例说“命题”的常见题型

王德凤

“命题”是用语言、符号或式子表达的，可以判断其真假的陈述语句. “命题”是高中数学课程“常用逻辑用语”中的基本概念，是数学中的定义、定理、公理以及重要结论等得以呈现的主要形式之一，也是所有数学试题的有机组成部分，可以说“数学无处不命题”. 因此，理解命题的概念、结构，掌握四种命题间的转化、联系与应用，掌握命题的常见题型，是学好命题、学好逻辑乃至学好数学的基础. 本文以列举范例的形式，谈谈“命题”的常见题型与求解方法，见木见林，以期对大家有所帮助.

命题真假的判断

例1 设[f（x），g（x），h（x）]是定义域为[R]的三个函数，对于命题：①若[f（x）+g（x）]，[f（x）+h（x）]，[g（x）+h（x）]均为增函数，则[f（x），g（x），h（x）]中至少有一个增函数；②若[f（x）+g（x）]，[f（x）+h（x）]，[g（x）+h（x）]均是以[T]为周期的周期函数，则[f（x），g（x），h（x）]均是以[T]为周期的周期函数. 下列判断正确的是（ ）

A. ①和②均为真命题

B. ①和②均为假命题

C. ①为真命题，②为假命题

D. ①为假命题，②为真命题

分析 本题所给的是抽象函数. 将需要判断其单调性（周期性）的函数[f（x），g（x），h（x）]用已知其单调性（周期性）的函数[f（x）+g（x）]，[f（x）+h（x）]，[g（x）+h（x）]表示出来（即化未知为已知），是解决问题的切入点和关键.

解 由题意得，

[f（x）=[f（x）+g（x）]+[f（x）+h（x）]-[g（x）+h（x）]2]，

同理得，

[g（x）=[f（x）+g（x）]+[g（x）+h（x）]-[f（x）+h（x）]2]，

[h（x）=[f（x）+h（x）]+[g（x）+h（x）]-[f（x）+g（x）]2].

由于周期函数通过四则运算后还是周期函数（可用定义证明），所以②为真命题. 但两个增函数的和与差不一定仍为增函数（单调性不确定），故①是假命题.

答案 D

点拨 判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他知识，经过逻辑推理来判定. 值得注意的是，确定一个命题为真时必须严格论证，而确定一个命题为假时，只需要举一个反例即可.

四种命题之间的转换

例2 命题“若[x，y]都是奇数，则[x+y]是偶数”的逆否命题是（ ）

A. 若[x，y]都是偶数，则[x+y]是奇数

B. 若[x，y]都不是奇数，则[x+y]不是偶数

C. 若[x+y]不是偶数，则[x，y]都不是奇数

D. 若[x+y]不是偶数，则[x，y]不都是奇数

分析 命题“若[p]，则[q]”的逆否命题是“若[?q]，则[?p]”. 值得注意的是“[x，y]都是奇数”的否定中包含三种情况：“[x]是奇数，[y]不是奇数”“[x]不是奇数，[y]是奇数”和“[x，y]都不是奇数”，概括为“[x，y]不都是奇数”；不能把“[x，y]都不是奇数”作为“[x，y]都是奇数”的否定而错选C.

解 因为“都是”的否定是“不都是”，故正确选项为D.

答案 D

点拨 写否命题、逆否命题时，要对条件、结论进行否定. 而对条件（或结论）进行否定时，务必要搞清条件（或结论）包含的各种情况，全面考虑.

四种命题的相互关系

例3 原命题为“若[z1，z2]互为共轭复数”，则“[z1=z2]”. 关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）

A. 真，假，真 B. 假，假，真

C. 真，真，假 D. 假，假，假

分析 互为逆否的两个命题同真（或同假），即原命题与其逆否命题，逆命题与否命题同真（或同假）.

解 不妨设[z1=a+bi（a，b∈R）]，则[z2=a-bi]. 显然，[z1=z2=a2+b2]，所以原命题为真. 另一方面，取[z1=-2，z2=2i]，虽然[z1=z2=2]，但[z1，z2]不是共轭复数，所以逆命题为假.

答案 B

点拨 判断四种命题的真假，只需判断原命题与逆命题的真假即可. 四种命题中，真命题（假命题）的个数一定是偶数个.

命题（含全称命题、特称命题）的否定

例4 命题“[?x∈R，?n∈N+]，使得[n≥x2]”的否定形式是（ ）

A. [?x∈R，?n∈N*]，使得[n

B. [?x∈R，?n∈N*]，使得[n

C. [?x∈R，?n∈N*]，使得[n

D. [?x∈R，?n∈N*]，使得[n

分析 命题[p]的否定，又叫[?p]形式，一般只考虑否定其结论，即命题“若[p]，则[q]”的否定是“若[p]，则[?q]”. 值得注意的是，“全称命题”的否定是“特称命题”，“特称命题”的否定是“全称命题”；同时还要注意命题中“量词”与“联结词”的改变.

解 由全称命题与特称命题之间的关系与构造特点知，正确选项为D.

答案 D

点拨 区分“命题的否定”与“否命题”的关键是理解它们的定义与构成方式. “命题的否定”是只否定结论，不否定条件. 而“否命题”是既否定条件，又否定结论.

例5 已知命题[p]：[x2+4mx-4m+3=0]或[x2+（m-1）x][+m2][=0]或[x2+2mx-2m=0]有实根，求实数[m]的取值范围.

分析 如果从正面考虑（命题[p]成立：至少一个方程有实根），分类讨论的情况较为复杂；而考虑其反面（即[?p]），则非常简单.

解 命题[p]的否定[?p]：[x2+4mx-4m+3=0]且[x2+（m-1）x+m2=0]且[x2+2mx-2m=0]都没有实根，

则[Δ1=16m2-4（-4m+3）<0，Δ2=（m-1）2-4m2<0，Δ3=4m2+8m<0，]即[-32

从而命题[p]成立时，[m≤-32]，或[m≥-1]，

即[m∈（-∞，-32]?[-1，+∞）].

点拨 命题[p]成立较为复杂时，可利用补集思想，考虑[?p]成立的情况而后取补集.

等价命题的应用

例6 已知函数[f（x）]在[R]上为增函数，[a，b∈R]，求证：若[f（a）+f（b）

分析 本题已知函数单调性及函数值间的关系，要证明自变量间的关系，直接证明几乎不可能，因而可以考虑证明其逆否命题.

证明 原命题的逆否命题是：已知[f（x）]在[R]上为增函数，[a，b∈R]，若[a+b≥0]，则[f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）].

由条件[a+b≥0]可得，[a≥-b]，[b≥-a].

又因为[f（x）]在[R]上为增函数，

所以[f（a）≥f（-b）]，[f（b）≥f（-a）].

由不等式的性质得，[f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）].

即原命题的逆否命题成立，故原命题成立.

点拨 当直接证明一个命题难以入手时，可以尝试证明其逆否命题为真，这就是数学中“正难则反”的思想.

“命题”是逻辑学中最基本的概念，也是学习“充要条件”“推理与证明”及“反证法”等内容的基础. 因此，以题型为载体，以典型范例为参照，是掌握其基础知识、基本方法与基本应用的不二法宝.