求三角函数单调区间易错剖析

安徽省灵璧黄湾中学 华腾飞

求三角函数单调区间易错剖析

安徽省灵璧黄湾中学 华腾飞

在运用三角函数知识解题时，三角函数的单调性有很重要的应用，常用来研究函数的变化情况，比较函数值或自变量的大小，解（或证）不等式，求函数的值域或最值等。有些同学在求三角函数的单调区间时，由于对概念和法则理解不深、把握不准，常常会导致错解的发生。下面举例分类剖析，希望能够引起同学们的注意，力避此类错误的发生。

一、忽视了基本函数致错

注 上述两种解法结果看似不同，其实只不过是形式不同而已，实质上是相同的。

二、没有考虑原函数的定义域致错

三、未弄清函数周期性致错

图1

图2

四、遗忘了题设其他条件致错

五、参数处理不当致错

例7 讨论函数y=acosx+b的单调区间。

错解 当y=cosx递增，即x∈［2kπ-π，2kπ］（k∈Z）时，原函数递增；

当y=cosx递减，即x∈［2kπ，2kπ+π］（k∈Z）时，原函数递减。

剖析 对于含参数问题，若参数的取值不确定，则必须对其讨论。上述错解是由于想当然地认为a＞0导致错解的发生。

正解 当a=0时，y=b为常函数，没有单调区间；

当a＞0时，函数的增区间为［2kπ-π，2kπ］（k∈Z），

减区间为［2kπ，2kπ+π］（k∈Z）；

当a＜0时，函数的增区间为［2kπ，2kπ+π］（k∈Z），

减区间为［2kπ-π，2kπ］（k∈Z）。

例8 已知0＜a＜2且a≠1，求函数y=log2a-a2（sinx·cosx）的单调递减区间。

错解 若对2a-a2分类讨论或认为1＜2a-a2，则都有可能导致错解的发生。

剖析 本题虽含参数，但题设对数函数的底数却只在区间（0，1）内，因此不需要分类讨论。