绝知此事要躬行——例谈高中数学课堂探究式教学

江苏省无锡市玉祁高级中学 (214000)

高 宏



绝知此事要躬行
——例谈高中数学课堂探究式教学

江苏省无锡市玉祁高级中学 (214000)

高 宏

随着课改的不断深入，教师的教学理念也需要不断地更新，更需要有效地落实.“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.”[1]探究式教学由来已久，一方面能凸显学生的主体地位，另一方面对学习的认知过程又大有裨益.现今的课堂，到处是探究式教学，有些是真探究，有些则是伪探究.

笔者有幸作为评委，参加了一次青年教师优质课评比，参赛的四位老师各有特点.接下来通过课堂实录结合笔者的日常教学，浅谈探究式教学的几点感悟.

1.课堂实录

案例背景：共有四位老师参加此次评优课活动，每位教师都有各自的教学特色.评优课内容是苏教版必修2第2章2.1.2直线的方程“3.一般式”.本课是在学习了直线的斜截式，交点式，点斜式，截距式之后的一节课，直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，为此后学习“曲线方程”打下良好的思维基础.

案例1 师：平面直角坐标系中，所有直线可由方程Ax+By+C=0表示吗？

(课堂一片沉寂，略等片刻后)

师：我们知道平面内很多直线都可以由斜截式y=kx+b表示，那么你能看出它与一般式的关系吗？

生：可以，即k=A，-1=B，b=C.

(教师露出微笑，学生们较平静.)

师：我们知道平面内直线除了有斜率的，还有就是没有斜率的，它可以用x=x0表示，那么你能看出它与一般式的关系吗？

生：x-x0=0，即1=A，0=B，-x0=C.

师：嗯，很好！这样我们就成功证明了这个问题.

(教师如释重负，学生们“乖乖”坐着.)

案例2 教师首先复习了之前学习的直线的四种表达方式，然后直接给出问题1：“平面直角坐标系中，所有直线可由方程Ax+By+C=0表示吗？”教师让学生以六人为一小组开始问题的讨论，教师深入学生中巡视并适当的辅导，5分钟后由各小组推选一位小组代表来回答.

(小组代表起来回答问题，下面的学生们屏息凝视.)

生1：直线可以表示为y=kx+b，那么kx-y+b=0，即k=A，-1=B，b=C，所以可以用Ax+By+C=0表示.

(这时候课堂一阵“小躁动”，有学生忍不住小声地插嘴.)

生1：噢！这是直线斜率存在的时候！当直线斜率不存在的时候，直线可以表示为x=x0，那么x-x0=0，即1=A，0=B，-x0=C，故也可以用Ax+By+C=0表示.因此，所有的直线都可以由方程Ax+By+C=0表示！

(教师给予了充分地表扬，学生们磨拳擦掌等着下一个问题.)

教师趁热打铁给出问题2：“任何一个方程Ax+By+C=0(A，B不全为零)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线吗？”教师依然让学生进行小组讨论，教师继续巡视和辅导，3分钟后还是由学生推选小组代表来回答.

(小组代表站起来自信满满，声音清晰有力.)

点评：同样的一个问题但是我们看到了两个不同的教学过程.案例1中，教师把问题的难点进行了分解，让学生能拾阶而上，减少了学生摸索的过程，可是这恰恰减少的是学习探索的乐趣，学生被剥夺了一次思维锻炼的机会.案例2中，教师大胆放手让学生去探索去琢磨，通过课堂巡视及时了解学生的学习困难并且一起参与讨论，与学生共同探究获取进步，其中的教学效果是不言而喻的.前者放不开，担心学生的能力，缺乏教学的自信；后者充分鼓励学生的自主性，促进学习的主动性，提升了学习的获得感.

案例3 教科书上本课例题为：设直线l的方程为x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定m的值：

(1)直线l在x轴上的截距是-3；

(2)直线l的斜率是1.

(学生在完成书上的例题后，教师追问了一个问题.)

师：同学们，请你从形的角度补充一个条件，设计一个问题，求出m的值.

(小组讨论后)

生1：直线在x轴上截距为2，求此时m的值.

生2：直线与坐标轴围成三角形面积为1，求此时m的值.

师：不错啊，同学们充分开展了思考，下面我们就来一一解决这两个问题.

点评：这位教师并没有把课堂局限在教科书上，而是在原教材的基础上进行变式，积极设置新的情境，增加学生探究学习的机会，情境设置自然而不突兀.按照布鲁姆的“教育目标分类法”，教育目标可分成：理解、应用、分析、综合、评价.本例中教师让学生自己探究材料，设计问题，综合性、创造性地解决问题.在学习的效果上强调特性与首创性，提高了学生的认知层次.

案例4 在开始新课内容后，教师打出了这样一张幻灯片.

