QR分解与GLS改进算法在压力传感器动态性能改善中的应用

杨文杰，张志杰，李岩峰，穆欣荣

（中北大学仪器科学与动态测试教育部重点试验室，太原030051）

QR分解与GLS改进算法在压力传感器动态性能改善中的应用

杨文杰，张志杰*，李岩峰，穆欣荣

（中北大学仪器科学与动态测试教育部重点试验室，太原030051）

将矩形矩阵的正交（QR）分解和改进的最小二乘（GLS）算法相结合，实现传感器的动态建模，运用零极点配置理论改善传感器动态性能。利用传感器动态校准实验数据，首先构造矩形数据矩阵并对矩阵进行正交分解确定传感器模型阶次，继而利用改进的最小二乘算法建立传感器的数学模型，而后运用零极点理论对模型零极点进行重新配置改善传感器的动态性能。实验结果表明：该方法简洁，建模精度高，能够较准确得到反映传感器动态特性的数学模型，且基于该方法的传感器动态性能改善效果明显。

压力传感器动态建模正交分解最小二乘零极点

随着科学技术的发展，在科学研究、技术开发、工程实践等领域，越来越多的要求进行动态测试，要求定量、深入地了解瞬态过程参数的变化规律［1-2］。动态测试产生的误差主要是由于传感器动态性能不佳引起的，因此改善传感器的动态性能是减小测试误差的一条有效途径。

改善传感器动态性能的方法根据是否依赖传感器动态模型可分两类：依赖传感器动态模型类型和不依赖传感器动态模型类型。零极点配置法［3］，反滤波法［4］等属于典型的依赖传感器动态模型类型的改善方法。利用PSO算法直接对硅加速度传感器进行动态补偿的方法［5］，基于神经网络逆系统的传感器动态补偿方法［6-7］等都属于不依赖传感器动态模型方法。不依赖传感器动态模型的改善方法较依赖传感器动态模型的方法少了一个求解传感器系统特性的环节，显得简便，但是却得不到传感器系统特性，并且传感器动态性能改善程度也很难定量表示。两种类型的改善方法共同面临着阶次确定的问题，即依赖传感器动态模型类型面临着模型阶次判定问题，不依赖传感器动态模型类型面临着补偿环节阶次确定问题。本文用矩阵正交分解来判定传感器动态模型阶次，用改进的最小二乘算法建立传感器动态模型，用零极点配置理论对传感器动态模型的零极点进行重新配置以改善传感器的动态性能。

1 压力传感器动态校准

动态校准的首要问题是要有频带能够充分覆盖被校传感器模态的动态激励信号发生器，这样才能将被校准传感器的主要模态激发出来。本文选用激波管作为压力传感器动态校准实验所施加激励信号发生器。选用激波管作为激励源是因为激波管可以产生上升沿很短（可以为纳秒级），持续时间为数个毫秒的理想阶跃信号［8］。校准时，将压力传感器齐平安装在激波管末端端面上，如图1所示。

整个校准系统由高压气源、激波管、测速传感器、信号调理电路、多通道数据采集卡等组成。标定激波管的主体为高压区和低压区两部分，中间使用膜片隔开，校准时打开高压气瓶，当两室压差达到破膜压力时膜片破裂，高压室气体冲向低压室形成入射激波［9］。

图1 激波管动态校准系统原理图

2 QR分解判定动态模型阶次

矩形矩阵的正交分解又称QR分解，是把一个m×n的矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。

利用实验数据{(u(k)，y(k))|k=1,2,…,N}构造如下矩阵：

矩阵D中的v为待考察的阶次，N为数据长度，对D阵进行矩阵QR分解，得到如下上三角阵。

式中，M=2v+2，×为任意元素。R′是一个M×M维的上三角方阵。则R′阵对角线偶元素平方和是各阶差分方程模型对应于最小二乘估计的残差平方和［10］，因此可以通过对比各阶模型对应的残差平方和的大小来判断模型的阶次。

3 改进GLS算法进行线性动态建模的原理与实现

单输入、单输出线性定常系统可以用下面差分方程描述

如果考虑噪声，则式（1）可写为

式（2）简写为

式中：u(k)为系统输入数据，y(k)为输出数据，d-1为延迟算子，ε（k）为拟合残差，有

建模就是根据标定实验得到的输入、输出序列{(u(k),y(k))|k=1,2,…,N}确定模型阶次n，并对模型参数ai，bi，i=0,1,…,n(a0=1)做出估计。模型的最小二乘格式

