高观点下初等数学的教学问题

2016-12-14苗震

成长·读写月刊 2016年11期

苗震

【摘要】本文研究的内容是高观点下初等数学的教育问题，研究的背景是基于我国初等数学的学习与高等数学的学习存在着或多或少的脱节性，包括我在内的很多师范专业的学生并不能从初高中时期的全面发展，过渡到大学中的专攻一科，并且他们对于大学在学期间学习高等数学存在着些许质疑，大多数人认为学习高等数学对于他们未来的工作，即中小学老师，帮助是不太大的。本文从高观点下来看初等数学教学问题。

【关键词】初等数学教育；高等数学；数学思想；数学方法

一、绪论

北京师范大学、华东师范大学、首都师范大学等等高等院校的数学教育专业，都是以培养优秀的中小学数学教师为目标，而这个专业的学生毕业之后也大都从事的是初等数学教育工作。大学在学期间，一个不争的事实是，学生们大都学习的是高等数学，他们觉得，像“中学数学解题研究”、“中学数学教材教法（微格教学）”、“教育心理学”这类直接可以派上“用武之地”的课程几乎在一个学年就可以学习完毕，学习其他高等数学的东西和未来从事的工作是“不对口”的。

菲利普斯·克莱因《高观点下的初等数学》中明确表示，教师应当具备较高的数学观点。其理由是，观点越高，事物就显得越清楚[1]。而近年来，随着新课程的全面实施和全国命题制度的全面改革，越来越多的高等数学思想在初等数学领域进行了潜移默化的渗透。这足以证明，我们正在努力解决初高等数学的脱节性问题。

二、高等数学思想在中学数学中的渗透

（一）教材与考试中高等数学思想的渗透

（三）二次型思想的渗透

最后我们再来单独说一下利用高等代数中的知识点可以解决的中学问题，顺便来看一下高等代数中哪些在思想在中学数学中哪些知识点里会有体现。

三、高观点下的初等数学教学问题

（一）运算律的教学问题

在运算的基本定律方面，系统地讲解结合律、交换律、分配律这些运算律是不在中学的考虑之列的。怪不得我们真真正正接触高等代数的向量空间的定义、抽象代数中群、环、域的定义时，我们觉得很别扭，毕竟我们高等数学中学习的那些概念都是这个集合中的元素满足不止一两个定律就可以的，比如Abel群，不仅要满足集合中元素的封闭性、结合律、幺元、逆元还要满足交换律，而连续记住那一大堆什么什么律是有些难度的。如何避免我们的学生在接触高等数学的时候遇到的这些问题呢？很简单，在学生对数的运算有了具体的了解并已经掌握牢固之后，准备过渡到字母符号运算的时候，我们当老师的就应该借机会叙述一下，至少应该叙述一下结合律、交换律、分配律，并举出许多明显的数字例子来加以说明[1]。这时候我主张，每年大学的教授可以来到中学做一次从这些运算律引入，深入到群论等的讲座，至少应该让大家耳濡目染一下。这样一来，事半功倍。

（二）纯粹数学与应用数学

在说到我们下一个算术的问题——数的扩张之前。我想先谈一谈关于数学的逻辑和直觉之间的关系、纯数学和应用数学之间的关系。

其实数学的发展像是一棵大树，根扎的越深，枝叶的生长速度也就越快。克莱因说，我们今天可能当成最终原则来叙述的东西过了一段时间也必然会被超越[1]。这就与马克思主义哲学中的发展问题扯到了一起。数学的教育水平与受教育水平也是如此。我非常欣赏克莱因先生的这一段描述或比喻“把应用拒之于数学门外，就等于只从骨架中找活生生动物的活力，而不是考虑肌肉、神经和组织，不考虑动物的本能，宗旨就是不考虑动物的生命本身”[1]。

