“特殊三角形”中考复习课例题教学的优化设计

沈晓生（福建省诏安县怀恩中学）

“特殊三角形”中考复习课例题教学的优化设计

沈晓生（福建省诏安县怀恩中学）

中考复习课例题的优化配置，是提高复习课教学效益的重要环节.好的例题，能促进学生系统的再认识复习内容，领悟知识的综合运用、解题的思维方法和一般规律，更好地培养学生的解题能力.通过设计5道例题，使学生对特殊三角形的知识内容能有整体的认识，突破学习的易错点，使解决问题的能力得到提高和拓展，从而达到中考基础性复习的效益.

特殊三角形；中考复习；例题设计

由于新授课与复习课的时间间隔较长，学生对“特殊三角形”的知识内容遗忘较多，在问题解答过程中对于相关的概念、定理的记忆提取存在模糊不全等现象较为突出，系统掌握本部分知识和对知识之间的融会贯通则表现更弱，导致了学生对于“特殊三角形”的应用存在诸多问题，尤其是涉及分类讨论的问题时出错率较高.因此，必须通过典型例题优化基础复习，进一步提升学生对“特殊三角形”的相关知识的认识，提高灵活应用知识进行分析、解决问题的能力.

一、理解并掌握性质与判定，会进行有关的证明和计算

“特殊三角形”部分的中考第一轮复习教学中，应把熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质与判定进行有关的证明和计算作为复习的重点，务必精心设置考查基础知识和基本技能的典型例题，引导学生参与解题活动，强化对有关性质、判定的理解应用.

例1（1）如图1，在△ABC中，点D在BC上，AB= AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（ ）.

图1

（A）30°（B）40°（C）45°（D）60°（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是______．

图2

（3）如图3，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=________.

图3

解：（1）因为在△ABD中，AB=AD，

所以∠B=∠ADB=80°.

因为AD=CD，

故选B．

（2）因为在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

所以BD=CD.

因为AB=6，CD=4，

所以△ABC的周长=6＋4＋4＋6=20．

故填20.

（3）因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°.

因为CG=CD，所以∠CDG=30°.

因为DF=DE，所以∠E=15°．

故填15°.

【设计意图】（1）在师生共同完成例题的解题教学中，通过观察判断及简单的计算，解决等腰三角形的相关计算问题，促进学生进一步理解等腰三角形的“等边对等角”“三线合一”的性质，以及等边三角形的性质在计算中的应用.其中，第（3）小题还可以拓展为规律问题探究.

（2）作为本部分基础复习的第一道例题，应重点设置对基础知识和基本技能进行考查的问题，主要是涵盖等腰三角形、等边三角形的定义和性质的基本应用，题目难度要适当降低，让学生有基本的活动经验，同时也让学生感受其中蕴涵的转化思想及特殊与一般的思想.通过这样的复习使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观各方面都得到提升，进而优化复习课的效益.

例2（1）如果直角三角形中的一个锐角等于50°，那么另一个锐角的度数是（ ）.

（A）130°（B）90°（C）40°（D）30°

（2）如图4，钢绳自下而上缠绕圆形柱子五周恰好到达顶端．若柱子高20米，柱子底面周长3米，则钢绳的最短长度是_______.

图4

（3）如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．∠A=30°，AB=8，则DE的长度是_______．

图5

解：（1）因为在直角三角形中，一个锐角等于50°，

所以另一个锐角的度数是90°－50°=40°．

故选C．

（2）图6是图4的侧面展开图，竖直方向的直角边（木棍高）20米，水平方向的直角边长5×3=15（米），

图6

故填25米.

（3）因为D为AB的中点，AB=8，

所以AD=4.

因为DE⊥AC于点E，∠A=30°，

故填2.

【设计意图】（1）设计本例进行教学，旨在促进学生熟练应用直角三角形的性质及勾股定理，通过识图、分析及简单的计算，解决直角三角形的计算问题.

（2）学生对于数学模型的问题认识较为薄弱，但这部分内容又是中考的常考考点，因此应加强训练.鉴于学生的基础，选取选择题或填空题可降低起点但又不削弱其思想（如第（2）小题），更有利于引导学生积极地探究，培养学生的数学建模思维，提升学生应用数学的能力.

