全面思考小心漏解

江苏省南京市金陵中学龙湖分校(210005)

谢丽丽●



全面思考小心漏解

江苏省南京市金陵中学龙湖分校(210005)

谢丽丽●

几何图形的说理与证明过程中，往往因为题目中未画出图形，而只是对题目进行文字性描述，做题时需要一边读题一边画出图形，但是学生往往容易忽略题中的隐含条件导致漏解.现以七年级学生初学几何图形时往往会出现考虑不全为例，列举如下：

例1 一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系是 ____.

错解 相等.

错解分析 本题主要考察平行线性质的应用.

角的两边是两条射线，射线是有方向的，因此要考虑到这两个角的两边的方向是否相同.

当这两个角的两边的方向都相同时，这两个角相等；

当这两个角的两边的方向都相反时，这两个角相等；

当这两个角的两边一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反时，这两个角互补.

正解 相等或互补.

例2 等腰三角形的周长为60，一腰上的中线把它分成两个小三角形，这两个小三角形的周长之差是6，试求这个等腰三角形的腰长.

错解 设这个等腰三角形的腰长是2x，则底边长为(60-4x)一腰上的中线长是a.则分成的两个小三角形的周长之差是(2x+x+a)-[a+x+(60-4x)]=6.

解得x=11. 所以腰长是22.

错解分析 两个小三角形的周长之差是6，但是并没有指明谁大谁小，因此有两种情形.

正解 设这个等腰三角形的腰长是2x，则底边长为(60-4x)一腰上的中线长是a.由题意可得： (2x+x+a)-[a+x+(60-4x)]=±6.

解得x=11或9. 所以腰长是22或18.

当腰长是22时，底边长是16；当腰长是18时，底边长是24.经检验，这两个解都符合要求，所以这个等腰三角形的周长是22或18.

例3 已知,线段AB∥CD，E为AB、CD之间的一点，连接EA、EC，∠A=x°，∠C=y°试用x、y表示∠AEC的度数.(其中x、y都不等于90).

错解 如图2，过E作EF∥AB,

∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,

∴∠1=∠A=x°,∠2=∠C=y°,

∴∠AEC=∠1+∠2= +x°+y°.

错解分析 没有考虑到点E相对于点A,点C的位置关系，题目中未画出图形，也没有限定x、y是否大于或者小于90，因此，∠A与∠C既可能是锐角，也有可能是钝角，有多种情形.

正解 过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，

(1)如图3：

∵AB∥CD∥EF，

∴∠1=∠A=x°,∠2=∠C=y°.

∴∠AEC=∠1+∠2=x°+y°.

(2)如图4：

同理可得：∠AEC=∠1+∠2=360°-x°-y°.

(3)如图5：∵AB∥CD∥EF,∴∠1=180°-∠A=180°-x°， ∠2=∠C=y°.∴∠AEC=∠1+∠2=180°-x°+y°.

(4)如图6：

同理可得：∠AEC=∠1+∠2=180°+x°-y°.

综上所述，∠AEC的大小有4种可能,在作图的过程中要考虑完整.

本题中，还可以进一步启发学生：如果没有“点E在AB、CD之间”这个条件，情形会不会更多呢？让学生多么思维更开阔.

总之，在解答或未给出图形的几何题目时，读题画图的过程中要充分细致地考虑各种情形. 教师要从一开始就要引导学生认真读题，理解题意，正确画出图形，以防止漏解.渗透分类讨论的思想，让学生初学平面几何时就养成良好的全面思考的思维方式和学习习惯.

G

B