皮亚诺公理与自然数的序数意义（二）
2016-12-23
皮亚诺公理与自然数的序数意义（二）
张新春
前面说到皮亚诺公理1和公理2，公理1保证了有一个自然数。公理2保证了每个自然数之后都会有一个自然数。这样，看起来会有越来越多的自然数，但事实却不是这样。如果0后面是1，1后面是0，那么这两个数也符合公理1和公理2。为了保证自然数有无限多个，皮亚诺给出了下面的公理：
公理3.0不是任何数的后继数，即对任何自然数n，都有n+≠0。
这条公理保证了不会出现上述周而复始的情况。有了以上三条公理，似乎可以保证有无限多个自然数了，可实际上不是这样。让我们考虑由0、1、2、3、4这5个数组成的数系。我们规定，0+=1，1+=2，2+=3，3+=4，若4+=0，则会进入由0而起的周而复始的状态，上述公理3保证不会出现这个情况。但若4+=1（请注意，这样并没有违背公理3），依然会进入一种周而复始的状态。问题又出现在哪呢？原来是4的后继数与0的后继数一样，从而从侧面切入，又周而复始啦。于是，皮亚诺又准备了以下公理来避免这种情况：
公理4.不同的自然数必有不同的后继数。也就是说，若m，n是自然数，且m≠n，则m+≠n+。等价地说，若m+=n+，则必有m=n。
至此，皮亚诺五公理已经出现了四个，也许你会觉得，这些公理是如此普通，你甚至开始怀疑：这么几条，就能成为现代数学的基础吗？不错，还应该加上一条：
公理5.（数学归纳原理）设P（n）是关于自然数的一个性质，假设P（0）是真的，并假设P（n）是真的，则P（n+）也是真的。那么对每个自然数n，P（n）都是真的。
这里，P（n）指的是一个关于n的性质或命题。举例而言，比如P（n）指的是“n是偶数”或者“n+3比n大”，“2n+1是素数”等。当然，这其中我们还有很多没有定义的概念。我们也可以把P（n）理解为一组编了号的命题。P（0）是第0号命题，P（1）是第1号命题，P（2）是第2号命题……上面的公理是说，如果0号命题是成立的，而且，若第n号命题是成立的，则第n+号命题也是成立的（也就是说第n号后面的一号命题也是成立的），那么所有的命题都是成立的。
公理5还有一个与上述表述完全等价的说法：对于一个集合，若符合以下两点，则这个集合包含所有自然数。
1.这个集合中包含0；
2.若这个集合中包含n，则这个集合中也包括n+。
我们这里说的集合包括0，是指0是这个集合中的一个元素的意思。
这个表述不难理解，由上述第1点，这个集合包括0，而由上述第2点，这个集合又包含0+，即包含1。再重复利用上述第2点，这个集合又应包含1+，即包括2，由此继续。这个公理表明，若是这样的话，这个集合就应该包含所有的自然数。
人们常用多米诺骨牌来说明这个公理。所有的多米诺骨牌都会倒掉，如果满足以下两个条件：
1.最开始的那块会倒掉；
2.若某一块多米诺骨牌倒掉，则紧跟着它的那块也会倒掉。
请你停下来想象一下全部倒掉的多米诺骨牌，再看看公理5，后面有不少概念的定义和不少命题的证明都要用到这个公理。因此，我们在这里应用这个公理证明一个结论，熟悉一下这种应用。（请注意，下
面的证明中，n的后继数n+将被n+1代替）
我们要证明的是，对所有的自然数（这里指大于0的自然数），上述结论都成立。
对自然数1而言，上述结论是指：12=，我们把这个叫做第1号命题。
对自然数2而言，上述结论是指：12+22=，我们把这个叫做第2号命题。
……
对自然数k而言，上述结论是指：12+22+32+…，我们把这个叫做第k号命题。
对自然数k+1而言，上述结论是指：12+22+32+…
于是，我们要证明的是：第1号命题成立，第2号命题成立，第3号命题成立……所有的命题都成立。而根据公理5，要证明这些，我们只要做两件事：
第二件，我们要证明，如果第k号命题成立，那么第k号命题的下一号命题，即第k+1号命题也成立。
第k号命题成立指的是12+22+32+…+k2=。
我们要在此基础上证明第k+1号命题成立，即证明：
下面就是这个证明过程：
这样，我们就证明了第1号、第2号、第3号……所有这些编好了号的命题都是成立的，也就是对任意的自然数n，以下命题是成立的：12+22+32+…+n2=。
对熟悉数学归纳法的读者而言，以上证明无疑写得冗长而嗦，笔者只是想通过它让不熟悉数学归纳法的读者更容易理解。毕竟相对于书写格式而言，对数学归纳法本质的理解重要得多。
在此，我们将皮亚诺五公理集中写下来：
公理1.0是自然数。
公理2.若n是自然数，则n的后继数也是一个自然数，记作n+。
公理3.0不是任何数的后继数，即对任何自然数n，都有n+≠0。
公理4.不同的自然数必有不同的后继数。也就是说，若m，n是自然数，且m≠n，则m+≠n+。等价地说，若m+=n+，则必有m=n。
公理5.（数学归纳原理）设P（n）是关于自然数的一个性质，假设P（0）是真的，并假设P（n）是真的，则P（n+）也是真的。那么对每个自然数n，P（n）都是真的。
皮亚诺关于自然数的公理体系中有一个重要的概念——后继数。在这个概念下，自然数排好了序。于是，皮亚诺公理体系下的自然数更多的是序数意义。在小学数学引入自然数时，与关注其基数意义一样，也关注其序数意义。如下图所示，在1的基础上增加一个是2，2的基础上增加一个是3……相当于说2是1的后继数，3是2的后继数……
有老师问学生：“自然数有多少个？”学生回答：“无数个。”老师习惯性地（但在这里并不恰当）问：“为什么呢？”有学生回答：“随便哪个自然数的后面总还有自然数，因此自然数数也数不完，有无数个。”这个学生的回答即可以看成是自发地运用了皮亚诺公理。
在皮亚诺公理体系下，我们其实不太在乎第一个自然数叫什么，0或者1都行。所以，0是不是自然数都没有关系（只需把公理1修改一下即可）。而在自然数的基数意义下，0作为自然数的理由更充分，因为这时我们是将自然数定义为有限集合的基数的，而空集自然应该被当成有限集合，其基数当然也应该是一个自然数，只有0适合作为其基数。
