第六讲图形与坐标
2016-12-23朱广科
文/朱广科
第六讲图形与坐标
文/朱广科
责任编辑:王二喜
平面直角坐标系架起了数与形之间的桥梁,加强了知识之间的联系,为我们利用数形结合的思想提供了强有力的工具.图形与坐标多以选择题、填空题呈现.现将图形与坐标常考知识点分析如下,供你复习时参考.
考点1判断点所在象限
例1若点A(a+1,b-2)在第三象限,则点B(-a袁b-5)在().
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
解:由A(a+1,b-2)在第三象限,得a+1<0,b-2<0,
解得a<-1,b<2.
由不等式的性质,得-a>1,b-5<-3,
点B(-a袁b-5)在第四象限.选D.
点评:掌握各个象限内点的坐标特征是解题的关键.第一象限内的点(+,+);第二象限的点(-,+);第三象限的点(-,-);第四象限的点(+,-).
考点2对称点的坐标
例2在平面直角坐标系中,点A的坐标是(m,n),作点A关于x轴的对称点,得到点A忆,再作点A忆关于y轴的对称点,得到点A义,则点A义的坐标是(,).
解:点A(m,n)关于x轴的对称点A忆的坐标为(m,-n),
点A忆(m,-n)关于y轴的对称点A义的坐标是(-m,-n).
点评:关于x轴对称点的坐标,横坐标不变,纵坐标互为相反数;关于y轴对称点的坐标,横坐标互为相反数,纵坐标不变;关于原点对称点的坐标,横、纵坐标都互为相反数.掌握对称点的坐标特征是解答这类问题的关键.
考点3用坐标定位置
例3(2015年六盘水卷)观察中国象棋的棋盘,其中红方“马”的位置可以用一个数对(3,4)来表示,红“马”走完“马3进四”后到达B点,则表示B点位置的数对是:.
解:建立平面直角坐标系如图1所示,点B的坐标为(2,6).
点评:借助于网格线,将点的位置数量化,找出表示位置的方法.解决问题的关键是确定原点,建立正确的坐标系,理解有序实数对与点的对应关系.
图1
考点4坐标与平移
例4(2015年济南卷)如图2,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,如果将△ABC先向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到△A1B1C1,那么点A1的对应点的坐标为().
A.(4,3)B.(2,4)C.(3,1)D.(2,5)
解:由坐标系可得A(-2,6),向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度,点A的对应点A1的坐标为(-2+4,6-1),即(2,5).选D.
点评:点向右(左)平移,横坐标相加(减),纵坐标不变;点向上(下)平移,纵坐标相加(减),横坐标不变.掌握点的平移与坐标变化的规律是解题的关键.
图2
考点5坐标与旋转
例5(2015年孝感卷)在平面直角坐标系中,把点P(-5,3)向右平移8个单位得到点P1,再将点P1绕原点旋转90°得到点P2,则点P2的坐标是().
A.(3,-3)B.(-3,3)
C.(3,3)或(-3,-3)D.(3,-3)或(-3,3)
解:∵把点P(-5,3)向右平移8个单位得到点P1(3,3),如图3所示,将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(-3,3),将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P3(3,原3).选D.
图3
点评:明确旋转的性质,找出对应点的位置是解题的关键.本题由于没有明确旋转方向,所以要分类讨论,以防漏解.
考点6坐标与位似
例6(2015年武汉卷)如图4,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为().
A.(2,1)B.(2,0)
C.(3,3)D.(3,1)
图4
∴点C的坐标为(2,1).选A.
点评:位似图形对应点的连线都经过位似中心,对应点到位似中心的距离之比等于位似比,图形的周长比等于位似比,面积比等于位似比的平方.
考点7坐标与规律探索
例7(2015年潜江卷)菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图5,其中点A的坐标为(1,0),点B的坐标为,动点P从点A出发,沿A→B→C→D→A→B→……的路径,在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动,移动到第2015秒时,点P的坐标为
图5
∵点P的速度为0.5米/秒,
∴沿A→B→C→D→A所需的时间4×4=16秒.
∴移动到第2015秒时,点P在AD上,且DP∶PA越3∶1,
点评:根据题意得出点P运动一周所需的时间是解题的关键.与坐标系有关的规律探究题成为近几年中考的热点,通过“形”的变化,探究“数”的变化,需要从特殊情况出发,通过分析、猜想或运算,归纳出一般性的结论.