全方位扫描中考几何最值问题

李玉荣（江苏省南京市金陵中学河西分校）

全方位扫描中考几何最值问题

李玉荣（江苏省南京市金陵中学河西分校）

通过全方位扫描几何最值问题，给学生提供思考的平台，让学生尝试解决问题的方法，积累基本的解题经验，感悟转化思想，追求解题教学效益的最大化．

中考评价；几何最值；转化思想

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，评价应以课程目标和课程内容为依据，体现数学课程的基本理念，全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现．遵循这一原则，命题者在设计时匠心独具、精心雕琢，在平凡的数学知识考查中制造形式与手段、背景与情境的“奇巧与新意”，作为一个古老而永恒的话题──最值问题，凸显运动变化中的不变思想，体现数形结合、转化与化归的数学思想，更是受到命题者的青睐，其中具有代表性的是“线段”型最值问题，笔者把它们归纳成几种类型，探究解决最值问题的方法，供读者参考．

一、“一动点+一定点”型

例1（2015年湖北·武汉卷）如图1，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC，EF的中点，直线AG，FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）.

图1

解析：点B为定点，点M为动点，

如图2，连接AD，GD，

图2

则∠ADG=90°-∠GDC=∠CDF.

又因为△ADG与△CDF均为等腰三角形，

所以∠GAD=∠FCD.

所以∠GAD+∠DCM=∠FCD+∠DCM=180°.

从而∠AMC+∠ADC=180°.

于是∠AMC=180°-90°=90°.

取AC的中点P，连接BP，MP，

故选D．

【评析】此题有一定的难度，是通过构造三角形，利用“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，当且仅当三点共线时，第三边取得最小值，这是求“一动点+一定点”型最值问题的一个重要方法．

二、“两动点”型

例2（2015年广东·广州卷）如图3，在四边形ABCD中，∠A=90°，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为_______.

图3

图4

解析：点M，N都是动点，点E，F随之而动，

如图4，连接DN，

因为点E，F分别为DM，MN的中点，

所以当点N与点B重合时DN最大，即EF最大，

故EF长度的最大值为3.

【评析】“两动点”型最值问题，可利用图形条件考虑这条线段与其他线段的关系，一般可通过等量代换转化为“一动点+一定点”型最值，再利用“垂线段最短”求解．

三、“一动点+两定点”型

例3（2015年贵州·安顺卷）如图5，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为______．

图5

解析：点E，F是定点，点P为动点，且点E，F在AC的同侧，求PF+PE的最小值是常见的一个基本图形问题，一般用对称法求解.

如图6，作点F关于AC的对称点F′，则AF′=AF=2.

图6

连接F′E交AC于点P，此时PF+PE的值最小，为F′E.

【评析】“一动点+两定点”型最值问题是典型的最值模型，与教材上的一个基本图形密切相关，一般用对称法求解，此类题是各地中考试卷最常考的最值问题．

故PF+PE的最小值为

四、“两动点+一定点”型

例4（2015年湖北·鄂州卷）如图7，∠AOB＝30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为_______．

图7

解析：点P是定点，而点M，N都是动点，

如图8，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA，OB于点M，N，

图8

则此时△PMN的周长最小.

连接OP1，OP2，

由∠AOB＝30°，知△OP1P2为等边三角形，OP⊥P1P2.

所以P1P2=OP1=OP=6，∠MPO=∠MP1O=60°，∠NPO=∠NP2O=60°，∠MPN=120°.

设P1M=PM=P2N=PN=x，

从而四边形PMON的面积为

【评析】“两动点+一定点”型最值问题难度较大，一般可先将定点关于某条直线的对称点找出来，转化为“三点共线”，或利用“垂线段最短”求解．

五、“两动点+两定点”型

例5（2015年四川·南充卷）已知抛物线y=-x2+ bx+c与x轴交于点A（m－2，0）和B（2m＋1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为点P，对称轴为l：x＝1．

（1）求抛物线解析式．

（2）直线y＝kx＋2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1-x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标．

（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L．若线段OB在x轴上移动，求L取最小值时，点O，B移动后的坐标及L的最小值．

解析：（1）略.

（2）略.

（3）点C，P为定点，点O，B为动点，O（0，0），B（3，0），P（1，4），C（0，3），O，B，P，C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO.

所以要使L最小，只需BP+CO最短.

如图9，将点C向右平移3个单位得到点C′，

图9

则C′（3，3）.

作点P关于x轴对称点P′（1，－4）

连接C′P′与x轴交于点B′，

设C′P′的解析式为y=ax+n，

【评析】“两动点+两定点”型最值问题难度较大，当两动点不在一条直线上时，一般可先作出两定点关于另一条直线的对称点，利用“两点之间，线段最短”求解；而当两个动点在同一条直线上时，需通过平移转化为“一动点+两定点”型问题求解．

六、“三动点”型

例6（2015年江苏·盐城卷）如图10，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=4，∠BAD=60°，且

图10

（1）求∠EPF的大小；

（2）若AP=6，求AE+AF的值；

（3）若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，试直接写出AP长的最大值和最小值．

解析：（1）略.

（2）略.

（3）点E，F，P均为动点，

如图11，作PH⊥AB于点H，

图11

则AP=2PH≤2EP=8，当且仅当点H与点E重合时，等号成立.

故AP长的最大值为8.

又因为∠PAB=30°，

所以∠AEP≥∠PEF=∠PAE.

所以AP≥PE=4，当且仅当点F与点A重合时，等号成立.

故AP长的最小值为4．

【评析】此题是“三动点”型最值问题，其最大值是利用“垂线段最短”求解，而最小值是利用“大角对大边”获得．

波利亚说过，数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题的反思与回顾．各地中考试卷赋予了几何最值新的活力，精品试题层出不穷，有效地考查了学生分析问题和解决问题的能力．解决此类问题，需要用运动与变化的眼光去研究和观察图形，把握运动中的不变量，针对题目特点，合理地利用“垂线段最短”“两点之间，线段最短”等原理和基本图形，将复杂问题转化为简单的常见问题，当然上述类型中的解法不是孤立的，有时一道题几种方法都能奏效，而有时一道题却需要同时用几个方法才能解决．个中滋味，只有悉心体会，在解题中学习解题，才能实现解题的智慧托举．

［1］李玉荣.点击与圆有关的最值问题［J］.中学数学教学，2014（2）：63-66．

［2］李玉荣.一组最值问题“圆”来如此容易［J］.中学数学（初中版），2015（6）：90-91．

2016—08—14

李玉荣（1963—），男，中学高级教师，主要从事数学教学、命题及解题研究.