三角函数公式的正用、逆用、变形用

安徽省太和中学 岳 峻

三角函数公式的正用、逆用、变形用

安徽省太和中学 岳 峻

三角函数的化简、变换与求值是高考考查的重点内容之一。三角函数的公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数公式的本质特点，学会每一个公式的“三用”：正用、逆用、变形用，就可以优化解题过程，事半功倍。

公式的正用是“依葫芦画瓢”地模仿，机械地套用，是公式应用的“了解”层次；公式的逆用是公式应用的“熟悉”层次；公式应用的最高境界是公式的变形用，是公式应用的“见解”层次。

本文结合三角函数的一些公式，让同学们体验一下公式的“三用”：正用、逆用、变形用。

一、三角函数和差的正、余弦公式的应用

两角之和的余弦公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ是三角函数的和、差以及倍角公式的“源头”。

例1 sin15°+sin75°=_______。

点评 三角恒等变换的主要题型是化简、求值题。在化简、求值的过程中，我们要注意公式的正用和逆用。本题也可以这样求解：。

点评 在解答有关三角函数性质的综合试题时，我们要抓住函数解析式这个关键。若函数解析式较为复杂，则要注意使用三角恒等变换公式将函数解析式化为y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0）的形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解。第（2）小题也可以活用对称性求解，即。

对于形如asinα+bcosα（a、b不为0）的代数式可以按如下步骤化简：

二、三角函数的倍角正、余弦公式的应用

两角之和的正、余弦公式中，令α=β，可得如下的倍角公式及其变形：

点评 善于发现角之间的差别与联系，对角进行合理拆分，将所求式化为同一个角的同一三角函数的形式，这是三角函数式求值的常用方法。解题关键在于“变角”，使角相同或具有某种关系。

例4 （1）cos20°cos40°cos60°cos80°=________。

三、三角函数和差的正切公式的应用

例6 在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn（n≥1）。

（1）求数列{an}的通项公式。

（2）设bn=tanan·tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn。

我们学习任何一个公式，不能仅仅局限于它的正用，还要掌握它的逆用，更要熟悉它的各种变形用法。只有如此，我们才能精学一题、妙解一类，提升我们的解题能力；只有如此，我们才能透彻理解，内化于心，提升我们的数学思维素养；只有如此，我们才会具有更加灵活和敏捷的思维，不论考查方向、考查形式如何变化，都能从容应对。