陈小伍：国内代数学界的新星

本刊记者　严永红

陈小伍：国内代数学界的新星

本刊记者严永红

专家简介：

陈小伍，中国科学技术大学特任教授、博士生导师。2012年入选教育部新世纪优秀人才支持计划，2014年入选中科院卓越青年科学家项目，并获得意大利国际理论物理中心ICTP的Junior Associate访问资助，2015年获得国家自然科学基金的优秀青年基金项目。目前的研究领域为代数学，研究课题为三角范畴及其应用。

已在国内外权威期刊Adv. Math.，IMRN，Doc. Math.，Math. Z.以及 J. Algebra等上发表30多篇论文，其中6篇论文被列入相应杂志当期Top 25 Hottest论文。2010年在意大利国际理论物理中ICTP举办的表示理论高级研讨班以及在会议上做大会邀请报告，多次受邀参加德国Oberwolfach以及加拿大Banff举办的学术会议并做学术报告，任德国Gruyter Open出版社SCI杂志Open Math. 编委，受邀成为第十四届全国代数学学术会议组织委员会成员。

法国哲学家笛卡儿曾说，数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。所有研究顺序和度量的科学均与数学有关。在陈小伍看来，数学虽然是个十分抽象的学科，跟实验学科有很大差别，没有高科技设备仪器的辅助，做研究仅凭自己的头脑思考问题，但却并不枯燥，“若能发现不同知识间的联系，那更是再兴奋不过的事情了！”话语间的他面带笑容。

从踏足代数学领域至今，陈小伍不仅证明了Gorenstein投射模的Auslander型定理：有限维Gorenstein代数仅具有有限多个不可分解Gorenstein投射模当且仅当其任意Gorenstein投射模均分解成有限维模的直和。他还得到了Frobenius范畴的Gabriel-Quillen型嵌入定理：任一Frobenius范畴均正合等价于某个范畴上的Gorenstein投射模范畴的容许子范畴。这些学术创新点无疑使陈小伍成为国内代数学界冉冉升起的一颗新星。

选择“代数表示论”这块年轻的土地

代数的奇点范畴，同Serre对偶问题和三角范畴的中心成为当前最热门的研究课题，它们与代数的同调理论，Auslader-Reiten理论以及数学物理中的D-膜理论都有深刻的联系。在此领域，陈小伍最大的成就莫过于发现了根方零代数的奇点范畴与Leavitt路代数的表示理论之间的联系，具体构造了Leavitt路代数的不可约表示。

若为成功归因，除了陈小伍极具悟性，还与兴趣相关。对数学的热爱贯穿于他求学、研究的全部历程中，这是促使他成功的真正源动力。最初对数学的好奇源自于他上学时便显露出的超出同龄人的计算能力，而且逐渐激发出强烈的热爱，并贯穿于他嗣后的人生道路。

1998年，那年陈小伍17岁，经历高考的拼搏，他以优异的成绩考入了中国科学技术大学数学系，攻读基础数学。4年青葱岁月，陈小伍广泛学习了各类课程，习得了不少专业知识。然而，他更钟情于代数，也更为擅长。毕业之际，他便师从知名代数学家章璞教授专注代数研究。

陈小伍的研究领域为“代数表示论”，一个较年轻的学科分支，起源于上世纪六七十年代。我国的起步还要稍晚些，是被称为国内代数表示论奠基人的刘绍学在苏联莫斯科大学学成归来的同时把国外的教授请到国内授课，中国学生也被输送到德国学习，随着一批批学子回国才慢慢建立起我国的代数表示论学科。2008～2010年，陈小伍也获得德国洪堡基金会资助，在Paderborn大学做博士后研究，合作导师为著名代数学家Henning Krause教授。

“代数表示论”旨在将代数结构中的元素“表示”成向量空间上的线性变换，藉以研究代数的性质。它主要关注代数的表示组合性质以及同调性质。陈小伍的关注点则更多倾向于后者。具体来说，他研究了代数的奇点范畴。

在“代数表示论”这块年轻的土地上，陈小伍无疑是个开拓者。既然选择，他只有孤注一掷。其代价是注定要付出更多的艰辛、挥洒更多的汗水。兴趣使然，陈小伍沉浸在这片未垦之地辛勤劳作却也甘之如饴。尽管孤独，但心中有梦，他等待着深埋下的种子开出美丽的果实。

