一种三维手性声子晶体的横波偏振特性研究

严 谋，曹瑞芳，杨 涛

(1.2.3.宁夏大学 物理电气信息学院，宁夏 银川 750021)



一种三维手性声子晶体的横波偏振特性研究

严 谋1，曹瑞芳2，杨 涛3

(1.2.3.宁夏大学 物理电气信息学院，宁夏 银川 750021)

构造了一种具有完整螺旋结构的三维手性声子晶体，并用层多重散射方法计算了其能带结构，发现这类结构可以实现横波左右旋偏振态的分离。然后详细考察了各种非完整螺旋结构的能带图。其中，具有三层周期的非完整螺旋结构可分为A、B和C型空间结构，A型结构对应的横波偏振仍然简并，无法分裂，B和C型结构则可以实现完全相同的横波带分裂，即分离横波左右旋偏振态。通过平移实现的两层斜方晶体结构，尽管并不是严格意义上的手性螺旋结构，但同样可以实现横波的偏振分裂。

声子晶体;手性;偏振;层多重散射

1引言

自1992年M.M.Sigalas和E.N.Economou[1]首次分析三维声子晶体材料中弹性波和声波的传播性质之后，声子晶体能带结构在理论上和实验上吸引了众多研究者的兴趣[2-4]。这类人工结构材料为实现各种可能的等效材料参数提供了全新的思路，尤其是近期实验实现的具有等效负折射率的左手电磁超材料，其特殊的光学性质必将在新材料领域扮演重要的角色。尽管理论上通过单极和偶极共振单元的组合，也可以实现声学材料有效质量密度和有效模量同时为负，从而实现所谓的负折射声子晶体材料[5-6]。但到目前为止，对具有手性特征结构的声子晶体研究却相对较少[7]。

波在具有负折射率的声子晶体中传播时，会具有某些奇异的现象。手性(chirality)结构往往是实现负折射性质常用的方法，因为当共振型材料引入手性结构以后，只需要使一个有效参数为负就可以实现负折射，这样可以简化人工结构加工的复杂度，为实现负折射提供了一种新的方法。手性结构破坏了空间结构的左右旋转对称性，也就是降低了体系的对称性，增强了各向异性，使原本简并的左右旋偏振态发生分裂，并且产生偏振带隙，这样就可以单独操控横波的左右旋偏振态。近期，I.E.Psarobas等人[8]根据一种手性结构研究了弹性波的双折射现象，实现左右旋偏振波的分裂，但是并没有观察到负折射。

本文通过三维声子晶体中相邻层的相对移动，使其在方向上的左右旋转对称性被破坏，从而形式上构造出三维手性螺旋结构，然后采用层多重散射方法，计算这种结构的能带图，并详细讨论手性结构在各个不同层结构遭到破坏时，对弹性波偏振特性的影响。

2理论

弹性波的多重散射理论最初是由IE Psarobas[9]和Liu[10]在2000年分别独立提出来的，这一方法在计算大填充率和阻抗相差大的组成材料时取得了巨大的成功，并且成功地应用于计算局域共振型超材料的带结构，在此基础上发展的层多重散射理论，还可以计算有限层声子晶体的透射和反射系数[11]。

首先将位移场在球坐标系下展开，对于单个球形散射体，其外部总场表示为

(1)

式中右边第一项是入射波场，第二项是散射波场，分别用和表示入射波场和散射场的系数矩阵，则二者之间的关系可以形式的表示为：

B=TA

(2)

其中T叫做Mie散射矩阵，Jlmσ(r)和Hlmσ(r)表示如下

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

(3e)

(3f)

(4)

另一部分是除i以外其他所有散射体的散射波场的叠加

(5)

式中的求和可以用球坐标系下的加法定则计算。这样就可以由给定的外部入射波场得到除第i个散射体外其他所有散射体的散射波场之和，进而得到第i个散射体的总入射场，再利用Mie散射矩阵得出整个波场分布。对于周期性声子晶体，我们引入Bloch定理，将方程转化为久期方程进行求解，可以得到声子晶体的能带结构。这种方法不但可以计算能带结构，还可以求解经过有限厚度声子晶体的透射系数和反射系数。