（3）对于几个知识点的简单叠加应用是培养学生提高解决综合应用题的有效途径之一，如本例中的第（3）小题是较好的题型.中考第一轮复习阶段务必就复习内容优化设计相关的计算、证明问题，通过教师的讲解、释疑，并做针对性的强化训练，从中提高学生对此类问题的解题能力.

二、强化知识的系统认识，活用数学思想解决综合问题

在“特殊三角形”的基础复习教学中，应进一步让学生对相关知识系统认识，并会灵活运用.通过有关“特殊三角形”综合应用问题的典例教学，启发、引导学生利用分类讨论、方程、转化等数学思想解决问题，从中提高学生分析问题、解决问题的能力.同时应培养学生思维的广阔性，如遇到某些问题时会通过添加辅助线来解决.

例3（1）如图7，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．

图7

（2）如图8，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

图8

①求∠F的度数；

②若CD=2，求DF的长．

解：（1）通过证明△ABD≌△ACE，得AD=AE．

（2）①因为△ABC是等边三角形，

所以∠B=60°.

因为DE∥AB，所以∠EDC=∠B=60°.

因为EF⊥DE，所以∠DEF=90°.

所以∠F=90°-∠EDC=30°.

②因为∠ACB=60°，∠EDC=60°，

所以△EDC是等边三角形．

所以ED=DC=2.

因为∠DEF=90°，∠F=30°，

所以DF=2DE=4．

【设计意图】（1）逻辑推理是中考的必考考点，也是学生学习的难点，教学中应注意循序渐进，而采用一题多解进行训练也是常见做法.本例第（1）小题即属此类型，如可证△ABE≌△ACD，或过点A作AF⊥BC，证DF=EF，得AD=AE.这样就可以进一步拓展学生的思维，提高学生的分析推理能力.

（2）选择经典的题型能很好地复习巩固基础知识，通过本例题的教学，能够很好地复习巩固等腰（等边）三角形的性质与判定，同时复习全等三角形的判定与性质，也促进学生深刻理解、掌握证明线段和角相等的思维方法和常用的性质定理.强化学生对相关知识的融会贯通，提高综合应用知识解决问题的能力.

（3）逻辑推理能力是初、高中知识的一个衔接点，我们在复习环节的选题也必须考虑为学生进入高中阶段学习数学打下坚实的基础，复习教学中必须提供充足的空间对逻辑推理加强训练.

例4（1）如图9，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边△ACD，E为AB的中点，连接DE.求证：DE∥CB.

图9

（2）如图10，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长.

图10

解：（1）证明：如图11，连接CE．

图11

因为点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，

所以CE=EB=AE．

因为△ACD是等边三角形，所以AD=CD．

所以△ADE≌△CDE（SSS）.

所以∠ADE=∠CDE=30°．

因为∠DCB=150°，

所以∠EDC＋∠DCB=180°．

所以DE∥CB．

（2）由折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3.

设BE=EB′=x，

则EC=4－x.

因为∠B=90°，AB=3，BC=4，

所以在Rt△ABC中，

在Rt△B′EC中，由勾股定理得x2＋22=（4－x）2.

解得x=1.5．

所以EB′=1.5．

【设计意图】（1）辅助线的添加是学生学习中的难点和易错点，教学时应精选此类题目（如例4第（1）小题），侧重对辅助线添加缘由的引导、分析，让学生理解由分析推理而产生添加辅助线的需要，以降低对辅助线添加理解的难度.

（2）清楚折叠问题的实质——折叠部分是全等形，对应的边和角分别相等.针对折叠部分为直角三角形的几何问题，解题常利用方程思想假设有关线段为未知数，由勾股定理得到方程进行求解，如例4第（2）小题.

（3）经过前面三道例题的复习，学生已基本理解和掌握“特殊三角形”的性质与判定，也能应用它们解决一些简单的问题，这时应该再设计一些难度不大又具有一定综合性的题目.在分析、解决问题的过程中，注意加强转化思想、方程思想的渗透，以提高学生解决综合题的能力.

