漫谈利用化归思想解决概率问题

程勋琪

(江苏省扬州大学数学科学学院，225002)



漫谈利用化归思想解决概率问题

程勋琪

(江苏省扬州大学数学科学学院，225002)

化归思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要的思想方法．通过不断的转化,可把不熟悉、不规范、不简单的问题转化为熟悉、规范、简单的问题．在高中数学中,熟练运用化归思想可以帮助学生在各知识点之间相互渗透与转化,促进重点知识的融会贯通,有助于学生形成良好的思维习惯.

高考对概率内容的考查,往往以实际应用题的形式出现.在解答概率题时,很多情况下,若能适当地运用化归思想就能迅速找到解题的突破口,从而顺利解决问题.下面从化归的四个原则来探索在概率解题中如何运用化归思想．

一、正难则反原则

例1加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%,3%,5%,3%,各工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率．

解设A=“第一道工序加工出次品零件”,B=“第二道工序加工出次品零件”,C=“第三道工序加工出次品零件”,D=“第四道工序加工出次品零件”，则四道工序后加工出合格品的概率

=(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))

·(1-P(D))

=98%×97%×95%×97%

=0.876.

从而P(次)=1-0.867=0.124，

即加工出来的零件的次品率为12.4%．

评注如果我们直接用分步计数原理来计算加工零件的次品率,需考虑有一道工序、两道工序、三道工序、四道工序分别出现次品,这是一个很困难的问题,如果我们从它的反面考虑，即先求加工出来合格品的概率,再利用对立事件的概率就非常容易得到答案．

化归的正难则反原则在此类概率题中的作用非常明显,实现了由难到易的转化．

二、直观化原则

例2将长为L的木棒随机折成3段,求3段构成三角形的概率.

解设x,y分别表示其中两段的长度,则第三段的长度为L-x-y.

样本空间Ω={(x,y)|0

故所求事件M=

如图1所示,可知所求概率为

评注本题属于几何概型问题.学生在解答这个问题时,容易将面积的几何概型作为长度的几何概型进行概率的计算，或者不能将实际问题数学化,从而导致错解．本题将三段长度如何构成三角形用代数语言表示出来,再将代数语言转化为几何语言,也就是将抽象化的问题转化成直观化的问题,再从几何角度来解决这个问题,达到了数形结合方便解题的目的．

三、简单化原则

例3将1,2,3…,n这n个数字任意排列,试求:

(1)2在1前面的概率;

(2)1, 2, 3依次出现的概率.

评注本题题目给了n个数,看上去是要考虑这n个数的排列,继而求出问题的答案,这样做会使问题相对困难,但仔细思考,注意整体与局部的关系，我们只要考虑问题中1和2的排列或者1,2,3的排列情形即可．化归的简单化原则在此题的解答上起到了举足轻重的作用．

四、熟悉化原则

例4在40个同样的零件中,混入8个次品,必须一个一个的查出,求正好查完22个零件时,找全8个次品的概率.

评注本题是一道较难解决的问题.学生在处理这道题时可能会出现以下几种错误:将‘混入’想成‘混有’导致错误;不知正品、次品如何选,如何放在适当位置;考虑不到查到第22个位置时一定是次品这个重要条件．本题给出的解法是将复杂的问题转化为我们熟悉的问题,即将复杂的概率问题转为我们熟知的古典概型,逐一分析出基本事件的总数和要求的基本事件的个数,继而得出正确答案．在解决类似复杂的概率问题时,一定要转化到我们熟悉的知识层面,这样才能正确无误地逐渐找到解题思路,得到结果．