椭圆上定面积的探究——2016年一道高考题的赏析

山东聊城大学数学科学学院 (252000)

徐丽军* 于兴江



椭圆上定面积的探究
——2016年一道高考题的赏析

山东聊城大学数学科学学院 (252000)

徐丽军*于兴江

2016年高考早已落下帷幕，一道道优秀的试题成为了数学爱好者探究与讨论的对象，他们沉浸在思维的过程中体会数学学习的乐趣，在不断地探索中体会成功的喜悦．笔者则以今年高考数学北京文科卷第19题为例对椭圆上的定面积问题进行了探究与推广．

一、原题再现

(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

二、解法呈现

图1

三、推广探究

当P为第三象限中椭圆上一点时，PA与PB分别与y轴和x轴的交点M和N与A和B构成的四边形ABNM的面积为定值，即SABNM=SΔPAB-SΔPMN为定值．此结论是否具有一般性呢？笔者利用几何画板进行了探究，得到：

图2

|SΔPAB-SΔPMN|

|SΔPAB+(-1)nSΔPMN|=ab.

图3

|SΔPAB+(-1)nSΔPMN|=ab.

图4

图5

[1]孙玉英，于兴江．探究引申剖析启示—一道高考题的赏析[J]．中学数学研究(江西)，2013，10．

[2]胡修欣，于兴江．一道高考题的一题多解与推广[J]．中学数学研究(江西)，2014，10．

[3]柳俊婷，于兴江．2015年山东理科第20题的多解分析及探究[J]．中学数学研究(江西)，2015，8．

[4]姜晓洁，于兴江．对2015年北京高考数学理科19题的推广探究[J]．中学数学研究(江西)，2016，4．