代数的奇点范畴

上世纪70年代，伟大的数学家A. Grothendieck引入了代数簇上的完备复形，其反映了代数簇的光滑性——代数簇是光滑的当且仅当其上的凝聚层均是完备的。这一想法被之后的数学家不断发展。具体来说，代数的奇点范畴是由代数学家R.O. Buchweitz在1987年引入的，他指出奇点范畴与经典的奇点理论以及Gorenstein同调代数之间的紧密联系。奇点范畴反映了代数的同调奇异性以及稳定同调性质，它为整体维数无限的代数提供了新的不变量。同时，ICM邀请报告人J. Rickard和B. Keller以及挪威皇家科学院院士D. Happel等人也做了相关研究。

对于仿射代数簇，其坐标环的奇点范畴反映了代数簇的奇异性。基于完备复形的概念，代数几何学家D. Orlov于2003年引入了（非仿射）代数簇的奇点范畴，并将之应用到数学物理中的同调镜像猜想；他还研究了分次奇点范畴，并将之应用到非交换射影几何。

“近几年的研究表明，奇点范畴与加权射影直线、非交换射影几何以及非交换奇点解消等前沿课题均有着密切的联系。”陈小伍指出。

现有奇点范畴的结果主要集中在Gorenstein代数上，对于非Gorenstein代数的奇点范畴人们知之甚少。根方零代数是一类重要的非Gorenstein代数。基于Keller-Vossieck的基本定理，陈小伍证明了根方零代数的奇点范畴三角等价于某个Von Neumann正则环的有限生成投射模范畴。利用箭图的无限长度道路，他构造了Leavitt路代数的不可约表示；并证明这是由branching系统所能得到的所有不可约表示。相应的表示被国际知名代数学家称为“陈（单）模”。

随后，陈小伍对根方零代数奇点范畴的紧致完备化范畴进行了研究，利用代数的分次泛局部化理论以及Koszul对偶理论，证明了该完备化范畴三角等价于Leavitt路代数的导出范畴，也三角等价于某个平凡扩张代数的Gorenstein投射模稳定范畴。于是，他建立了根方零代数的奇点范畴与Leavitt路代数这类无限维代数之间的联系。该联系揭示了非Gorenstein代数奇点范畴的高度复杂性。相关论文发表在综合性数学杂志Doc. Math.（2011），IMRN(2015)和Forum Math.（2015）。

陈小伍证明了根方零代数上存在非平凡的Gorenstein投射模当且仅当该代数为自内射代数。该结论揭示了一个新现象，即某些代数上的Gorenstein投射模总是平凡的。利用代数retraction以及奇点等价，他和合作者完全刻画了Nakayama代数的奇点范畴，并完全分类了低维Nakayama代数上的不可分解Gorenstein投射模。

加权射影直线是代数表示论中一类自然出现的非交换曲线，由德国著名代数学家H. Lenzing提出，它导出等价于C.M. Ringel意义下的典范代数。基于D. Orlov的三分律定理以及H. Lenzing等人的近期工作，可看出加权射影直线向量丛范畴与Frobenius范畴、分次奇点范畴、分次Gorenstein投射模范畴等均密切相关。正合范畴的Gabriel-Quillen型嵌入定理是同调代数中的基本定理。陈小伍证明了Frobenius范畴的Gabriel-Quillen型嵌入定理：任一Frobenius范畴均正合等价于某个范畴上的Gorenstein投射模范畴的容许子范畴。

紧接着，他又研究了Frobenius范畴的商范畴，并将之应用到加权射影直线的向量丛范畴，同时还研究了 Frobenius范畴的单态射范畴以及其上的倾斜对象，显式地得到向量丛稳定范畴的recollement。相关论文发表在综合性数学杂志MRL（2011），Math. Z.（2012）和Bull. London Math. Soc.（2012）。这些论文启发了国内外学者的相关后续工作。

沿着数学大家的路径前行

基础夯实，便可厚积薄发。在前期探索的基础上，陈小伍继续做进一步研究，于是他顺利申请到国家自然基金项目“代数表示论与同调代数”。在新项目中，他将开展对以下研究：利用群等变范畴，研究tubular型加权射影直线的向量丛稳定范畴和分次奇点范畴。

