浅谈教科书拓展性内容的结论在解题中的应用>——以人教A版高中《数学(选修2-1)》为例

秦晓燕

(河南省漯河高中，漯河 462000)



浅谈教科书拓展性内容的结论在解题中的应用
>——以人教A版高中《数学(选修2-1)》为例

秦晓燕

(河南省漯河高中，漯河 462000)

近几年数学高考的命题已经越来越多地来源于教科书，有些命题是教科书例题或习题的变式，有些命题能运用教科书中例题或拓展性内容的结论简化解题过程．因此，在教学中，教师应以教科书为蓝本，让学生把教科书中的问题彻底学懂、学透，不仅要会解、会证明，还要能举一反三、灵活运用．本文，笔者以人教A版高中《数学(选修2-1)》为例来谈谈拓展性内容的结论在解题中的应用．

应用1 椭圆、双曲线定义相关结论的应用

【教科书链接1】(第41页例3)

图1

图2

【教科书链接2】(第55页探究)

深挖教科书，我们可以将上面两题拓展到一般情况，从而得出了以下两个结论．接着我们就利用这两个结论来解题．

【答案】B

【解析】如图3，由题知C(1，0)，A1(-2，0)，A2(2，0).

图3

设B1(1，y1)，B2(1，y2)(y1>0,y2<0).

∴S△A1B1C=S△A2B2C.

即 3y1=-y2.

①

②

【点评】在求解这两道例题时，如果运用了上面双曲线定义的相关结论，就可以大大减少运算量，这对解答高考题中的选择、填空题能起到事半功倍的效果．

应用2 截口曲线是椭圆相关结论的应用

【教科书链接】(第42～43页)

如图4，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.那么，为什么截口曲线是椭圆呢？

图4

历史上，许多人从纯几何角度出发对这个问题进行过研究，其中数学家Germinal Dandelin的方法非常巧妙．

在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切．两个球分别与截面相切于点E，F，在截口曲线上任取一点A，过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点C，B．由球和圆的几何性质，可以知道

AE=AC，AF=AB．

于是

AE+AF=AB+AC=BC．

由切点B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值．这样，截口曲线上任意一点A到两个定点E，F的距离之和为常数．

由椭圆的定义可知，截口曲线是椭圆．

我们仿照上面这个问题的证明过程不难得出以下的结论，接下来我们再利用这个结论解题．

结论 用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到一条截口曲线也是椭圆.

图5

【考题链接】例3 (2016 河南省漯河高中4月模拟)如图5所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20 cm，底面半径为2 cm.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球和球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计).一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )

【答案】A

图6

又由于O1O∥A1H，所以△O1OB1∽△OA1H，其中∠O1OB1=∠OA1H，

而乒乓球的直径为椭圆的短轴长，2b=2r=4，即b=2.

【点评】本题中的一个平面与两个乒乓球均相切，此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，在此背景下求椭圆的离心率，难度较大.解题的关键是求出椭圆的长轴长A1A2，短轴长2r=4；通过两个相似的直角三角形建立角和边长关系，从而求得了a=8. 在解题时，一定要明白三类接触点A1和A2、B1和B2、C1和C2是不重合的.

应用3 圆锥曲线的光学性质的应用

【教科书链接】( 第75～76页)

抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，如图7.

图7

【答案】y2=4x

【点评】本题的解决方法是建立在光学的一条重要性质的基础上，而这条性质在教科书中是属于阅读材料的内容，命题人认为这是一个常识，学生应该掌握. 但事实上，不少学生根本就不了解这个常识，觉得这道题缺少条件，殊不知，是自己忽视了教科书中的知识点.

由此我们发现教科书中的探究性内容实用性很强，既在基础知识上进行了拓展，又突出了数学知识与时代发展

的联系.探究性内容引导了学生主动去思考，并对所学的知识举一反三.不仅考虑了学生数学发展的不同需求，还为不同的学生提供了适合自己的发展空间.因此教师在教学中应重视教科书中的探究性内容的学习，并把它们都分析透彻，掌握清楚．

随着社会的进步和文化的发展，教师和学生手中有着越来越多的教学资源和复习资料.于是不少学生甚至教师都丢掉了教科书，整天埋在参考资料中.而事实上，教科书才是根本，才是精髓，只有先学透了，才能在此基础上举一反三，向更深层次发展．作为高中的数学教师，我们应让学生先吃透教科书中的基础知识，把其中的定义、性质定理及其证明都搞清楚，然后再把相应的例题、结论、课后作业、阅读材料等拓展性内容进行整合并牢牢掌握.只有先把基础知识学扎实了，才能更好地去运用相关参考资料加深和巩固．这样，学生的眼界拓宽了，从中体会到了数学的魅力和价值，就能更自主地学习数学.

人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学(选修2-1 A版)[M]. 北京：人民教育出版社，2013.

(责任编辑：李 珺)