图1 三维手性螺旋结构声子晶体示意图。左图为空间结构图，右图为沿着z正方向的投影图

3模型及讨论

首先，我们通过逐次平移层平面，构造三维手型螺旋结构的声子晶体，三维空间的示意图如图1。假设声子晶体的层平面均为晶格常数为a的正方晶格结构，如图1中左图所表示的各个层，如果选取某一层为第一层，并且固定这一层中的某个散射体的中心为坐标原点O(如图1左中的“1”)，并且保持层与层(z方向)之间的间距始终为0.5a，那么只需要第二层相对于第一层在x方向移动0.5a(如图1左中的“2”)，第三层相对于第二层在y方向移动0.5a(如图1左中的“3”)，第四层相对于第三层在x方向移动-0.5a(如图1左中的“4”)，第五层相对于第四层在x方向移动-0.5a(如图1左中的“1’”)，此时第五层又回到了原始位置，也就是说，只需要四层我们就可以构造出一个周期的空间手性螺旋结构。沿着轴的正方向投影过去，可以看到最初确定的参考点O，在投影上形成了1-2-3-4-1的螺旋结构，如图1右中的表示。一般情况下，可以将参考点在每一层的位置表示为(m1a,l1a,1h)，(m2a,l2a,2h)，(m3a,l3a,3h)…(mna,lna,nh)，m,l表征空间结构的对称性，或者说手性的强弱程度。显然m=0,l=0时，对称性最高，结构手性最弱，x和y方向的结构排列完全一样；当m,l至少有一个不为零时，声子晶体的空间结构对称性降低，因此可以通过不断变化m,l，以调整其手性的强弱。

接下来，我们利用多重散射方法计算图1中所给出的这种完整螺旋结构声子晶体(n=4,m=0.5,l=0.5,h=0.5a)的能带。其中，基体材料和散射体分别为树脂和钢，树脂的密度为ρm=1.18×103kg/m3，纵波在其内部传播的速度clm=2540m/s，横波传播的速度ctm=1160m/s，钢的密度是ρc=7.8×103kg/m3，纵波速度clm=5940m/s，横波速度是ctm=3200m/s，选择树脂中的纵波速度为归一化速度，即c0=2540m/s，散射体钢球的半径为r=0.23a。图2给出了这种手性结构的能带图。

图2 完整手性螺旋结构声子晶体能带图。图中红色实心圆点表示横波，三角形表示纵波

图2中的完整手性螺旋声子晶体能带的显著特征是横波(图中红色实心圆)能带发生了分裂。众所周知，横波有两种偏振模式，包括左旋和右旋偏振。传统的声子晶体，由于结构本身具有高度的对称性，横波都是简并的，无法区分偏振模式。但引入手性螺旋结构后，可以使横波简并消除，能带发生分裂，从而实现区分并控制左旋偏振和右旋偏振波。另外，由于对称性遭到破坏，第一条纵波带被压低，在ωa/c0=1.8～2.0附近产生了纵波带隙，同时在ωa/c0=2.1～2.35之间也出现了完全带隙。

在完整螺旋结构的基础上，我们引入破缺螺旋结构，即非完整手性螺旋结构，以讨论手性螺旋结构对左右旋偏振模式的影响。首先讨论三层非完整螺旋结构。为了简洁，我们只给出沿着正方向的投影图。

图3 三层非完整手性螺旋结构声子晶体沿z正方向的6种可能的投影示意图

图3给出了破缺声子晶体的6种可能的投影图。为了简化计算，首先分析它们的空间对称性。(1)和(6)在第二层的平移顺序不一致，但从空间结构看，只需要沿着z轴旋转90°，则完全一致，这一类结构我们标记为A型结构。同样地，(2)和(5)，(3)和(4)也分别具有相同的空间结构，标记为B型和C型结构。图4给出了这三种结构的能带图。

图4 三层非完整手性螺旋结构声子晶体能带图，自左至右分别是A、B和C种空间结构对应的能带图，其中红色圆点表示横波，黑色三角形表示纵波

显然图4的能带图中，A、B和C型晶体的能带结构整体上基本相同，横波和纵波能带的分布几乎没有差别。但是，A型结构的横波左右旋偏振模式仍然简并，并没有因为螺旋结构的引入而发生分裂。B型和C型结构中所有的横波左右旋偏振都出现了分裂，同时B型和C型晶体结构在空间上对弹性波的影响完全一致。这也说明了手性结构对于横波偏振分裂的影响并不是绝对的，只是在某些特定情况下会实现左右旋偏振模式的分裂。

图5 两层非完整螺旋结构声子晶体沿z正方向的2种可能的投影示意图

接下来，讨论两层结构对横波偏振模式的影响，空间结构如图5。这种结构严格来讲并不是螺旋结构，一般称其为斜方晶体结构。由于其破坏了空间的左右对称性，应该也会对横波的偏振模式产生影响。同样地，通过分析可知，这两种结构在空间上的拓扑完全一致，属于同一类型。图6给出了这种斜方晶体结构的能带图，从中可以看到横波对应的能带发生了分裂，而且在ωa/c0=2.1～2.3附近出现了第一条完全带隙。由此可见，通过两层平移实现横波左右旋偏振模式简并消除，即能带分裂更具有一般性。

