从“标准方程”的含义谈解决代数问题的一种思维方式

◇ 辽宁 金钟植(特级教师)

从“标准方程”的含义谈解决代数问题的一种思维方式

◇ 辽宁 金钟植(特级教师)

1 曲线“标准方程”的含义

从教28年以来,笔者一直关注一个基本问题:解析几何中经常提到的“标准方程”的含义是什么?到目前为止,能够自圆其说的理解是:曲线方程代数结构的特殊性能直接体现曲线决定性的几何特征的方程是曲线的标准方程.即从曲线方程的代数结构中能直接解读出曲线的决定性的几何特征.反之有了曲线决定性的几何特征就可确定曲线的标准方程.下面就各类曲线标准方程给出这种理解的解释.

1.1 5种曲线标准方程的解释

1)直线的标准方程.

2)圆的标准方程.

与教科书的说法相同.

3)椭圆的标准方程.

4)双曲线的标准方程.

5)抛物线标准方程.

1.2 标准方程和一般方程的内在联系与本质区别

1)一般方程与标准方程内在联系.

将标准方程化简即可得一般方程,将一般方程经过有目的性的代数变形(如配方、运用等式的性质等)即可得标准方程.

2)一般方程与标准方程本质区别.

一般方程是由标准方程化简得到,进而使原有的代数结构特征消失,所以比起标准方程,体现不出所有决定性的几何特征.但有些一般方程还能体现部分几何特征.如直线的一般方程中体现其法向量为n＝(A,B).

从以上“标准方程”的含义不难看出,按照笔者对几种曲线标准方程的解析,可以将解析几何中的标准方程系统地化归为一类:曲线方程代数结构的特殊性能直接体现曲线决定性的几何特征的方程是曲线的标准方程.同时,解析几何中关注曲线方程或一些表达式的代数结构的特殊性的思维方式对解决有关问题起着决定性的作用.下面仅从解析几何的2种基本思维方式来谈谈其重要性.

2 解析几何的基本思维方式

解析几何体现的数学思想和方法主要是数与形的相互转化.那么问题是如何转化的?转化的依据是什么?

2.1 形到数的转化

2.2 数到形的转化

根据方程代数结构的特殊性或表达式蕴含的特殊结构,依据这种结构的特殊性就能转化为有关几何问题,转化依据是解析几何的相关知识,这种转化也是解析几何的基本思维方式之一.

3 解决代数问题的一种思维方式

笔者认为,在解析几何中上面所说的2种转化,从难度上说不是对等的.相对来说由形到数的转化目标比较清晰,思维难度小,而由数到形的转化目标不清晰,需要通过构造、变形等手段把数转化为形,思维难度相对大.最典型的是在有关的代数问题中,如果运用这种思维方式解决问题更加简洁.下面仅从3道例题,谈在代数问题中这种思维方式的应用.

例2 已知实数x、y满足

则(x－3)2＋y2的取值范围是______.

逆用两点间的距离公式,再根据椭圆的定义和标准方程得到

式(x－3)2＋y2的几何意义就是椭圆上任意一点到右焦点的距离的平方,所以根据椭圆的几何直观不难得出其最大值为(5＋3)2,最小值为(5－3)2,进而得出(x－3)2＋y2的取值范围是[4,64].

如果此题转化为闭区间上二次函数值域问题,计算量非常大(特别是无理方程化为有理方程的过程).所以在学完圆锥曲线的标准方程后,根据曲线的定义和代数结构的特殊性,可以将一些无理方程不经过运算,即可得到有理方程.例如:

此题在近几年的高考试卷压轴的填空题中属于难度较大的题目.但如果注意观察到关键性的思维信息|2a＋b|,这种特殊结构在高中数学范围内,只有在点到直线的距离公式中能够体现出其几何意义,进而经过适当的变形,可以把条件转化为直线与圆的位置关系问题.

解 因为4a2－2ab＋4b2－c＝0⇔

故其最小值为－2.

利用数转化为形解决有关代数问题时,有平方就可以考虑逆用两点间的距离公式,有绝对值就可以考虑逆用点到直线的距离公式,有一次分式就可以考虑逆用直线的斜率公式等.所以这种思维方式的运用,难点就是为了逆用公式,需要构造符合这些公式代数结构的形式.

(作者单位:辽宁省大连理工大学附属高级中学)