式中，数据向量和参数向量定义为

定义最小二乘优化算法的指标函数

由于建模时输入是假定的理想阶跃信号序列，此时输入端噪声可不予以考虑。如果假定输出端是零均值的白噪声，式（6）可变为

即

令

则式（3）可写为

式（15）可以用最小二乘求得参数 ai，bi，i=0,1,…,n(a0=1)的无偏估计。但由于在ai，bi尚未估计出之前，是未知的，因而需利用迭代法加以估计，其步骤如下：

Step 1：由输入、输出数据(u(k)，y(k))，用最小二乘法求出参数的最小二乘估计值，作为迭代运算的初值。

Step 2：设迭代第l次时，求得

计算

Step 4：令l=l+1，回到第二步，直到迭代收敛或者达到迭代次数为止。当迭代收敛时，可以得到下式：

4 传感器动态补偿方法

传感器的动态特性与其传递函数的零极点尤其是极点位置密切相关［11］，对传递函数的零极点进行分析，观察它们对传感器动态性能的影响，继而采用零极点相消补偿原理，即串接一个补偿环节，而将原来不符合要求的零极点消去，配以新的零极点，使系统动态特性得以改善，这便是零极点相消补偿法。本文应用参考文献［12］补偿传感器动态特性的基本思路对传感器动态特性进行改善。

5 仿真实验

5.1 模型辨识方法验证

设压力传感器为二阶系统，模型为

式（18）中假定，k=1，ξ=0.01，ω0=3.6×105π。传感器的动态特性一般用传递函数描述，为了便于数据采集、处理和存储，通常用离散传递函数描述。离散传递函数的一般表示形式为

采用双线性变换法，可以将连续传递函数离散化，变换公式为

式中：T为采样时间，本文假定为0.5 μs。则式（18）在Z域的表达式为

图2 压力传感器模型阶跃响应曲线

从图2可以比较直观看出，该传感器模型对输入阶跃信号的响应存在超调量大，响应时间长等不足，在实际应用中会带来较大的动态误差，必须改善传感器的动态性能。

改善传感器的动态性能之前往往需要获取反映传感器动态特性的动态指标，欲获取动态指标需要建立全面描述传感器动态特性的动态数学模型，而建立模型之前需要确定传感器的阶次。运用矩阵QR分解求得模型阶次与残差平方和的关系如图3所示。

图3 残差平方和随模型阶次变化曲线

分析图3数据知，前1、2阶模型对应的残差平方和分别为19.042 0、0.193 7，之后的变化都比较缓慢，因此可以认定该压力传感器模型为2阶。

当模型阶次确定后，利用改进的最小二乘求得系统离散传递函数为

图4反映的是辨识系统与原始系统对阶跃信号的响应，从图4可以看出，两者吻合较好，几乎重叠在一起。

图4 原始系统和辨识系统阶跃响应曲线

5.2 改善模型特性方法验证

为了使系统满足测试要求，必须要改善其动态特性，具体是拓宽传感器的工作频带，因为对于传感器而言，工作频带是其最重要的动态指标。参照零极点相消补偿方法设计步骤［3，12］，设计补偿滤波器

该滤波器串联在原系统后面便能够拓宽工作频带，图5是传感器系统频带拓宽效果。

图5 补偿前后传感器系统幅频特性曲线

图5从频率域表明，补偿后传感器的工作频带被大大拓宽，且补偿后系统抗干扰性能提高。进一步分析图5中的数据知，辨识系统在176 kHz附近发生谐振，接近之前设定的系统谐振频率180 kHz，说明辨识系统与原始系统达到了很好的逼近效果。为了说明补偿后系统时间域改善效果，绘制图6。

图6 补偿前后传感器阶跃响应

图6从时间域表明，补偿后传感器的超调量和响应时间都得到很大程度上的改善。为了更加直观的得到补偿前后传感器各动态参数的改善程度，绘制补偿前后系统各项动态参数于表1。

表1 传感器补偿前后各项动态参数

表1中，ts为响应时间，表征的是传感器响应速度性能；σp为超调量，表征的是传感器稳定性能；wq为工作频带，这里取幅值误差在±5%范围内的频带。

5.3 补偿模型适应性验证

补偿模型设计后，需要判断该补偿模型的适应性及抗干扰性。对于模拟的理想系统，该环节是必不可少的，因为该环节可以验证补偿及建模方法。具体方法是：在理想系统的阶跃响应输出数据中添加不同类型，不同信噪比的噪声信号构成混合信号，将这种混合信号通过补偿系统，以此检验补偿模型的一般适应性，即补偿模型对外界扰动保持自身稳定的性能。

