多元函数的极值的判别准则

郭计敏

鹤壁职业技术学院 河南鹤壁 458030

多元函数的极值的判别准则

郭计敏

鹤壁职业技术学院 河南鹤壁 458030

多元函数极值判别是高等数学研究中的非常重要的内容，对研究活动开展和思维能力培养具有重要作用。本文结合高等数学研究的具体内容，就多元函数极值判别准则的意义、实例、需要注意的问题进行探讨分析，提出相应的对策，希望能为研究工作顺利开展和研究活动有效进行提供启示与借鉴。

多元函数；极值；判别准则

一、引言

整个高等数学《数学分析》课程中，多元函数极值判别是其中非常重要的内容。不管是理论研究，还是实践应用，多元函数极值判别准则都具有重要作用，也受到研究工作者和研究人员的重视。本文将结合工程实例，就多元函数极值判别准则进行探讨分析，并通过具体实例进行介绍，希望能为研究工作的有效开展提供借鉴。

二、多元函数极值判别准则的意义

多元函数极值问题一直是高等数学研究的重要内容，也吸引众多学者的注意。其中，比较有代表性的学者如朱张兴、王大胃、张静、荆庆林等，这些学者从不同的角度入手，对多元函数极值判别准则进行研究，并提出相应对策，对研究活动有效开展具有积极作用。通常来说，函数极值分为普通极值问题和条件极值问题。对于不同类型的极值问题，应该有针对性的采取对策，掌握有效的解题方法，为研究活动顺利开展创造条件。普通极值问题常称为无条件极值问题，但不管怎样，有条件和无条件极值问题，都是相辅相成的，对研究活动开展具有积极作用。一般来说，在研究过程中，解决好无条件极值问题，有助于解决条件极值问题，同时，解决好条件极值问题，对解决无条件极值问题具有促进作用。因而在研究过程中，必须清楚明了二者的联系与区别，然后采取有效的研究方法，对二者进行更为深入合理的研究。同时在研究过程中，大部分函数是隐性给出的，应该结合多元函数的具体内容，掌握所给出的条件，深刻领悟其中的隐性条件，然后应用极值判别准则，对极值问题进行有效研究和判断。进而深化对极值问题的认识，为更好开展研究工作提供便利。

三、多元函数极值判别准则的实例

为深化对多元函数极值判别准则的认识，提高研究工作者的思想认识，让研究人员有效掌握判别准则，为科研活动顺利开展提供便利，下面将结合实例对多元函数极值的判别准则进行探讨分析。

（一）

定理1

设二元函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内具有三阶连续偏导数，且P0是稳定点，又

则当

时，f(x,y)在点P0(x0,y0)不取极值。

证明：

由给出的条件及Taylor展开公式，就有：

然后分三种情况讨论，当

时，f(x,y)在点P0(x0,y0)均不取极值

同理，当

时，f(x,y)在点P0(x0,y0)均不取极值

综上所述，当

时，f(x,y)在点P0(x0,y0)不取极值，定理证明完毕。

实例1

讨论：

f(x,y)=2x3-3xy3+5y3在点（0,0)是否取极值？

解：

通过计算分析得知，f(x,y)在点(0,0)的一阶、二阶偏导数都为0，由此可以得知，判别极值的充分条件失效。但是，

二元函数f(x,y)=2x3-3xy2+5y3在点（0,0)不取极值。

（二）

定理2

设f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内具有四阶连续偏导数，且P0是驻点。又对任意的h,k使得

则有，当

当det[S(P0)]小于0时，f(x,y)在点P0(x0,y0)不能取得极值

当det[S(P0)]等于0时，f(x,y)在点P0(x0,y0)是否取得极值

证明：

由给出的条件及Taylor公式得知：

当det[S(P0)]小于0时，f(x,y)在点P0(x0,y0)不能取得极值

当det[S(P0)]等于0时，不能肯定f(x,y)在点P0(x0,y0)是否取得极值。证明完毕。

实例2

讨论函数

在（0,0）是否取极值？

解：

计算得知，f(x,y)在（0,0）点的一至三阶偏导数全为0，由定理2得知，

四、多元函数极值判别准则应用需要注意的问题

在研究和实践应用中，多元函数的极值问题具有重要作用。在这样的背景下，加强研究工作，掌握多元函数的极值判断准则是不可忽视的。本文介绍了多元函数极值判别准则的意义，结合具体实例进行研究和分析，有助于深化对极值判别准则的认识，加深研究者的印象。但需要注意的是，多元函数极值判别准则研究是比较难的内容，应该做好审题工作，把握题目给出的隐性条件，对题目中给出的条件有深刻和全面的认识。另外还要善于应用创造性思维，敢于突破和创新，对多元函数极值判别准则有更为全面的认识，为研究工作顺利开展创造便利。

五、结束语

总之，在多元函数极值判别中，应该认识其重要作用，掌握应用准则。同时还要善于总结经验，发挥创造性思维，激发研究人员的兴趣和热情。作为研究人员，应该重视判别准则的引导和应用，合理将定理应用到研究活动当中，并对相关内容进行深入分析，并解答研究中遇到的疑惑。从而让研究人员更好融入研究活动，有效掌握多元函数极值判别准则，为研究活动顺利进行和研究人员的工作效率提升创造条件。

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[3]王敏芝.关于多元函数的极值的判别准则[J].浙江理工大学学报,2007(5),592-596

[4]华东师范大学数学系.数学分析:上册.下册[M](第4版),北京:高等教育出版社,2011