三、在解题中探究、辨析易错和易混问题，提高解题能力

在解答有关“特殊三角形”的问题时，学生经常

出现：遇到需进行分类讨论的问题时，常因题意理解不透彻、分析不到位而导致漏解；不知如何进行合理的推理分析.因此，在复习教学过程中，应重点突破分类讨论的应用，通过设计这类题型进行讲解，帮助学生析疑排难，进一步消除学生易错点.积极引导学生学会探究，理解分类讨论、方程、转化等数学思想在具体解题中的应用，提高解题应答能力.

例5（1）已知一个等腰三角形的两边长分别为4和5，则这个等腰三角形的周长为（ ）.

（A）13（B）14（C）13或14（D）8或14

（2）等腰△ABC，腰AC上的高与腰AB的夹角为36°，则等腰△ABC的底角的度数为_______．

（3）如图12，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为______.

图12

解：（1）当4作底边时，4，5，5三条线段能构成三角形，周长为14；

当5为底边时，5，4，4三条线段能构成三角形，周长为13．

故选C．

（2）在△ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于点D．

若是锐角三角形，如图13，∠A=90°－36°=54°，底角=（180°－54°）÷2=63°；

图13

若三角形是钝角三角形，如图14，∠BAC=36°+ 90°=126°，底角=（180°－126°）÷2=27°．

图14

所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．

（3）在矩形ABCD中，AB=CD=4，BC=AD=6．

图15

在Rt△ABP中，

如图16，当BP=BC=6时，△BPC也是以PB为腰的等腰三角形．

图16

综上所述，PB的长度是5或6．

【设计意图】（1）求解等腰三角形的边长和角的大小等问题时，常需进行分类讨论，而分类讨论是学生的易错点.所以应对这类题型做专题训练，以培养学生周密思考问题的习惯.通过本例的第（1）（2）小题的学习，能强化此类问题的解题思想，提高解题能力.

（2）动点问题是中考试题的综合性问题，在基础复习阶段，列举一些简单的动态变化问题的解决有利于学生对此类问题的认识，让学生掌握画图是解决此类问题的方法之一.本例中的第（3）小题具有动态变化的雏形，此题利用中垂线关联等腰三角形也是难点，强化知识间的联系是突破解题思路的一种有效手段，更应加强训练.

四、教学反思

1．把握基础，剖析本质

作为中考第一轮复习的例题教学应突出基础知识的再认识，着重通过对解题中典型错误深入剖析去纠正错误认识，促使学生消灭易错、易混点.

在例题教学过程中，应重视充分发挥学生的主体意识，激励学生积极思考，探究解决问题的方法和途径.对涉及有关定义、性质的应用问题，应侧重引导学生进行辨析，巩固理解有关定义、性质的正确应用.教师对学生感到疑难和重点处进行重点讲解、点拨，最后，教师要归纳总结，形成完整、规范的解题步骤，使每名学生对所学的概念、性质进一步的理解巩固，形成技能、技巧，并正确加以应用.

2．适度拓展，发现规律

以原题为基础适度拓展，通过变换、扩展，从一个问题到一类问题，逐步寻求发现解题的内在规律，培养锻炼学生科学的思维方法，获得举一反三、触类旁通的本领，提升学生的数学综合素养.

例1的第（3）小题还可以拓展为规律问题探究.例2的第（2）小题还可以联系棱柱的最短路径探究.例3的第（1）小题可以引导学生进行一题多解的训练.例5的第（3）小题具有较强的综合作用，通过分析推理，加深认识数学知识的条理化和系统化，提高学生综合应用知识解决问题的能力.

3．注意引导，提升能力

及时引导学生做好解题后反思，形成解题能力.对于各个例题应精选，使其具有内在的共性类型，解完一个题目后，教师要引导学生反思，及时总结解题常用的数学思想方法和解题规律，让学生形成灵活应用知识进行优化解题的能力.

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［3］朱楠.先学后教，探索学案的设计［J］．中国数学教育（初中版），2014（7/8）：30-33.

［4］李凌云.“教案学案一体化”的个案研究［D］.华东师范大学，2011.

2016—08—19

全国教育信息技术研究“十二五”规划2015年度专项课题——信息技术环境下县级教研部门引领青年教师专业成长策略（153032773）.

沈晓生（1970—），男，中学高级教师，主要从事初中数学教育教学研究.