小学数学运用几何直观教学策略探究

陈炳建

（闽侯县青口学区，福建 闽侯 350119）

小学数学运用几何直观教学策略探究

陈炳建

（闽侯县青口学区，福建 闽侯 350119）

文章试图通过正确认识几何直观的内涵与功能，提出借助几何直观理解“数”的概念、分析数量关系、发现数学规律、解决实际问题等四方面策略来阐述如何科学运用几何直观。

小学数学；几何直观；数形结合；意义；策略

小学阶段的几何直观是儿童大脑对客观事物的直观感知引发想象的心理活动过程。主要借助熟悉的几何图形本质特征来理解数与数量关系，其实也就是借助图形说“事”。几何直观贯穿在整个数学学习过程，对数学的学习起着联系知识脉络、理解数量关系、提供解答方法、推动数学思考的作用。通过几何直观可加深对数学本质的理解。然而，尽管“几何直观”的优越性与重要性已被广大一线教师所接受，但在具体操作中却存在诸多偏差。主要表现在：一是理解泛化。将所有直观教学全归结为几何直观，没有真正理解几何直观的本真内涵。即只重“直观”，轻视“几何”。二是操作表面化。认为图形越直观越好，而在关键问题上没有利用图形帮助学生对其本质进行抽象。即只是直观，忘了抽象。三是功能片面化。教学中目标只停留在片面解读教材中几何直观图，单纯利用图形描述问题，忽略了图形分析解决问题的功能。即只为解读，忽视分析。为此，随着课程改革向理性化推进，笔者试图从培养数学核心素养出发，辨析几何直观及其相关概念，反思应用几何直观教学的实践体会，挖掘几何直观能力培养的教育价值，以期抛砖引玉。

一、厘清几何直观概念本质，正确认识几何直观数学意义

数学家认为直观是对概念、证明的直接把握为起点；哲学家认为直观是关注事物本质为起点，心理学家认为直观是从关注感觉为起点。小学阶段的直观是指通过学生对客观事物的直接接触而获得的感性认识，即学生在生活实践中对客观事物的直接的、生动的、具体的反映。如对颜色的辨认，对声音的判断、对图形的感知、对文字的描绘等可以直接刺激感官诱发思维的东西都可以构成直观。直观具有多样性，相同的事物可以用不同的方法记录、表示与刻画。直观具有相对性，有不同的层面的表现。当以语言解释一个词有困难时，我们用具体的动作演示让人更易理解；当描摹眼前的景色有困难时我们用拍照片方式让人直接感知；抽象的道理难以领悟，我们通过讲故事让人明白；复杂的逻辑关系难以梳理，我们画了一个关系图便一目了然；复杂的数量关系难以一眼看出，我们通过图形来表征；所有这些都是直观。由此看来并非所有的直观都可冠以“几何直观”帽子。

《义务教育数学课程标准（2011版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”［1］

这段话涵盖三层意思，第一层意思是对几何直观的主要表现形式作了精要说明；第二层意思概述几何直观的优势；第三层意思进一步强调几何直观的功能和作用。与其他核心词类似，回避了几何直观的明确界定。可以说，这段话是目前理解几何直观的最重要依据。

课标的阐述对几何直观的理解覆盖了三个层面。其一对几何直观的两种表现作出了精炼的概述，几何直观的描述和分析的过程就是凸显数学本质的过程。其二对几何直观的学习策咯也作出了解释，它通过主要的线索将数学问题中内在的数学关系、逻辑关系清晰的展示出来，在学习数学过程中感受深入浅出的境界。其三对几何直观的功能和作用作出了进一步的强调，几何直观是目前数学思考的重要拐杖更是后续学习发展的必备素养，它是一种思维习惯更是享用一生的智慧财富。通过认真研读课标内涵，领悟课标精神实质，笔者对几何直观的现实意义有了更加具体的认识。［2］