有限群等变范畴是由菲尔茨奖得主P. Deligne引入，之后两次被ICM邀请报告人I. Reiten等应用到代数表示论。基于菲尔茨奖得主V. Drinfeld等人的工作，群等变范畴在张量范畴的分类中扮演着重要的角色；基于H. Lenzing等人的工作，加权射影直线的凝聚层范畴与某种群等变范畴是等价的。陈小伍主要关注tubular型的加权射影直线。这类非交换曲线导出等价于C.M. Ringel意义下的tubular代数。事实上，H. Lenzing等人的工作预示着这类加权射影直线的凝聚层范畴等价于椭圆曲线上的某种群等变凝聚层范畴。陈小伍则与同行合作研究了相关群等变范畴以及相应的分次代数，并给出范畴等价函子。相关论文发表在IMRN(2015)。

正如H. Lenzing在文中指出的，相关工作将挪威皇家科学院院士C.M. Ringel关于tubular代数的工作与菲尔茨奖得主M. Atiyah关于椭圆曲线的经典工作联系起来。据陈小伍介绍，项目将采取理论探索与研讨相结合的研究方式。“我们拟研究加权射影直线上向量丛范畴的同调性质，这与我们前期工作紧密相关”，他拟利用群等变范畴的理论研究不可分解向量丛的分类问题以及倾斜对象的分类问题，并拟研究齐次坐标环上的分次Gorenstein投射模的分类问题，同时研究分次奇点范畴的同调性质。

牛顿曾说过，如果说我比别人看得更远些，那是因为我站在了巨人的肩膀上。的确，科学的金字塔就是这样一代一代垒起来的。陈小伍游走在代数的神秘世界中，沿着数学大家的路径前行，一步一个脚印地将数学的历史长轴又向前再推进了一步。老一辈终将退居幕后，新一代时刻紧随而上，传承的力量在无形中迸发，散落出的星星之火照亮整个数学王国。

坚持与着迷

流连在数学王国乐而忘返，数学慢慢成为了陈小伍的理想国。而这片理想国的边界早已跃出了学校的课堂，早已挣脱他速算能力超越同龄人的沾沾自喜，他目极八荒地驰骋在这数学王国里，推敲、琢磨每一道题，翻看、咀嚼每一页书……如饥似渴地阅读、演算。这里，不做实验，没有数据分析，陪伴他们的就只有一篇篇经典论文。

哲人曰：“孤独不是一种状态，而是一种选择。”陈小伍就是这少数选择孤独的人。他选择孤独，并不是他愤世嫉俗，也不是在象牙塔里自我感动，只因为他愿意并且只愿意在思考和理性的平台上和永恒无限的上苍对话。

博士后出站后，陈小伍有幸赴德国Paderborn大学访学。那段时间，他最大的感受是国外做学问的纯粹，所谓的“纯粹”就是与报酬没有丝毫关系。报告讲座几乎周周都有，没有大张旗鼓的欢迎仪式，来访教授往往都是在讲台上酣畅淋漓交流一番后，喝过一杯咖啡就离开了。

星辰不光绽放自身光芒，更因能其照亮前路而弥足珍贵。如今在中国科学技术大学特任教授、博士生导师的陈小伍是一名执教者。他把这一身份摆在与科研者同样重要的地位。他提到，自己很愿意作为数学爱好者的启蒙者、导师、引路人，当然这些都需要在实践中慢慢摸索经验。不论是研究还是教学，陈小伍都非常看重与同行交流的机会，因为交流而激发灵感，因为碰撞迸发创新。但是，交流需要平台。目前由于各种政策的限制，想要创建一个国内外同行见面交流的机会，无疑还有些困难。科研者需要思想互通的路径，所以包括陈小伍在内的数学科研者们都在急切呼吁国家能提供相关机会。

数学家常常被人们称为天才，因为他们能做常人所不及的提疑答惑。但陈小伍经常对自己的博士生们说，“聪明没用，重要的是坚持，年复一年地看一篇文章，年复一年地想一个问题”。也许正如努瓦列斯所表达的“数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学”。陈小伍正是抱着这份对数学的执着和热爱，在数学的星空留下串串闪光。