappenecker A,Sarvepalli PK.Subsystem Cod-es[C].In 44th Annual Conference on Commuication,Control,and Computing,2006.

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[13] Key J D,Morri J,Rodigues B G..Ternary Codes from Graph on Triples[J].Discrete Mathematics,2009(309):4663-4681.

[14] 钱建发,张莉娜.利用立方图的线图构造量子纠错码[J].计算机工程与应用,2013,49(06):16-18. QIAN Jian-fa,ZHANG Li-Na.Construction of Quantum Error-Correcting Codes With Linear Graph on Cubic Graph[J].Computer Engineering and Application,2013,49(06):16-18.

陈丙亚（1990—），女，硕士，主要研究方向为纠错码理论及应用；

白姗姗（1989—），女，硕士，主要研究方向为纠错码理论及应用。

Construction of Subsystem Codes From Graphs

CHEN Bing-ya, BAI Shan-shan
(College of Science, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui 232007 China)

Subsystem codes are a class of quantum error-correcting codes that combine the features of decoherence free subspaces,noiseless subsystems and quantum error-correcting codes.This paper introduces the basic knowledge of linear codes and subsystem codes, based on the previous studies,ternary codes on ternary graph are used for the first time to construct the subsystem codes.Some specific subsystem codes with specific parameters are given in this paper,which futher enrich the existing conclusions.In the final, analyze their performance,namely the constructed subsystem codes can correct less than or equal to 3 quantum errors,and their rate increases with the increase of their length.

Subsystem codes; Ternary graphs; Linear codes;Adjacency matrix

TN911.2

：A

：1002-0802(2016)-06-0679-04

10.3969/j.issn.1002-0802.2016.06.006

2016-02-02；

：2016-05-02 Received date:2016-02-02; Revised date:2016-05-02

安徽省自然科学基金（No.1408085MA05）

Foundation Item:Natural Science Foundation of Anhui Province(No.1408085MA05)