推陈出新立意高进退有序思想明——2016年广东省广州市中考数学第24题的命题解析与启示

陈家灿（广东省广州市第二中学）

刘永东（广东省广州市天河区教育局教研室）

推陈出新立意高进退有序思想明
——2016年广东省广州市中考数学第24题的命题解析与启示

陈家灿（广东省广州市第二中学）

刘永东（广东省广州市天河区教育局教研室）

2016年广东省广州市中考数学第24题，不仅考查学生发现问题的本质，而且要求学生具备较强的字母抽象运算能力.通过此题的多种解法呈现和命题解析阐述，指出推陈出新的高立意命题，有利于体现初、高中衔接的数学核心素养的培养，进而启示教师需要高度关注和明晰进退有序的数学思想下的教学.

中考数学；立意高；思想明

近几年，广东省广州市中考数学压轴题的命制具备高水平，不仅考查学生发现问题的本质，而且要求学生具备较强的带参数计算的能力，即字母抽象的运算能力.一方面，在知识和方法上很好地区分和筛选出思维能力优秀的学生；另一方面，体现初、高中的衔接，含字母的运算是数学抽象思维训练的基础，而数学抽象、运算能力是普通高中的数学核心素养.下面以2016年广东省广州市中考数学第24题为例，从解法、命题和启示进行阐述，与同行共研.

一、试题：平淡无奇道本质

1.试题呈现

题目：已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴相交于不同的两点A，B.

（1）求m的取值范围.

（2）证明：该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标.

2.试题解析及其典型错解

（1）因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，

所以Δ＞0，且m≠0，

即(1-2m)2-4m(1-3m)=16m2-8m+1=(4m-1)2＞0.

（2）y=mx2+(1-2m)x+1-3m=mx2+x-2mx+1-3m=(x2-2x-3)m+x+1.

因为该抛物线一定经过定点，即与m的值无关，

所以x2-2x-3=0，x1=3，x2=-1.

得点P（3，4）或P（-1，0）.

因为P（-1，0）在x轴上，不符合题意，舍去．

所以点P的坐标为P（3，4）.

得出，把x=3代入解析式，即y=9m+(1-2m)×3+ 1-3m=4，求得点P的坐标为P（3，4）.

②把抛物线解析式写成y=(x+1)(mx-3m+1)，由x-3=0，得x=3.忽略讨论x+1=0的情况.

③理解不到位，直接由题意得mx2-2mx-3m=0.因为m≠0，所以x2-2x-3=0，进而求解.

（3）令y=0，即mx2+(1-2m)x+1-3m=0.

得(x+1)(mx+1-3m)=0.

典型错解：一是缺乏数学思想的解题指引，题目无图，又含参量，不能由点P的坐标想到画图，化归到线段AB的求解，同时也不能对A，B两点的横坐标进行大小比较.主要表现在不加绝对值或加错位置.

此外，在比较两根大小时，未能根据不等式的性质

准确表达一些式子的取值范围，甚至得出错误结果.

二是缺少对变量m的取值范围的论证或单调性描述，并且没有说明不存在最小值的理由.

三是题目没有要求一定要写出面积的表达式，学生直奔最值而去，结果导致各种失误.

3.其他解法思路简析

对于第（1）小题，令y=0，

即mx2+(1-2m)x+1-3m=0，

因为函数为抛物线，所以m≠0.

由于抛物线与x轴有两个交点，所以x1≠x2.

对于第（2）小题，有两种思路，解题核心步骤如下.

思路1：任取两个符合条件的m值，即m1，m2，且m1≠m2，得到两条不同抛物线，

因为m1-m2≠0，得x2-2x-3=0.求出x.

思路2：整理抛物线解析式，得

即(x2-2x-3)m=-x-1+y.①

对于第（3）小题解法有如下几个变化.

③面积的最值可利用m的取值范围和不等式的基本性质变形得出.

④面积的最值可利用画函数的图象由性质（如图1）直接得出.

图1

二、命题：推陈出新立意高

第（1）小题考查二次函数的基本概念（二次项系数不为0）以及函数与方程的转换，一元二次方程根的判别式以及抛物线与x轴交点个数的关系.试题创新点在于考查二次不等式(4m-1)2＞0的解集，其实是考查非负数a2＞0成立的条件，而不是简单的一元一次不等式的解集，是对常规基础知识技能的深度理解.

第（2）小题看似是与定点相关的几何问题，实则是和定值相关的代数问题，考查了转化思想.此题有两类原型：一是方程形如ax=b有无数解的条件是a=0，且b=0，其本质是有理数乘法法则“0乘任何数，结果为0”的延伸渗透；二是由抛物线恒过一定点，得到解析式与m值无关，即由y=(x2-2x-3)m+x+1，得m的系数x2-2x-3=0.在整式乘除运算中可找到原型.例如，多项式(x-m)(x2-x+1)中不含x的项等价于展开式中x项的系数为0.若能透过现象看到本质即能发现问题原型，就能找到解题切入点.此外，命题者还意图考查《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）提出的十个核心概念中的应用和创新意识，以及“基本活动经验”能力的考查.抛物线过定点，实则探索这个点的坐标，可先取m的两个特殊值，找到定点坐标，再证明这个点的存在性和唯一性，即使无法完整证明，但利用特殊性探究定点坐标，对后续解题有举足轻重的作用，因此找不到题目原型的学生依然有探索的空间，这正是此题的巧妙之处.

