超几何分布的几个思考

朱继友

山东省临沂第一中学

超几何分布的几个思考

朱继友

山东省临沂第一中学

超几何分布是概率分布列中很重要的一个题型，其实质是古典概率模型的推广，题型特点比较鲜明，解题步骤也很直接。但要细究起来，却有颇多“道道”。

例1：袋中有红球6个，白球4个，从中摸出2个小球，求摸到红球的个数ξ的分布列及期望。

解：由题意知，ξ=0，1，2

法一（超几何分布的古典思维模式求解）

思路一（无序操作求解）：

小结：（1）在做超几何分布题时，由于超几何分布只是古典概率模型的一个推广，所以我们在求解时都是用的“个数比个数”的操作方法，此法简单易行，更好理解。（2）超几何分布本质是一种不放回的连续抽取，所以可以使用“无需操作”如思路一的解答过程，也可以使用“有序操作”如思路二的解答过程。此两种解法说明很好的解决了学生做题时“不放回”题目中对“有序与无序”操作的困扰，即“有序与无序”操作只是学社鞥自我做题的思维反应途径而已，但对于“有放回抽取”最好使用“有序操作”最为稳妥。

法二（用概率思维模式求解）

有很多学生想使用概率求解，但一般做错，究其原因是概率使用的条件没弄明白，而在平时授课时可能我们老师也不想拓展超几何分布的解法，因为用无序的操作求解是最方便的。

分析：那是不是说超几何分布不能用概率求解呢？当然不是，只要注意使用条件概率求解才对。因为超几何分布是“不放回的抽取”，若使用分母都是10，说明学生在做题时把它理解成了“有放回抽取”，题意都改了，故导致概率求解出错了。

正解：设：事件A：取1个红球，第i次取出红球为Ai(i=1,2),事件B：取1个白球，第i次取出白球为Bi(i=1,2)

练习1：一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是

(1)求白球的个数；

(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列。

例2：一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图。

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；

（Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

解：（Ⅰ）由题意得，(0.02+0.032+a+0.018)×10=1.解得a=0.03；

（Ⅱ）由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，

而50个样本小球重量的平均值为：

0.2 ×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克)，故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克。

（Ⅲ）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的频率为0.2；

则ξ=0,1,2,3且ξ～B(3,0.2).

小结：当超几何分布中，个体个数不是有限个（题中经常用的数据如5个或10个球）而是“大量”，说明个体数量很庞大。超几何分布中的首要条件是抽取后不放回，但当个体总量很庞大时，抽取有限个再放回去对解题的影响与不放回抽取的影响基本相同，故这是我们应该把超几何分布理解成独立二项分布进行解题。