师：同学们，我们为什么要学习直线的一般方程呢？原来这个问题早在16世纪，就有一位大数学家思考过，我们一起来看下大屏幕(如上图).

学生个个伸长了脖子，争相观望大屏幕，并且兴奋地窃窃私语.教师见状，顺势抛出新课问题让学生证明.

待探究活动结束后，教师再次打出这张幻灯片.

师：那么下面我来跟大家介绍一下当时的笛卡尔是用什么方法来解决这个问题的.……

点评：该教师从数学史的发展来追溯所研究问题的根本原因，不再是“就课论课”的来教学，跳出了本课的视野局限，从更高的角度看清知识的来龙去脉，从本质上弄清楚学习本课的起点与原因.这对厘清数学知识的连贯性和构建知识体系的框架性大有裨益，学生的学习兴趣也一下子被调动起来.无疑，这招“先声夺人”是该老师区别于其他人的一个亮点.

2.听课反思

2.1 探究的适用性

探究式教学对培养学生的综合学习能力有很大的优势，所以非常受学生和教师的喜爱.不过凡事都是辩证的，探究式教学固然有它的好处，广义上来讲，任何知识都可以探究，但是我们要注意它的适用性和探究效率.哪些教学内容更适合用探究式教学？通常符合探究式教学的教学内容具备以下几个特征.

(1)所学内容符合学生认知规律，新知符合探究惯性.数学学科的特点决定了知识的连贯性，但是有些模块之间的联系并不明显，尤其在各知识模块之间过渡的时候，联系就更加隐蔽甚至是无关的.例如，在学习完函数后，学习立体几何空间关系，这两者之间没有直接联系.如果是安排数列，那么数列作为一种特殊的函数，这样的探究学习更加顺理成章，探究效率就更高.

(2)所学内容对于学生有挑战性，新知存在探究趣味.正如美国著名数学家哈尔斯所说，“问题是数学的心脏”.兴趣无疑是探究的源动力，只要学习者对所学内容发自内心地产生了探求真相的渴求，那么学习就变得其乐无穷，然而有些教学内容较简单的话就不必展开探究了.案例1中，教师帮学生分解了难度，虽然课堂教学进行得“很顺利”，但是学生丧失了探究的乐趣，学起来索然无味，课堂气氛，学习效果都打了折扣.

(3)所学内容应属于原理性知识，新知富有探究意义.并不是所有的课都适合用探究的方式，例如我们规定：零向量与任何向量都平行.对此有些教师仍然采用探究式教学，殊不知这规定背后蕴含着复杂的逻辑原因，学生是很难在短时间内探究出来的.果不其然，到最后教师不得不虚晃一枪，草草收场.再如案例4中，谈到数学史，数学史是一个史实性的知识，它主要是靠叙述来了解学习，历史不容改变，而且有些内容完全超出了学生的能力，此时不妨用讲授法较自然.相对而言，原理性知识则更适合探究教学，如探索一种方法，寻找一种规律，证明一个定理等.

(4)所学内容较接近最近发展区，学生具备探究能力.既然要放手让学生自己去探究发现，那么问题的难度设置要在学生跳一跳能够得着的高度.有些课堂上，教师面对不太好讲的问题，干脆就扔给了学生，寄希望学生能探究出什么名堂来，可结果常常遭至冷场.到头来，教师不得不自圆其说找台阶下.这样的伪探究不但没有提高学习能力，反而挫伤了学生的学习自信.因此，太高的难度就需要教师认真分析，合理分解难度，设置有效的知识梯度，层层推进，不可奢望一飞冲天，探究的内容要接近学生已有的知识储备.

(5)所学内容贴近学生技能范围，学生掌握探究工具.不光学习内容要接近学生的已有知识储备，而且在方法上也不能脱离学生实际掌握技能.有次听新课“构造法求数列通项”，教师给出问题：“已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+3n，求an.”让学生探究讨论，可是此前学生连“已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+3，求an.”都没有做过，学生半天没出结果.显然这样的问题远远超出了学生已有的能力.教师的本意是想在新课引入时设置悬念，用问题引发兴趣，点到即止，可是一不小心没收住，直接让学生开展探究了，这样的探究要求则过度了，因此探究也得在学生掌握了一定的工具后才能进行.

2.2 探究的形式

学习的过程离不开教师、同学、个人这三个元素.教师起到引导矫正的作用；同学起到合作互助的作用；个人则有探索分析的作用.不同的学习内容，这三个元素起到的作用大小也不相同，探究方式也要相应改变.

(1)集体探究.当学习的内容比较陌生，难以靠学生自己完成时，教师的引导就显得非常重要.这个时候可以采用集体探究.所谓集体探究就是由老师引导，全班共同思考探索.以新课“指数函数性质”为例，研究函数性质对学生而言是一个陌生的领域，往往觉得无从下手.于是笔者这样引导.