首先，小学阶段的几何直观不仅是学习的工具更是素养的培养。作为学习工具主要体现在利用图形帮助理解关系，帮助分析解决问题；作为素养培养就是通过工具的使用培养能力、品质与习惯。与“图形与几何”中发展“空间观念”截然不同。再则，虽然直观缘于直接观感，但直接未必就是直观，它受到儿童的思维经验和认知水平高低的制约。由于小学阶段学生思维的形象性特点与数学学科思维的抽象性特点是学习的一大矛盾，几何直观教学十分必要。此外，几何直观是一个长期、动态的变化过程。它经历了整个学习的过程，不同阶段所收获的几何直观能力是不同的。从2011版课标对几何直观的定位呈现出渐进的轨迹来看，第一阶段初步感知空间观念模型；第二阶段建立空间观念，感受空间模型的作用；第三阶段发展空间观念，应用空间模型解决问题。基于以上观点，针对当前教学现状，笔者开展了一系列探索性实践，旨在寻求有效促进学生数学能力发展的途径。

二、优化几何直观应用策略，有效提升几何直观数学素养

（一）借助几何直观理解“数”的概念

“数”的概念是数学知识的重要组成部分，而“数”本身抽象枯燥的特点影响了学习效果，借助几何直观可以让“数”变得形象、趣味。在小学阶段“数的认识”主要是“数”借助于“形”帮助理解，也就是数形结合。合理用好数形结合的几何直观教学策略不仅可以帮助我们更好了解两者之间的本质关联，更能够简洁完成“数”与“形”之间的相互转化，便于促进对数学的理解、数学问题的解决。数形结合作为小学数学教学中一种重要的思想方法，课标针在不同的学段提出了不同的目标要求。

第一学段几何直观主要任务是初步感知空间观念的模型，夯实几何直观基础。“数”的认识教学，必须创设多个具体情境让学生经历实物表征——图形表征——符号表征的过程。通过摆小棒、圆片，画图形、数线，拨计数器等活动帮助学生从具体的实物过渡到抽象的数字。在动手操作中建立起与数的一一对应关系，衍生到会看图理解数量的多少进而发展到会用数表示数量的大小。

第二学段几何直观主要任务发展为初步形成空间观念，感受几何直观的作用。这个阶段数线随着知识的积累和发展逐渐演变就成了数轴。在认识分数的时候就借助了数轴来理解分数、分数单位、以及这些分数单位的变化情况。0刻度到1刻度可以表示“单位1”，在这“单位1”内平均分后两个刻度之间的量可以用分数来表示，轴上每一个刻度都可以表示一个分数单位。在认识负数时候也借助了数轴来理解正负数的内涵，直观了解正负数的变化规律。

案例中借助鲜明的“形”去理解凝练的“数”，“数”原始概念在“形”的帮助下显得清晰、明了。通过图和线段理解“数”有效体现了几何直观的作用。

（二）借助几何直观理解数量关系

学生通过几何直观启迪思路，将思维集中在借助图形表达思路，把复杂的数学问题形象化，从中可以明晰数量关系。

1.借助操作，感知数量关系

要让学生真正领悟几何直观的意义与操作方法，就必须鼓励学生充分参与活动，教师协助培养他们经历从摆一摆发展到画一画解决的过程。数学具体的操作活动和背后的数学知识密切联系在一起，这个过程教学组织者要重在引导学生将自己对问题的理解通过几何直观展示出来，敢于将对数学问题的理解用语言表述出来。因此，要善于把握和利用好操作活动，借助活动充分感知，借助活动提炼本质，借助活动推进思维。

如教学“三角形的两边之和大于第三边”：

A、取出3、4、5、7厘米长的任意3根小棒看看能摆出哪些三角形，请动手摆一摆（独立探究，动手感知）。

B、汇报验证，并将能摆出和不能摆出三角形的三条边数据进行分类。

C、小组讨论，发现规律（三角形的两边之和大于第三边）。

资源给出的是抽象的“数”，教师则将“数”转化成线段让学生去摆，就是这样的直观操作活动引发了学生的思考：原来认识的三角形每条边都是可测量的，而今天这些可测量的线段却不能完全可以拼成三角形究竟问题出在哪呢？这个质疑的过程就是新旧知识的矛盾冲突。借助矛盾引导学生进行分类观察，质疑讨论从而发现了三角形两边之和必须要大于第三边。在动手操作中 学生发现了问题尝试着解决问题，就是这样的直观操作启迪了学生的思维，拓宽了学生的思路，不仅找到了规律更是理解了规律的内涵。

（三）借助几何直观寻找发现规律

运用几何直观寻求规律是数学学习的重要方式。其基本流程是：将复杂的现实情境运用几何直观使之简单，通过几何图形将情境表达出来，借助几何直观进行分析思考，进而发现规律模型。应用几何直观寻找规律策略，可以实现数学关系由繁琐的叙述向简洁的表达完美过渡，纷乱的思绪向规律地思考迈进，体现数学简约一规律的魅力。