为了验证补偿模型适应性，选取了信噪比分别为26 dB，30 dB和40 dB的均匀噪声和随机白噪声构成混合信号，图7是补偿模型对不同混合信号的处理效果。

图7 补偿模型对不同类型和信噪比噪声响应曲线

通过图7可知，补偿模型适应性能优异，说明补偿模型选取的适合，也进一步说明传感器数据建模方法适用且建模精确。

6 实际应用

图8是应用于爆炸冲击波测试领域某型号压阻传感器阶跃响应曲线（激波管标定实验获得）。运用矩阵QR分解方法判定该压阻传感器模型阶次为2。

图9是辨识系统的阶跃响应和激波标定响应，从图上看出辨识系统模型阶跃响应曲线与标定实验数据曲线比较一致。

图8 某压阻传感器阶跃响应曲线

图9 原始系统和辨识系统阶跃响应曲线

图10为补偿前后传感器幅频特性曲线，分析补偿前系统幅频特性曲线可知，该系统幅值误差在±2%范围内的工作频带约为50 kHz，不能有效覆盖爆炸冲击波信号带宽（约为70 kHz），因此需要进行补偿，即拓宽工作频带。分析补偿后系统幅频特性曲线可知，系统幅值误差在±2%范围内的工作频带约为180 kHz，完全覆盖了冲击波信号带宽。

图11为补偿前后传感器对阶跃信号响应曲线，从图中可以看出补偿后系统阶跃响应的超调量降幅明显，响应时间也明显缩短。

图10 补偿前后传感器系统幅频特性

图11 补偿前后传感器系统阶跃响应

7 结论

矩阵QR分解方法用以判定传感器模型阶次有着简单、准确和实用等优点。传感器模型结构确定之后，用改进的最小二乘算法优化传感器模型参数，能够寻求一组实用参数，且该算法易收敛，建模精度高。基于零极点理论的传感器动态补偿方法对传感器动态性能改善显著，且方法简便。

［1］吴建.传感器动态补偿滤波器及其硬件实现方式研究［D］.太原：中北大学，2012.

［2］黄晓敏.传感器动态特性补偿方法研究及其FPGA实现［D］.太原：中北大学，2015.

［3］黄俊钦，季平.动态补偿数字滤波器的设计方法［J］.仪器仪表学报，1987，8（3）：45-46.

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［7］俞阿龙.基于遗传神经网络的加速度传感器动态建模方法［J］.仪器仪表学报，2006，27（3）：315-318.

［8］轩青春，轩志伟，陈保立.基于最小二乘与粒子群算法的压力传感器动态补偿方法［J］.传感技术学报，2014，27（10）：1363-1366.

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［12］杨文杰，张志杰，赵晨阳，等.基于零极点配置理论的压力传感器动态特性补偿［J］.科学技术与工程，2016，16（2），78-82.

杨文杰（1990-），男，河南驻马店人，硕士研究生，主要从事动态测试系统搭建，信号获取，存储与处理以及智能仪器开发，1210921680@qq.com；

张志杰（1965-），男，山西五台人。现任中北大学教授、博导，仪器科学与技术学科带头人之一，主要从事动态测试理论、技术与应用，信号处理理论与技术的研究。教育部仪器科学教学指导委员会协作委员，zhangzhijie@nuc.edu.cn。

The Application of QR Decomposition and GLS Improved Algorithm in Improving the Dynamic Performance of Pressure Sensor

YANG Wenjie，ZHANG Zhijie*，LI Yanfeng，MU Xinrong
（Key Laboratory for Instrumentation Science&Dynamic Measurement，Ministry of Education，North University of China，Taiyuan 030051，China）

Combining rectangular matrix orthogonal（QR）decomposition with improved least squares（GLS）algo⁃rithm，the dynamic mathematical model of the sensor can be established and the dynamic performance of the sensor can be improved by utilizing zero-pole assignment theory.Firstly，using the dynamic calibration test data of the pressure sensor to construct a rectangular data matrix，the model order of sensor was determined by using the method of matrix orthogonal decomposition.Secondly，the mathematical model of the sensor was established by using improved least squares algorithm.Lastly，the performance of the sensor was improved by using the zero-pole assignment theory to reconfigure the zero-pole of the model.The experimental results show that the method is simple and the modeling precision is high.A mathematical model which reflecting the dynamic perfor⁃mance of the sensor can be obtained accurately and the dynamic performance of the sensor can be improved sig⁃nificantly.

pressure sensor；dynamic modeling；orthogonal decomposition；least square；zero-pole

TP274

A

1004-1699（2016）11-1698-07

EEACC：7230 10.3969/j.issn.1004-1699.2016.11.012

2016-05-11 修改日期：2016-07-02