师：如果把认识函数看成认识一个陌生人，你将怎样去了解这个陌生人？

(原本平静如水的课堂泛起了涟漪.)

生：先看看他的外貌.

师：函数的外貌是什么？

生：函数图像！

(指数函数图像前一节课刚学过，顺势请学生到黑板上画出.)

师：然后呢？

生：了解他的身高体重.

师：函数有身高体重吗？

(笔者一边说一边左右比划，上下比划.学生眼睛发亮了！)

生：函数的定义域，值域！

师：接下来再了解什么呢？

生：性格脾气.

师：嗯，有的人急性子有的人慢性子，难道函数也有性格脾气？

(课堂一下子炸开了锅)

生：函数单调递增像急性子，函数单调递减像慢性子.

……

就这样，把函数比做人，逐步引导学生得出研究函数性质的所有维度.

(2)小组探究.当部分学生具备了相关学习领域的知识储备与研究技能的时候，探究就可以采用小组讨论的形式.再以“对数函数性质”为例.因为前面刚刚学完指数函数的性质，课上教师已经给出了研究函数的方式方法，因此本课开始前，学生的知识的最近发展区已经毗邻新知，也基本具备了探究所需的技能与方法.这时候教师大可放手让学生分小组去研究对数函数的性质，给每个人分配研究任务，从中学会合作学习.

(3)独立探究.当需要锻炼学生的独立思考能力，逻辑推理能力的时候，比较适合这种教学形式.所学难度一般，基本可以让多数学生能动手做做，通过自己的探索发现来加深印象.譬如在公式推导中，当学习了“两角和差正余弦公式”后，可以让学生独立探索“两角和差正切公式”，“正余弦函数正切函数二倍角公式”.一般情况下，学生都能很好的完成.这不但能加深学生对公式的印象，也帮助学生理解公式的内涵.

2.3 探究的执行

有了好的教学设计还需要教师恰到好处的来引导学生的学习，调节课堂的节奏，把控思维的方向.

(1)明确探究任务.探究前，教师必须要讲清楚我们研究的方向是什么，并不是给出了问题就是探究.“三角函数有什么特点？”这个问题研究范围太广，维度太多.不妨改成：“三角函数的图像有什么特点？”这样问题内容就明朗了.可见，好问题就是一个山峰，激励学生踊跃攀登，差问题则像是重重雾霾，让人摸不清头脑.因此教师的课堂语言不能随意，尤其在研究开放性命题的时候更要好好推敲下.本文案例3中，如果有学生提出求三角形周长的最大值，那么这是一个难题了，教师不妨“避重就轻”让学生放到课后去研究，否则这题很难收场，这堂课就偏题了.

(2)设计探究梯度.梯度设计直接影响到探究成功的指数.层层递进的问题让学生享受探索之旅，如若难度太大，则会出现思维上地跳跃，与认知规律不相符，学生难以完成任务，久而久之便会产生畏难心理.梯度设计的成功有两个关键因素，首先，教师要充分了解学生知识的最近发展区和已有的技能方法.其次，教师要选择合适的目标并分解难度，就像是找多高的山，铺几层台阶.在探究过程中，教师巡视各小组，即可以收集探究信息，也可以及时引导.

(3)分析探究收获.探究不一定总是一帆风顺的，有时候学生的回答与目标会有一定的偏差，甚至是南辕北辙.教师不必第一时间就给予纠正，聪明的老师常常会说：“我们听听其他同学是不是同意你的看法.”不妨把问题再抛给其他学生，借学生不同的思维来修正方向，纠正错误.此外，教师也可以通过追问来逐步揭示问题的本质，深化学生探究的成果.

随着基础教育课程改革的不断深入，人们越来越关注学生数学核心素养的培养.核心素养是知识、技能和态度等的综合表现.探究能力即为其中的“认知性素养”[2].教育界早就倡导探究式教学，“在课堂上，展现‘活生生的’数学探究和应用过程，让学生凭借已有的知识和经验积极参与各项活动，通过自己的观察、思考、操作、尝试、验证，再加以分析、比较、抽象、概括……获得数学知识和问题解决.”[3]在新时代的课堂中，教师要不断更新理念，注重学生在学习中的主体地位，真正培养学生的学习力，为终身发展奠定基础.

[1]中国人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社,2015：3.

[2]施久铭.核心素养:为了培养“全面发展的人”[J].人民教育,2014(10):14.

[3]梁秋莲.帮助学生获得数学思想的基本策略[J].课程·教材·教法,2015(9):57.

*注：本文是福建省教育科学“十二五”规划2015年度立项课题《高中数学试卷讲评课教学策略实证研究》(课题立项批准号FJJK15-464)