《高等代数》课程中矩阵初等变换方法的应用

林大华，戴立辉

（闽江学院 数学系，福建 福州 350108）

《高等代数》课程中矩阵初等变换方法的应用

林大华，戴立辉

（闽江学院 数学系，福建 福州 350108）

矩阵初等变换是高等代数研究及解决问题的一个很重要的工具,在高等代数课程中应用的范围很广.综述矩阵初等变换在多项式、行列式、线性方程组、二次型、线性空间、等《高等代数》课程的主要内容中的应用.

矩阵；初等变换；多项式；行列式；线性方程组；二次型；线性空间

矩阵初等变换是《高等代数》课程的一个重要组成部分，在该课程中有着特殊的地位与作用，是研究探讨该课程的一个重要工具和手段，该课程中的许多内容都可用矩阵初等变换方法给予讨论与解决.本文主要综述矩阵初等变换在多项式、行列式、线性方程组、二次型、向量空间等《高等代数》课程的主要内容中的作用，从中可以看到，掌握了矩阵初等变换方法就等于掌握了《高等代数》课程的主要方法.本文所讨论的问题均在数域P中进行.

下列变换称为矩阵初等行（列）变换，统称矩阵初等变换.

1.换法变换：交换矩阵的两行（列）；2.倍法变换：用非零数乘矩阵的某一行（列）；3.消法变换：矩阵的某一行（列）乘一个数加到另一行（列）．

1 矩阵初等变换在多项式中的应用

可用矩阵初等变换求多项式f(x),g(x)的最大公因式，主要有以下方法：

2 矩阵初等变换在行列式中的应用

每一个n阶行列式都可看作是一个n阶方阵A的行列式，当方阵A实施一次初等变换化为n阶方阵B时，由行列式的性质可知|A|与|B|最多相差一个常数因子，而这个常数因子是可确定的.由此可得求行列式|A|方法如下：（1）用矩阵初等变换将矩阵A化为三角形矩阵B，而B的行列式|B|就等于主对角线上元素的乘积，从而求出|A|.（2）先用矩阵初等变换将矩阵A化为某一行（列）仅有一个元素非零，然后在按这一行（列）展开行列式|A|，将高阶行列式|A|降为低阶行列式，从而求出|A|.

3 矩阵初等变换在矩阵中的应用

用A表示m×n矩阵，则经初等行变换A可化为行阶梯形矩阵[3]

再经若干次初等列变换可化为矩阵A的标准形[4]

1.求矩阵的秩：对m×n矩阵A，实施初等变换将A化为阶梯形矩阵，则这个阶梯形矩阵中非零行的个数就是矩阵A的秩.

2.求矩阵的标准形：任意上m×n矩阵A都可经初等变换化为标准形其中r是矩阵的秩.

3.求可逆矩阵的逆矩阵：设A是n阶可逆矩阵，可用以下方法求A-1.（1）构造矩阵(A E)，则该矩阵可经初等行变换化为(E A-1).（2）构造矩阵，则该矩阵可经初等列变换化为

4.求解矩阵方程：设A是n阶可逆矩阵，则矩阵方程AX=B(XA=B)的解是：X=A-1B(X=BA-1)，于是可用以下方法求矩阵方程AX=B(XA=B)的解.

（1）构造矩阵(A B)，则该矩阵可经初等行变换化为(E A-1B).

4 矩阵初等变换在线性方程组中的应用

其中A=(aij)m×n∈Pm×n，b=(b1,b2,…,bm)T∈Pm，X=(x1,x2,…,xn)T

可用矩阵初等变换方法讨论线性方程组AX=b是否有解，并在有解的情况下求出解.具体方法如下[3]：

（1）当dr+1≠0时，线性方程组无解.（2）当dr+1=0且r=n时，线性方程组有唯一解，其解为：xi=di(i=1,2,…,n)（3）当dr+1=0且r

5 矩阵初等变换在二次型中的应用

n元二次型可以用矩阵表示为f(x1,x2,…,xn)=XTAX其中A=(aij)n×n是对称矩阵，X=(x1,x2,…,xn)T.矩阵A(aij)n×n称为二次型的矩阵，它的对角线上元素aii是xi2的系数，而aij=aji(i≠j)是xixj系数的一半.

可用矩阵初等变换化二次型XTAX为标准形，主要方法有：

2.构造矩阵(A E)，然后对A做同类型的初等行与列变换，而对E只做其中的初等行变换，把A变为对角矩阵B时，E就变为CT，则有CTAC=B[5].

3.构造矩阵(A E)，然后对其做行的消法变换，当把A化为上三角矩阵D时，E就变为CT，则有CTAC=diag(b11,b22,…,bnn)，其中bii(i=1,2,…,n)是D的主对角线上的元素[6].

于是只需做非退化线性替换X=CY，就把二次型XTAX化为标准形YTBY.

6 矩阵初等变换在向量空间Pn中的应用

1.判断一个向量能否由一个向量组线性表示：设α1,α2,…,αm,β∈Pn，以这些向量为列构造矩阵(α1α2… αmβ)，用矩阵初等行变换将这个矩阵化为

（1）当dr+1≠0时，向量β不能由α1,α2,…,αm线性表示.（2）当dr+1=0时，向量β能由α1,α2,…,αm线性表示，且表示式为β=d1α1+d2α2+…+drαj

2.判断一个向量组能否由另一个向量组线性表示：

设α1,α2,…,αm，β1,β2,…,βi∈Pn以这些向量为列构造矩阵

用矩阵初等行变换将这个矩阵化为

（1）当d(r+1)1,d(d+1)2,…,d(d+1)t不全为零时，β1,β2,…,βt不能由α1,α2,…,αm线性表示.（2）当d(r+1)1=d(d+1)2=…=d(d+1)t=0时，β1,β2,…,βt能由α1,α2,…,αm线性表示.且表示式为

3.判断一个向量组是否线性相关：设α1,α2,…,αm∈Pn，以这些向量为列构造矩阵(α1α2… αm)，用矩阵初等行变换将这个矩阵化为

（1）当r=m时，α1,α2,…,αm线性无关.（2）当r

〔1〕高宇.矩阵初等变换的应用[J].高师理科学刊，2013(1)：29-29.

〔2〕梁萌.矩阵初等变换的应用[J].河南科技，2013(3)：187-187，199.

〔3〕戴立辉.线性代数[M].上海:同济大学出版社,2007.

〔4〕北京大学数学系.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003．

〔5〕黄益生.高等代数[M].北京:清华大学出版社,2014.2.

〔6〕庄瓦金.高等代数教材[M].北京:科学出版社，2013.4.

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2016-06-10