第（3）小题考查学生处理综合问题的思维能力，具体涉及到含字母系数的一元二次方程的根及其与系数的关系、分式的化简运算、绝对值化简、不等式运用、函数图象与单调性等代数综合知识，包含了较多解题策略的综合运用，有较强的挑战性，不是一般意义的模仿练习就能够达到的，更多需要解题策略的运用，特别是数学思想的灵活应用.当前，全国各地对纯代数类压轴题的考查并不多，但能够如此全面考查学生不同层次的能力，确实少见.

思考方向.第二，对方程ax=b有无数解的条件拓展考查以及对代数式化简的思维延续，着力体现《标准》提出的十个核心概念.第三，是新函数的图象和性质的类比发展研究，不仅体现初中阶段研究函数的方法以及对关注的问题认知的知识技能和过程方法的考查，而且衔接了高中阶段学习新函数的方法和本质.这三点均体现了立意于数学素养培养的高度而出新.

三、启示：进退有序思想明

1．技能要实，阶段渗透

字母表示数，经历了从数到代数、从数感到符号感的跨越.代数式运算包括方程、不等式、函数式、含参数的等式求解等，随着数学内容的深化，对学生的运算能力要求更高，这是影响学生数学成绩的重要因素.数学运算技能的扎实，不仅应在重视基础知识和基本技能的教学中提高运算的准确性、合理性、简捷性、规范性，还应扎实提升含字母的运算能力和思维训练.例如，七年级开始理解数学符号，提高符号运算能力和符号推理能力，从具体情境抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示出来，这种把问题一般化的过程超越了实际问题的具体情境，把认识和推理提到一个更高的水平，这是数学活动和数学思考最本质的部分.由此，尊重认知规律，循序渐进地安排符号感发展的材料，阶段渗透.从七年级的提供实际背景写代数式，并对同一个代数式做不同实际意义的解释开始，学习“数学地”说话.一句话由字、词按一定的语法组成，代数中的“字”可以是某个数或代表数的字母，“词”就是表示某种意义的代数式或某一表达式，“句子”就是关系式.这些句子的语法就是各种符号演算的法则和一些规定，方程、不等式、函数都是一个“句子”，对实际问题用“句子”表达出来，就是“数学化”地解决问题.例如，已知-1＜a＜0，化简条件是一个句子，它可以写为a＞－1，所以a+1＞0，翻译成文字语言是说a+1是个正数.a＜0可翻译成a是个负数，再由有关概念化简即得.绝对值的化简，在不同阶段有着不同的要求，随着学习的深入，学生对它的代数定义和几何意义要有更深的理解，不但能求有理数的绝对值|-3.14|，还要结合实数概念、实数大小比较的知识，理解结合二次根式性质能对a2进行化简，并从中归纳初中学过的三种非负数a2，在理解锐角三角函数性质的基础上，能化简（a为锐角）.这样由一个知识点引出与之相联系的知识，不仅可加深对知识的理解，而且能从中体会知识间的联系.

2．思辨要真，异中求同

增强学生对字母代数问题的理解，需要加强相关联知识模块的联系，在类比中学习思辨，异中求同，同中审异.九年级学习配方法时，可增加设置对比：用配方法求代数式-x2+2x-3的最值，用配方法解方程-x2+2x-3=0，用配方法把二次函数y=-x2+2x-3配成顶点式，让学生在比较中学习，增强知识间的联系，总结出使用配方法的注意事项，紧接着把系数变为参量，增强含参量的运算能力培养.变式教学是异中求同的重要方式.例如，在第（2）小题中，可编写两个变式：一是证明抛物线y=(m+1)x2+x-m与y=x2+ 2mx+2m-1恒经过一个定点，并求出这个点的坐标；二是证明抛物线y=mx2-2mx+1与直线y=-x+3m存在一个交点，这个交点的横坐标不变，并求出这个交点的横坐标.两个变式本质上可整理成同一个方程(x2-2x-3)m=-x-1，若只注意到x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3.则需要把x1=-1，x2=3分别代入计算并排除x2=3.若能抓住问题本质，注意到-x-1=0同时成立，则立刻能确定x=-1.还可再增加两个变式，达到举一反三、触类旁通的思维境界.

变式1：无论m为何值，函数y=m（1-x）+2的图象恒经过一个定点，求出这个定点坐标.

变式2：二次函数y=a（x-m）2+m-1（a≠0）的顶点恒在某条直线上，求这条直线的解析式.

3．思想要明，灵活指引

概而述之，命题对教学导向是很大的，扎实地开展课题学习的学校，学生所形成的解决问题的经验就多，做题便会如鱼得水；反之，则经验不足，学生解题困难重重.因此，在教学过程中，解题能力提升应更多地靠学生的独立尝试、多向探索，体悟解题策略和明晰思想，以发展数学核心素养.

四、结束语

命题思路尽管有规律可循，但试题推陈出新、变幻莫测，学生要具备能力才能玩转数学.所以，教师发展数学核心素养，要跃出经验和常识的层面，知识技能才能做到扎实，思维才能高屋建瓴.另外，还要跃出人所共知的技术边界，学生的数学智慧才能一马平川.也就是说，给学生合适的问题、合适的情境、合适的机会，让学生在需要能力的场合思考、尝试、探索、发掘，从而形成并发展自己的能力.

学生的成功，不在于思考什么，而在于怎样思考.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］王建.超越性思维［M］.上海：复旦大学出版社，2014.

［3］李海东.重视知识之间的联系，突出图形性质的探索过程：人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第24章“圆”介绍［J］.中学数学教学参考（中旬），2014（11）：4-8.

［4］张华.初中数学教育：课程与教学［M］.长沙：湖南师范大学出版社，2010.

2016—08—01

陈家灿（1981—），男，中学一级教师，主要从事初中数学教材、教法和解题研究.