数学模型在金融市场的应用

2016-12-10常琪卿

财会学习 2016年22期

关键词：方差数学模型金融市场

文/常琪卿

数学模型在金融市场的应用

文/常琪卿

数学模型在金融领域中的应用广泛，利用数学模型可以清晰的分辨出市场之间的关系以及金融市场的内在逻辑。本文将概括性介绍一些数学模型及其在金融市场中的应用。

金融市场；数学模型；证券投资组合模型；CAPM模型

随着数学水平和计算机技术的发展，数学模型越来越多的应用在了经济领域，特别是金融领域。而在金融领域中，金融市场上的交易与投资无疑是最为核心也最为复杂的部分。如何在浩如烟海的投资标的中，根据投资人的需要将不同的资金流匹配到不同的产品上去，既需要熟悉金融市场上的不同产品，更需要在这基础上对其风险与收益的特征进行识别，对不同的产品进行恰当的组合，从而使资金在可接受的风险水平下获得最大的回报。将数学模型应用于金融市场上，有助表达金融市场系统的本质，做出恰当的投资决策。

一、金融市场概述

(一)什么是金融市场

金融市场即广义上进行资金流通的市场，在这个市场上，活跃着资金的供给方，资金的需求方，金融中介，监管者等四类机构。资金的供给方和需求方在政府或其他机构的监管下，通过中介方提供的服务，完成对资金供需的匹配，实现资金资源的最大化利用。

(二)金融市场的分类

金融市场按照交易方式的不同，可以分为一级市场和二级市场，如，上市公司首次公开发行股票，属于一级市场；而在证券交易所中，该股票的流通交易则属于二级市场的交易。按照金融产品的不同，金融市场还可以分为股票市场，债券市场，期货市场，外汇市场，保险市场等。而其中，投资与理财，股票和基金，借贷及保险，则是和我们广大人民群众密切联系在一起的。

二、数学模型概述

数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型。数学模型对复杂的实际问题进行抽象和简化，从而用数学的语言做出表述和求解。数学模型既可以是简单的，如，在经济学中，用供给曲线和需求曲线描述产品市场，在生物学中，用J字型曲线描述种群数量随时间的变化，也可以是复杂的，如用神经网络算法解决最优化为题。在现代金融分析中，通过数学模型进行定量和定性的分析，以找到金融活动中潜在的规律，并用以指导实践，已成为越来越普遍的现象和行之有效的技术手段。

三、数学模型在金融领域的应用举例

(一)证券投资组合模型

1952年，美国经济学家马考维茨首次提出投资组合理论，并进行了系统、深入和卓有成效的研究，他因此获得了诺贝尔经济学奖。证券投资组合理论首先考察单支证券的收益和风险，从概率论的角度，将证券的价格视为随机变量，以该随机变量的数学期望刻画证券收益，而以其方差，即波动性度量指标，刻画风险。对于由多种具有不同收益风险的证券组成的投资组合，该模型认为投资组合的收益是这些证券收益的加权平均，但是其风险需要综合考虑单支证券的风险以及各自之间的相关性。通过构建这样的模型，可以看出，投资组合能降低风险。

1.资产组合的预期收益模型

把投资组合中的证券价格作为随机变量，用其均值表示收益。

2.资产组合的方差模型

利用方差来表示各种收益之间的关系

方差刻画了投资组合的风险，方差越大，说明投资组合的实际收益距离预期收益的波动性越大，投资人面临的风险也就越大。该模型的优点在于，可以利用数学模型清晰直观的看出各种证券风险与收益之间的关系，同时也说明，不同资产的收益率之间的相关性越小，组合整体的风险也就越低，这也就是我们常说的“不要把鸡蛋放在同一个篮子里”。但这只是一个大致的关系，具体的投资还需要具体分析。该模型通过简单直观地均值—方差表述，科学的阐释了现代金融中分散化投资的理念。

(二)资本资产定价模型(CAPM模型)

数学模型在金融市场应用的另一大主要成果是资本资产定价模型，资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model 简称CAPM)，是由威廉•夏普、约翰•林特纳一起创造发展的，旨在研究证券的市场价格是如何确定的。该模型将市场上所有产品按照其市值构建的投资组合成为市场组合，并以市场组合的风险为基准，刻画了任一资产(或任一投资组合)的价格与其风险之间的关系。

CAPM模型可用如下公式来表达：

其中：Eri是资产i的预期回报率；rf是无风险利率；βim称为Beta系数，即资产i的系统性风险，由资产组合与市场组合的相关性决定；Erm是市场的预期市场回报率；Erm-rf是市场风险溢价(market risk premium)，即预期市场回报率与无风险回报率之差。

通过上式可以看出，任一投资组合的相对于无风险收益的溢价都与市场组合相对于无风险收益的溢价成正比，比例系数即为该资产与资产与市场组合的相关性。相关性越大，则其风险溢价与市场组合的风险溢价越接近。这个简单的线性模型清楚直观的说明了收益和风险之间的关系，对以后的资本资产定价都有重要意义。它提供了一个可以衡量风险大小的模型，来帮助投资者决定判断风险与收益的相对大小。此模型也暗合了马克思主义经典政治经济学，资产价格围绕资产价值波动，并具体细化为相关性。