例如新世纪版三上“搭配中的学问”

【数学活动1】

用A或B分别表示上装，用①、②、③表示3件下装，写出所有答案。

怎样搭配才能做到不重不漏？（先用A来搭配下装，有3种方法；再用B来搭配下装，也有3种方法，所以共有6种不同的搭配方法）

小结：分类，能确保搭配不重不漏。

【数学活动2】从学校经过少年宫到动物园，一共有几路可以走。

（画交叉对应的图表示从学校到动物园的所有路线）

1.展示学生作品。

2.反思：通过上述两个生活中的搭配活动，你能概括 一下什么是搭配吗？（从两种不同的事物中各取出一个构成所需事物的方法。）

3.小结感悟：搭配的本质是两种事物之间的交叉对应。

交叉对应可以转换成矩形模式，说明搭配也是乘法的一种现实背景。这一依赖于直观图示的解释，不失为一种个性化的数学形式建构。

（四）借助几何直观解决实际问题

借助几何直观教学，发挥符号与图形的互补优势，为学生理解提供适当的“脚手架”，使之经历几何图形、数学语言、符号表征的合情转化，这是解决实际问题的重要手段。具体做法是选用示意图、线段图、平面图、、集合图等帮助学生弄清题意，分析问题，找到解题的方法。

如分数应用题：畜牧场共饲养牛羊260头，如果羊卖去 ，牛卖去20头，牛羊所剩的头数量一样多，畜牧场饲养羊多少只？

此题如果在“纯数学”领域里分析数量关系十分抽象，解决此类问题学生往往无从下手。然而，一旦引入线段图直观理清其题意，问题便迎刃而解。不但数量关系一目了然，还可避开分数应用题常规解法，创新解题思路。

8小段=260-20=240

又如常见的容斥问题：五年二班上学期期未考试，语文有35人成绩优秀，数学有26人成绩优秀，有9人语数两科均得成绩优秀。五年二班共有多少个同学？

从图上可以很直观的看出9人是重复了的部分，那么全班的人数就是35+26-9=42（人）。如果没用韦恩图直观表示数量关系，很难理顺解题头绪。

由此看来，借助几何直观辨析数学概念、分析数量关系、发现数学规律、解决数学问题具有不可替代的重要作用。几何直观的作用不仅是让儿童确信数学事实，还能启迪儿童获得自己的意义建构，从而促进理解。加强几何直观教学，一要加强空间观念的建立，夯实几何直观的基础。二要加强数形结合的运用。在研究问题时把数和形结合考虑，把问题的数量关系转化为图形性质，或把图形性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。三要正确处理直观感知、直观理解与直观洞察三者之间的关系。“直观感知”是建立空间观念的基础；“直观洞察”是空间观念的发展与升华。两者相辅相成，互为因果。而“直观理解”是架设“直观感知”通往“直观洞察”的桥梁。［3］

总之，几何直观作为解决问题策略的工具它可以直观呈现问题的本质，有助于对数量关系的解读，有助于对数学问题的分析解决；作为素养的提升它能促进在应用的过程中领悟思想，发现方法，使之成为核心发展的能力素养。数学家华罗庚说：“数形本是相依偎，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形缺数时难入微。”用图形说话，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的数学素养。在教学中一方面应该充分发挥几何直观的价值，挖掘教材各领域的资源，优化几何直观教学行为，将不同阶段不同层次达成几何直观教学目标贯穿于学习过程中。另一方面要从小培养学生的几何直观能力，帮助学生直观的理解数学、运用数学，解决更多的数学问题，在实践中逐步建立应用几何直观的自觉意识，积累几何直观的操作经验，成为一生受用的学习方法。

［1］教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社.2012.

［2］曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之四览——几何直观（上）［J］.小学数学教师,2013（10）.

［3］汪国祥．充分发挥数形结合的支架作用”［J］.小学教学（数学版），2012（3）.

G623.5

A

1673-9884（2016）08-0046-04

2016-06-20

福建省教育科学“十二五”规划2015年度一般课题（FJJK20130102122）

陈炳建（1962-），男，福建闽侯人，闽侯县青口学区高级教师，特级教师。