从一道新的格点中考作图题的结构谈起

邹黎明（江苏省无锡市硕放中学）

浦叙德（江苏省无锡市新城中学）

从一道新的格点中考作图题的结构谈起

邹黎明（江苏省无锡市硕放中学）

浦叙德（江苏省无锡市新城中学）

利用格点特征作图在2015年中考试题中是一个亮点，对利用格点特征用无刻度的直尺作图进行了研究，从“品”2015年江苏省常州市一道中考作图题的结构出发，编拟出两道新的另类作图题.

中考命题；格点作图；无刻度的直尺

在2015年中考试题中，利用格点性质作图有多地采用，其与众不同的呈现方式给我们很多启发，这里从“品”2015年江苏省常州市一道格点作图题的结构出发，对于这类题目进行思考，编拟出两道另类作图题.

一、“品”中考试题

例1（2015年江苏省常州市第26题）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（统称“尺规作图”），画出一个正方形与ω的面积相等（以下统称“等积”），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．

（1）阅读填空.

如图1，已知矩形ABCD，延长AD到点E，使DE＝DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．

图1

理由：连接AH，EH．

因为AE为直径，

所以∠AHE＝90°.

所以∠HAE＋∠HEA＝90°．

因为DH⊥AE，

所以∠ADH＝∠EDH＝90°.

所以∠HAD＋∠AHD＝90°.

所以∠AHD＝∠HED.

所以△ADH∽_____________．

即DH2＝AD·DE．

又因为DE＝DC，

所以DH2＝____________，

即正方形DFGH与矩形ABCD等积．

（2）操作实践.

平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．

如图2，试用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．

图2

（3）解决问题.

三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．

如图3，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，试作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．

图3

图4

（4）拓展探究.

n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n－1边形，……，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．

如图4，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，试作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．

解析：（1）△HDE，AD·DC.

（2）如图5所示.作法：①延长DA，过点B，C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F；

图5

②延长AD到点G，使得FG=FC；

③以EG为直径作半圆⊙O；

④延长CF交半圆O于点H；

⑤以HF为一边作出正方形HFIJ，则正方形HFIJ为平行四边形ABCD的等积正方形.

（3）矩形.如图6，作法：①过点A作AD垂直BC于点D；

图6

②作AD的垂直平分线，取AD的中点E；

③过点E作BC平行线，作矩形BCGF，

则S矩形BCGF=S△ABC.

同（2）可以作出其等积正方形.

（4）如图7，作法：①连接BD，过点A作BD∥l；

图7

②延长CD交直线l于点E；

③连接BE，则S四边形ABCD=S△EBC.

同（3）可以作出其等积正方形.

“品”题：这个新颖的题目给我们什么启发呢？从题目的结构进行思考，这是一个两段形式的题目，前面一半是一个性质的研究，后面则是利用性质或者这部分揭示的方法进行模仿作图.这个题目是阅读理解中感悟方法，是图形变换结合的作图题，考查了学生的理解能力、类比思想.

二、从结构上模仿编题

我们在研究猜想过程中，编拟了如下题目.

图8

（2）在（1）的条件下，HF垂直平分EG.求证：四边形EFGH是菱形.

知识应用：

（3）如图9，根据梯形ABCD在格点的特征作出一个菱形EFGH，使得点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上.并且AE∶EB=1∶2（只能用无刻度的直尺）.

图9

解：（1）证明：在△AEM和△BEN中，

因为AD∥BC，

所以EM=GN.

（2）因为ME=GN，FH是EG的垂直平分线，

所以OE=OG.

所以OE+EM=OG+GN.

所以OM=ON.

因为AD∥BC，所以∠M=∠N.

因为∠MOH=∠NOF，

所以△MOH≌△NOF.

所以OH=OF.

因为OE=OG，

所以四边形EFGH是平行四边形.

因为EG⊥FH，

所以四边形EFGH是菱形.

显然这样的菱形有无数个.

（3）这个题目从图形格点特征，从AE∶EB=CG∶GD=1∶2，知道点E，G都是格点，还可以知道EG的中点也是格点.注意EG是一个2×8矩形的对角线，只要将这个矩形绕点O旋转90°，就可以作出EG的垂直平分线FH.如图10所示.

图10

进一步，我们给出一个限定作图问题.

（4）根据梯形ABCD在格点的特征作图，使得点E，G分别在AB，CD上.并且AE∶EB=CG∶GD=4∶5（只能用无刻度的直尺）.

解：（4）如图11，作法：①在BC上取点M，使得CM=4，在AD延长线上取点N，使得DN=5，连接MN交CD于点G；

图11

②在BC上取点K，使得CK=5，在AD延长线上取点I，使得DI=4，连接KI交CD于点L；

③在AD上取点Q，使得DQ=5，在AD上取点P，使得QP=4，连接BP，QK相交于点R，作出直线LR，交AB于点E.所以点E，G作出.

如图12，如果我们连接EG，作出EG的垂直平分线，可以得到菱形EFGH.

图12

【点评】这个题目编拟的初衷是为了证明梯形的内接菱形有无数个.虽然没有完全解决猜想，现从例1的结构得到启发，编拟出一个利用性质作图的题目.这种性质加作图的素材只要我们留意，例如角平分线的有关比例的性质在教材中虽然已经不出现了，但是，我们可以提取这个知识点编拟出如下题目.

例3探索发现：

图13

知识应用：

（2）如图14，△ABC的顶点都是格点，作出∠ABC的平分线BD（用无刻度的直尺）.

图14

解：（1）证明：如图15，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，

图15

因为AD∥CE，

所以AC=AE.

所以∠ACE=∠E.

因为CE∥AD，

所以∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE.

所以∠BAD=∠DAC，

即AD平分∠BAC.

图16

【点评】2015年中考试题中有正方形网格作图的题目，一个新颖的题目或许能够成为今后的关注点，文中思考这种形式的另类作图题，例2、例3的编拟，这个专题或许能够给大家一点帮助.

三、“品”题的视角

“品”题是一种态度，它更加注重题目的结构，品结构就是题目本身价值的理解，数学题的价值在“品”中才能发现，是数学生命力的表现，我们数学呈现的一些思想和方法，或许不经意地在某些题目中若隐若现，往前一步海阔天高，看题说话，是一个人数学品质的聚焦.例1让我们体会模仿的形式，另外我们从题目中正方形网格这个载体，联系到无刻度尺作图，这种作图少了圆规，多了利用性质作图.这些赋予格点和平行线活力的作图问题使得几何更具魅力，应该关注几何的创新资源，把握问题的本质，编拟出符合《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求的数学问题.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］北京师范大学出版社，教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］邹黎明，顾泉洪.中考复习例说无刻度尺作图［J］.中学生数学（初中），2015（6）：43-44.

［4］王华.一道题的网络征解与研讨［J］.中学数学教学参考（中旬），2014（10）：60-62.

［5］浦叙德.浅谈数学课堂教学的生成性追问及时机［J］.中国数学教育（初中版），2011（5）：1-4.

2016—08—28

邹黎明（1964—），男，中学高级教师，主要从事初等数学中的几何不等式、中考命题研究.