一题多解，体味数学魅力——一道平面几何证明题教学所感

一题多解，体味数学魅力——一道平面几何证明题教学所感

张云

证明一个几何问题，就是从所给的前提出发，利用定义、公理和已知定理推出欲证明的结论。对一个具体问题，我们首先要仔细考察题目的特征，理解题意，分清条件和结论，尽量发掘题目中涉及的一些概念的内涵，在细致周密考察的基础上，尝试展开丰富的联想，以求唤起对有关旧知识的回忆，开启思维的大门。这个过程其实是将新问题转化为自己所探究过的问题。其中丰富的联想建立在对题目条件的分析以及条件与结论关系的探讨上，在此基础上再多角度思考问题，就可能产生多种解法。

如图1，凸五边形ABCDE中，AB=AC，AD=AE，且∠CAD=∠AEB+∠ABE，点M为BE的中点。

证明：CD=2AM。

图1　

分析：CD，AM可谓天各一方。思考这样的问题，一般的思路有两条：一是将长线段CD折半，显然要取CD中点F，只要证明DF=AM即可；二是证明CD=x，x=2AM。如何寻找x就成为解决问题的关键。顺着这样的思路，可以得到下面的证明。

一、截长补短

思路1取线段CD的中点F，连接AF并延长至点G，使得AF=GF，连接DG。（如图2）易证△ACF△GDF，所以GD=AC，∠G=∠CAF，则∠G+∠GAD=∠CAD=∠ABE+∠AEB。

图2　

又AM，DF分别为EB，AG两边的中线，所以AM=DF，故CD=2AM。

此证法为“截长法”，转化了其中的边角关系，找到了目标三角形，利用全等三角形中的对应边上的中线也相等得出了要证的结果。

思路2考虑结论要证明CD是AM的2倍，果断作出AM的相应倍数进行“补短”，得到新的线段，再通过三角形全等完成证明。

延长AM至点N，使得AM=NM，连接BN。（如图3）易证△AME△NMB，所以∠ABN=∠CAD，再证△ABN△CAD，得到CD=AN=2AM。

图3　

图4　

二、旋转重组

将△AEM绕点M旋转180°（顺时针、逆时针均可），得到△A′BM。（如图4）

则∠ABM+∠A′BM=∠ABE+∠AEB，即∠ABA′=∠CAD，可证△ABA′△CAD，所以AA′=CD，故CD=2AM。旋转后将题中两个分开的角拼到一起，产生了一对新的对应角，如此全等三角形也构造出来了。此法与前面延长AM进行“补短”有异曲同工的效果。

三、补出中位线

题中结论是CD=2AM，考虑作出2AM的线段，由点M是中点，故可考虑延长EA至点F，使得点A为中点，AM为中位线，连接BF。（如图5）再证BF与CD相等，可通过证明△AFB和△ADC全等实现。

而延长BA至点F，使得点A为中点，AM为中位线，连接EF，证出△ABF△ACD，结论可类似得出（如图6）。

图5　

图6　

四、向量来帮忙

细致分析题目中的条件可以发现，其中的角度关系可改为：∠CAD+∠BAE=180°。而边之间的长度关系是两点间距离关系，对应着平面向量的模，由此考虑将要求的线段用向量表示，利用平面向量知识求解。

所以，CD=2AM。

数学中的逻辑推理与证明对思维的严谨性要求较高，一串串由“因为……所以……”构成的看似朴实无华的文字，实则每一步的推导都是合理和必然的。这其中的曲折与艰难时常让人心生“山重水复疑无路”之感，而经过思索后“柳暗花明又一村”的解题灵感，以及最终到达成功彼岸时那种“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”之感，怎能不让你更加愿意“为伊消得人憔悴”呢？

通过对题目的思考分析，我们还可以得到如下事实：

（1）利用正弦定理，可得S△ABE=S△ACD。

（2）凸五边形这个条件对结论没有影响，满足题中的边角关系均可得到所求的线段倍数关系，即有一个三角形的中线长等于另一个三角形第三边长的一半。

图7　

图8　

（3）若E与C、B与D（或者E与D、B与C）分别重合，则点M是线段CD的中点，且△ABC为直角三角形。

图9　

图10　

（4）若仅有E与C重合，由线段相等关系，易知点A为线段BD的中点，AM为中位线，所以AM=CD，且∠BCD=90°。

图11　

平面几何证明题对学生思维训练很有帮助，特别是辅助线的做法技巧性较强。在解决问题时，可以利用题目中出现的旋转、翻折、对称等图形变换，以及适当添加的辅助线构造出新的图形，实现问题的转化，再利用全等三角形、相似三角形、勾股定理等知识求解。学生在解题中展开丰富的联想，找出问题本质，尝试一题多解，既可以启发思维，也能体会到数学的无穷魅力。

（作者单位：长沙市一中岳麓中学）