四、再谈高观点下的初等数学

（一）负数的引入

先说一下负数，中学里面负数的引入是极为困难的一步，因为学生们已经习惯于直观形式，而现在他们会觉得运算的符号和结果与以前不尽相同了。我们在上《中学生教材教法（微格教学）》时，小组里面有一位同学试讲过两次负数的引入问题，效果并不算好，而课本上的负数的定义写道“正数前面加个‘负号就是负数”。我在这里告诉大家，负数及负数的运算在发展中是缓慢的有机的发展，是与事物广泛的打交道的结果，是字母记号的运算将负数交给了人，而过了很长一段时间，人们才有了理性的，知道我们已经发现了一个与严格的逻辑相容的法则，这就是我前面所提到的逻辑和直觉的关系。

（二）有理数和无理数的引入

再来谈一下有理数和无理数。中学里面引入有理数的概念是学习了分数与负数之后，具体指的是整数和分数，而无理数则是10进制下的无限不循环小数。具体提到高等数学与初等数学的融合，我希望中学老师能够在引入有理数概念的时候，着重讲一下有理数点在坐标轴是处处稠密的思想。就是任意一个区间，都有无数多个有理数的点，简单的讲法就是数形结合，画一个坐标轴，告诉学生们，每一个空当之间都还有无数多个有理数，这对于我们大学中的高等数学学习是推波助澜的一笔。而无理数在中学顶多也就是那几个例子，之类的，想一想我们接触无理数时候的心理吧！我们当时大多都是不愿意去相信这个世界上存在无限不循环小数的，所以我认为对于普通程度的学生，让他们知道这个世界上存在无理数就够了，顶多再给他们举一些个例子，让他们确信，仅此而已。

我们知道虚数同负数一样，刚刚开始进入算术计算并为得到所有人的赞同，它只是运算需要被证明了它有“用”，莱布尼兹曾说：“虚数是圣灵的完美而奇妙的避难所，也差不多是介于存在和不存在之前的两栖类。”这就是超越性逐渐被人们所认知的过程，就像初等数学教学，学生们对于一个新的概念总是喜欢问为什么会有它，它是怎么被发现之类的问题，然而当他们在练习题或是实际生活中用到了这个概念或者知识，他们就会发现这个概念不得不提及，“迫使需要”这四个字就是不言而喻的了。

五、高观点下初等数学的教学进程问题

拘泥于课本，没有联系高等数学的内容来进行初等数学教育，会造成许多不良后果，我本人就是一个例子，下面就我本人我案例，谈一谈初高等数学的教育进程。

我大一的数学学习充满了艰辛，到我真正“开窍”，是到了三个学期以后。在思考自己本身的不足以外，还思考了很多关于出高等数学的教育进程问题，我认为如果我们换一种教育进程，从而可以避免要“开窍”的这个过程，让初等数学学习者自然而然的进入高等数学的研究，会不会有更好的效果。

从最简单的函数、多项式以及以正比例函数、反比例函数、二次函数为代表的一元有理函数的图象表示开始，由此得出的曲线与坐标轴的交点就是对应多项式的零点等知识；

在纯数学的积分过程中，其结果往往不能用有理函数表示，往往会产生一些新的函数，所以在这个时候从逻辑推逻辑就显得十分自然，引入新的函数也就是前后统一的过程。

通过一个统一的原理，即Taylor定理，研究函数的无穷幂级数展开式；

最后这一步是上一步骤的推进，得出柯西—黎曼复变解析函数论。

这个进程就把重点放在了各个局部领域的结合与联系上，使一切变得自然而然，让直观和逻辑紧密相连，如果教育部真的能够利用这种方法进行初等数学尤其是中学数学的教育，那么初高等数学的脱节性问题能够解决，学生们不会再需要那么长的时间适应大学的数学学习生活，作为初等教育工作者的我们也会深感欣慰。

参考文献：

[1]菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学[M].复旦大学出版社，2013.

[2]单和平.高等数学思想在初等数学中的渗透[J].高职教育，2012（11）：225-226.

[3]刘先忠.初等数学与高等数学的融合[J].荆州师专学报（自然科学版），1994，17（5）：21-22.