图6 两层非完整螺旋结构(斜方结构)声子晶体能带图，其中红色圆点表示横波，黑色三角形表示纵波。

本文构造了一种具有完整螺旋结构的手性声子晶体，并用层多重散射方法计算了其能带结构，发现这种结构可以实现横波左右旋偏振态的分离。在此基础上，详细考察了各种非完整螺旋结构的能带图。其中，具有三层周期的非完整螺旋结构可分为A、B和C型空间结构，A型结构对应的横波偏振仍然简并，无法分裂，B和C型结构，则可以实现完全相同的横波带分裂，即分离横波左右旋偏振态。通过平移实现的两层斜方晶体结构，尽管并不是严格意义上的手性螺旋结构，但同样可以实现横波的偏振分裂。

手性螺旋结构，无论完整还是破缺，都没有发现负折射现象，因此这一类型的手性结构声子晶体与光子晶体在性质上有着明显的区别。尽管如此，这类结构还可以显著地区分出横波的左右旋偏振态，有着其重要的现实意义，如制作声学二极管、声学滤波片等。

[1]Sigalas M, Economou E.Elastic and acoustic wave band structure[J].Journal ofSound and Vibration, 1992, 158(2): 377-382.

[2]Kushwaha M S, Halevi P, Dobrzynski L, et al.Acoustic band structure of periodic elastic composites[J].Physical Review Letters, 1993, 71(13): 2022-2025.

[3]Sigalas M, Economou E.Band structure of elastic waves in two dimensional systems[J].Solid State Communications, 1993, 86(3): 141-143.

[4]Martinezsala R, Sancho J, Sánchez J, et al.Sound-attenuation by sculpture[J].Nature, 1995, 378(6554): 241-241.

[5]Ao X, Chan C T.Negative group velocity from resonances in two-dimensional phononic crystals[J].Waves in Random and Complex Media, 2010, 20(2): 276-288.

[6]Wu Y, Lai Y, Zhang Z-Q.Elastic metamaterials with simultaneously negative effective shear modulus and mass density[J].Physical review letters, 2011, 107(10): 105506.

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[8]Psarobas I E, Exarchos D A, Matikas T E.Birefringent phononic structures[J].AIP Advances,2014(4)：124307.

[9]Psarobas I, Stefanou N, Modinos A.Scattering of elastic waves by periodic arrays of spherical bodies[J].Physical Review B, 2000, 62(1): 278.

[10]Liu Z, Chan C, Sheng P, et al.Elastic wave scattering by periodic structures of spherical objects: Theory and experiment[J].Physical Review B, 2000, 62(4): 2446.

[11]Sainidou R, Stefanou N, Psarobas I, et al.A layer-multiple-scattering method for phononic crystals and heterostructures of such[J].Computer Physics Communications, 2005, 166(3): 197-240.

(责任编辑：高 坚)

On Shear-wave Polarization Characteristics 3-DChiral Photonic Crystal

Yan Mou1, Cao Ruifang2, YangTao3

(1.2.3. School of Physics electrical information Engineering, Ningxia University, Yinchuan 750021, China)

In this paper, a 3-D chiral photonic crystal with complete helical structure has been built and its energy band structure has been calculated in multiple scattering method, which shows that such a structure can be used to realize the separation of shear wave around spin polarization. Then, a detailed research into various energy band pictures with incomplete helical structures has been conducted, among which incomplete helical structures with three cycles can be divided into spatial structures of A, B and C types. The structure of A type is still integrated with shear wave polarization while structures of A and B types can fully realize the separation of shear wave polarization, i.e. the separation of shear wave around spin polarization.Although the two-layered orthorhombic crystal structure obtained by translation is not A strictly-defined chiral helical structure, it can also be used to realize the separation of shear wave polarization.

; Photonic crystal; Chiral; Polarization; Multiple scattering method

2016-03-15

国家自然科学基金(11504190);宁夏大学研究生创新项目( GIP2015007)

O469

A

1673-8535(2016)03-0027-07

严谋(1991-)，男，云南省宣威市人，宁夏大学物理电气信息学院硕士研究生，研究方向：人工特异材料。

曹瑞芳(1978-)，女，甘肃省天水市人，宁夏大学物理电气信息学院讲师，硕士研究生,研究方向：人工特异材料。

杨涛(1980-)，男，宁夏青铜峡市人，宁夏大学物理电气信息学院讲师，博士研究生，研究方向：人工特异材料、复杂流体。