高中数学概念学习的影响因素及对策研究

杜明浩

数学学习为什么那么难？很大程度上是学生在学习概念时没有吃透，那么如何提高概念学习的效率呢？本文首先从概念的类型、直观背景和原型这3个方面就影响概念学习的因素进行分析，接着思考对策.

一、影响因素分析

1.概念的类型

从概念的来源来看，我们教材中的数学概念分为两类：第一类是客观世界中的直接抽象，源于客观世界的数量关系和空间形式，如几何图形、自然数等，这类概念由于有直观的原型，学生更容易理解；第二类是从已有数学理论出发，以此为基础从逻辑关系建构的，如映射、群、环、域等，这类概念要求学生有更高的抽象思维的能力.两类概念相比，学生在学习第二类概念时难度高于第一类.

2.概念的直观背景

什么是数学概念的直观背景呢？

学生的学习并非孤立的，数学学习亦是如此，数学概念的直观背景指的是包括图形、符号、实物模型等在内的与概念相关的直观形象，“直观背景”有助于学生理解抽象的数学概念，能有效减轻学生从数学现象和感知转向抽象概念过程中存在的理解上的负担，促进学生对数学概念本质的提取，促进概念意象的形成和理解.不过，任何的直观性背景材料都有存在局限性，学生在学习的过程中容易出现部分代替整体，或受到非本质背景的学习干扰，对学生的概念学习产生影响.为了帮助学生深入理解概念的本质特征，笔者认为

在概念学习的初期，最好选择低干扰的例子避免学生被非本质背景的影响，在概念学习的后期尤其是复习阶段，学生对于概念有了较深的理解后，可以选择具有高干扰背景的例子引导学生在辨析的过程中进行概念的巩固和内化.

3.概念的原型

所谓的原型，指的是在表征数学概念的本质属性时最具典型性的标准实例.从高中数学教学概念的原型分为如下几个：

（1）实例原型：例如我们在和学生一起学习等比数列时举的《国王与棋盘》的故事；

（2）图形原型：例如我们在和学生一起学习“圆”的概念时，圆的图形就很典型；

（3）表达式原型：例如我们在和学生一起学习“双曲线”时，x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）这个原型就比y=1x更容易想到；

（4）操作式原型：例如线面角的概念.

二、对策研究

1.注重学情的分析，精准把握问题切入点

不同的学生数学学习情况不一样，其认知基础、学习习惯和知识结构都存在差异，我们如果不对学生进行学情分析，或照本宣科、或凭经验盲目地进行设计问题都容易导致问题设置的低效，笔者认为基于问题解决的高中数学概念课在问题的设计上必须对学情进行准确的把握，据此制定教学目标和设置有效问题.当然，问题的切入点不仅是要考虑学生认知的起点，还应该考虑学生从起点到目标达成思维上和问题解决上所需要的持续性条件.

例如，在和学生一起学习最简三角方程时，在考虑了学生的认知基础后，问题的设置从求sinx=13的解集入手，从解决具体的方程的解集入手，以此问题作为跳板再求sinx=a的解决，完成最简三角方程sinx=a解集的探究.这样的做法符合学生的从特殊到一般的认知和思维习惯.

2.制作认知冲突，力克相异构想

学生在学习一个具体的数学概念前并非空着脑袋的，原有概念体系与新概念之间有联系也有存在冲突的地方，甚至有些学生在学习过程中的想法与科学的概念相背离即出现了相异构想.

例如，笔者在和学生一起探究“向量数量积的运算性质”时，从学生原有的实数乘法的运算性质出发，暴露学生的问题，然后再解决问题发现运算性质.

3.注重问题对知识学习进程的驱动性作用

基于问题的高中数学概念教学离不开问题的设置，那么问题起到什么作用呢？笔者认为我们在进行教学设计时，对于问题的具体作用一定要做到心中有数，每一个问题的设计意图应该是清晰且具有指向性的，唯有如此，问题才能具有学习驱动性，不断地激活并将学生的思维方向调整到概念的自主构建活动中来.

4.问题解决中注重数学思想方法的渗透

数学思想方法是高中数学的精髓所在，基于问题解决的高中数学概念课教学在问题解决的过程中应该注重思想方法的渗透，让学生习得的不是孤立的知识和概念，而是有血有肉有骨头的完整的数学.

例如，笔者在和学生一起“学习圆的标准方程时”，设置问题情景，学生在解决问题的过程中就可以融入解析几何的基本思想，算法思想，作图及方程的思想等等.首先，问题式导入，然后生成问题，在解决问题的过程中渗透多种思想方法.

问题1：圆是如何定义的？（到定点的距离等于定长的点的集合.）

问题2：如何使用三点确定一个圆？（可以在不共线的三点上作圆.）

问题3：你们如何使用三点作圆？（学生开始尝试画圆，并相互探讨，生成新的问题）

生成新的问题4：如何将几何问题归纳为代数问题，将代数问题归纳为方程问题？

那么如何解决问题呢？和学生围绕问题进行探讨，利用方程研究圆，在问题的解决过程中渗透多种数学思想方法，可以依据教学的内容，引导学生运用算法思想设计出一个框图.

5.设计分层性作业，激活所有学生的思维

学生是教学的主体，这里说的学生不仅仅是尖子生和高考中能够冲击高分的学生，还应该包括临界生和后进生.在概念课后的作业布置上应该满足于所有层次学生数学思维、数学学习兴趣发展的需要，为此，数学作业必须要有层次性.

（1）双基题，这个层次的数学作业是最基本的问题，目标指向满足于基础较为薄弱的学生思维发展需求，帮助学生有效复习最为基本的知识和规律.高考中的中档题甚至于难题都是由双基构成的，注重双基题的作业设计有助于学习薄弱的学生夯实基础.

（2）中等题，这部分作业目标指向中等层次的学生，着力提高学生分析问题解决问题能力.

（3）提高练习，这个层次要结合所教班级的学生实际进行设计，班级内部总有少数或极少数的几个学生，中等题对他们还存在吃不饱的现象，怎么办？结合他们的具体情况，设计几道具有开放性的思维力度的作业，引导学生对复习的内容进行深加工，提高思维的灵活性和创造性.

概念是高中数学知识大厦的基石，影响高中数学概念学习的外部因素包括概念的类型、直观背景、原型等等，有效解决的对策在于概念教学的问题化，引导学生在问题的解决过程中越发接近概念的本质.