互补问题中两个定理的推广

任佳盈

(长春工业大学 基础科学学院，吉林 长春 130012)



互补问题中两个定理的推广

任佳盈

(长春工业大学 基础科学学院，吉林 长春 130012)

利用简单的数学工具，对互补问题中的两个重要定理进行了推广和证明，通过改变定理的某些条件，使得当条件变弱时，定理依旧成立.

互补问题；定理；推广；非线性互补

互补问题首先由著名运筹学家、数学规划的创始人G.B.Dantzig教授和他的学生R.W.Cottle于1963年提出.1964年，R.W.Cottle在其博士论文中第一次提出了求解它的非线性规划算法.这一问题在初期被称为“拼合问题”“基本问题”等.1966年，P.Hartman和G.Stampscchia提出了一个与互补问题密切相关的概念——变分不等式，1971年，Karamardian证实了非线性互补问题是变分不等式的一种特殊情形.变分不等式联系着不动点理论、最优化理论、经济学理论、最优控制论，而且在交通模型以及社会和经济模型等方面有着广泛应用.互补问题作为变分不等式的特例，也有广泛的应用背景.

本文在前面研究的基础上，对互补问题中的两个重要结论进行了推广，通过改变它的某些条件，使其条件变弱时，这个定理依然成立.这为以后定理的发展提供了基础.

1 预备知识

引理1 设F:Rn→Rn是一个连续单调函数.如果存在y∈Rn和两个正的常数M,C使得

(1)F(y)>0且c‖y‖

(2)对于任意的x，‖x‖1≥M⟹‖F(x)‖≤C‖x‖1．

则有Zε={x∈Rn:x≥0,F(x)≥0,xTF(x)≤ε}对于任意的x≥0,F(x)≥0是有界的.

引理2 假设ψ≤ψ(1)，F为单调函数，x*是非线性互补问题的一个解，并且x(r)(00时.则有

h(‖x-y‖)≤〈x-y,F(x)-F(y)〉.

其中，h:[0,+∞]→[0,+∞]且h(0)=0，h(t)>0,当t>0时，并且存在ε,η>0使得h:[0,ε]→[0,η]是一个递增的双射.那么非线性互补问题有唯一的解x*，并且存在r0>0,使得当r∈[0,r0]时，有‖x*-x(r)‖≤h-1(nr2)．

2 主要结果

定理1的推广 设F:Rn→Rn是一个连续的P*映射，则存在y≥0,F(y)>0，对于任意ε>0，Zε={x∈Rn:x≥0,F(x)≥0,xTF(x)≤ε}是有界的.

证明 用反证法证明.假设存在ε>0,Zε无界.则存在{x(k)}∈Zε,即

x(k)≥0,F(x(k))≥0,(x(k))TF(x(k))≤

使得当K→+∞时，‖x(k)‖→+∞.由于

yiFi(x(k))+yiFi(y)≤

其中，i=1,2,…,n.

定理2的推广 假设ψ≤ψ(1),F为P*映射,x*是非线性互补问题的一个解，并且当r1>0时,x(r)(0

(2)如果F满足条件

h(‖x-y‖)≤

其中,当t>0时,h:[0,+∞]→[0,+∞]且h(0)=0,h(t)>0,并且存在ε,η>0使得h:[0,ε]→[0,η]是一个递增的双射，那么非线性互补问题有唯一的解x*，并且存在r0>0,使得当r∈[0,r0]时,有‖x*-x(r)‖≤h-1(cr2)(c≥0)．

证明 (1)的证明与定理2的证明类似，作简要证明.因为x(r)满足Hr(x)=0，即

因为ψ≤ψ(1)，所以

(2)h(‖x-y‖)≤

(1+τ)r2+r2=(2+τ)r2(τ≥0)

又因为h:[0,ε]→[0,η]是一个双射并且h-1是递增的，所以定理得证.

3 结束语

对变分不等式和非线性互补问题的研究，一般分为理论和算法.前者主要研究解的存在性、唯一性、稳定性和灵敏度分析；后者主要建立有效的求解方法及相应的算法分析.针对算法来说，主要有连续化方法、内点法、光滑(非光滑)方程算法、信赖域算法、效益函数法、投影收缩法等.本文在求解互补问题的光滑化方法过程中，对一些定理进行了扩展，旨在更弱的条件下，这类方法或对于误差的估计依然成立.这对于互补问题方法的研究有意义.

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(责任编辑:陈衍峰)

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.08.017

2016-03-15

国家自然科学基金项目“基于三维随机模拟的傍河型水源地污染物迁移规律研究”(51278065)；吉林省科技计划项目“向量优化问题的路径跟踪算法研究”(20130101061)

任佳盈,女,山西运城人,长春工业大学基础科学学院在读硕士.

TP399

A

1008-7974(2016)04-0052-02