弯曲内力图教学方法探讨

【摘 要】材料力学中弯曲内力是重要的内容。通过绘制弯曲内力图可以确定梁的危险截面，是对弯曲梁进行强度校核的关键。学生在求解弯曲内力时，常常会遇到不少问题。简易法绘制弯曲内力图简单且容易操作，需要有一些方法和技巧，如何在教学中教会学生灵活应用，提出了一些想法进行探讨。

【关键词】弯曲内力；剪力；弯矩

一、引言

材料力学中求杆件内力，是最基本的内容。内力的求解主要包含三种：轴向拉压杆轴力、扭转轴的扭矩、弯曲梁的剪力和弯矩。其中梁的剪力和弯矩的求解较复杂些。绘制剪力图和弯矩图有两个方法，第一是根据剪力方程和弯矩方程来绘制剪力图和弯矩图；第二是只需求出关键截面的内力，根据总结的规律绘制内力图，也称为简易法。由于简易法绘制内力图简单，基本上在教学过程中会用较多的课时教授简易法。熟练掌握简易法，就能快速简便地绘制内力图，但教学的过程中不少学生还是不能很好地掌握。通过教学中不断总结经验，对简易法的教学提出了一些想法。

二、如何在教学中引入简易法

做截面列剪力方程和弯矩方程绘制内力图虽然比较繁琐，却是引入简易法的基础。在教学过程中要首先要详细讲解该方法。在该方法的基础上引入简易法，很自然，也容易接受。

讲解根据内力方程绘制内力图时，首先要强调步骤，使学生有明确的绘制内力图思路。该方法首先要对梁进行分段，这一步骤和简易法一致。分段点是：杆的端点、集中力作用点、分布力的起点和终点。在讲解的过程中，由于反复使用，学生的脑中会有比较深的印象；分段后，在每一段内任做一截面，将杆件一分为二，任取一局部，假设截面上的内力，根据局部的受力图列平衡方程求解内力方程；最后根据内力方程，绘制内力图。

为了总结不同载荷作用下内力图的形状及特点，在讲解根据内力方程绘制内力图时，要选择合适的例题。例题最好不要太复杂，就采用单跨的梁，如：简支梁、悬臂梁。载荷也比较简单，比如只有均匀分布载荷，绘制内力图（如图1）。通过该例题绘制梁AB梁的内力图，可以知道均匀分布载荷作用的一段，剪力图是斜直线，弯矩图是抛物线。除了强调抛物线开口向下，还要明确绘制抛物线的几个点。如果抛物线有极值点，绘制抛物线就需要三个点。这一段的两个端点和极值点的弯矩值，绘制成弯矩图，极值点为最高或最低点。如图1中的弯矩图，绘制AB段的弯矩图需要端点A、端点B和极值点C点的弯矩值连接而成。

再如，简支梁在载荷为集中力偶（图2）作用下的内力图。剪力图为直线，弯矩图为斜直线，且弯矩图在集中力偶作用点发生突变。可以在C截面的左右两侧各做一截面，取局部求截面的弯矩。C截面两侧弯矩的突变值为力偶矩的大小。

通过类似的一些简单的例题，可以把各种载荷作用下，内力图的形状和特点展示给学生，让学生对例题进行比较和总结。加深学生对简易法来源的理解。对于常见的载荷、剪力图和弯矩图之间的相互关系，可得出如下一些规律：

（一）在没有均布载荷作用的一段梁上，，即，。此段梁的剪力图为必为平行于轴的直线；弯矩图则为斜直线。

（二）在有均布载荷作用的一段梁上，为常数，即和均为常数，此段梁的剪力图和弯矩图必分别为斜直线和二次抛物线。

（三）还可从剪力图确定弯矩图中极值点的位置：当不为零时，如果梁在某截面上的剪力为零，则弯矩图在相应点出的切线平行于轴，该截面上的弯矩必为极值。

（四）在集中力作用处，剪力图发生突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。 在集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变值等于力偶矩。剪力图在该点没有变化。

利用上述规律，可以校核剪力图和弯矩图的正确性。

三、应用简易法的要点

简易法应用时，常常会碰到多种载荷作用下求梁的内力图，如图3是一个非常典型的弯曲内力图绘制题目，其上载荷包含了常见的三种载荷，集中力、集中力偶和均匀分布载荷。求解时有几个要点：

（一）要把内力图和梁的受力图上下对齐（如图3），这样每一段的载荷和内力图形状很清晰，在绘制的过程中不容易出错。

（二）注意每一段分布载荷的集度，剪力，弯矩的微分关系。在内力图中，就体现在内力图线形。如图3中，CA段，那么剪力方程应该是常数，为水平直线，那么弯矩方程更高一阶，是一次函数，为斜直线。按照受力图放在最上方，剪力图第二，弯矩图第三，它们的线形也是满足下面的内力图线形要比上方图形的高一阶。解题时可以关注，来验证内力图是否正确。

（三）注意内力图发生突变的截面，如集中力作用截面、集中力偶作用截面。如图3中的A截面和C截面。

如果熟练掌握简易法，那绘制梁的弯曲内力图就不需要太多繁琐的计算过程，绘制时比较容易，也不易出错。

四、结论

简易法需要在理解的基础上，通过一些练习才能熟练掌握。在讲解该方法时，要让学生在课堂上做一些练习，做完练习及时地讲解，可以加深印象。可以让学生做一些找出内力图错误的习题，或根据内力图画受力图的习题，不仅可以提升课堂的趣味性，而且可以突出重点，如内力图会在什么情况下突变等。

参考文献：

[1]刘鸿文.材料力学[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]单辉祖.材料力学教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

作者简介：

范志毅（1978-），女，福建人，固体力学，讲师。