与牵连运动相关的速度分解及应用探析

杨志宇

复杂运动的研究离不开运动的合成与分解，而牵连运动又是运动合成与分解问题中的难点问题，具有较强的综合性，既涉及矢量的合成分解法则，又涉及牛顿运动定律、能量、多体等内容，高考屡有考查，是命题的热点.

一、“拉船”模型的建立与研究

如图1所示，人用绳子通过定滑轮将水中的小船系住，并以速度v0将绳子收短，此时绳与水面夹角为θ，求此时小船的速度.

绳子的运动是一个复杂的运动，因其绳端拴在船上，故船速即为绳头的实际速度，方向水平向左，如图2中的v，绳不可伸长，分速度v1为沿绳方向收缩的速度大小为v0，另一分速度v2为绕O点以OA为半径的绕滑轮向内偏的圆周运动的速度，垂直于绳的方向，速度分解的矢量图如图所示，易得v=v0/cosθ.

通过模型的建立与研究可知：与牵连速度相关的速度分解问题，关键在于确定合速度以及两个分速度方向，再通过平行四边形定则进行合成与分解.

二、牵连运动结合牛顿第二定律的应用

牵连运动问题往往涉及力、速度等物理内容，与牛顿定律相结合进行物理命题.

例1如图3所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是

A.绳的拉力大于A的重力

B.绳的拉力等于A的重力

C.绳的拉力小于A的重力

D.拉力先大于重力，后变为小于重力

解析以小车的速度为合速度进行分解，即根据运动效果向沿绳的方向和与绳垂直的方向进行分解，分别是v2、v1.如图4所示， A的速度等于v2，v2=vcosθ，小车向右运动时，θ逐渐变小，可知vA=v2逐渐变大，故A向上做加速运动，处于超重状态，绳子对A的拉力大于重力，故选项A正确.

三、牵连运动结合圆周运动的应用

牵连运动的问题最终就是转化为运动的合成和分解，“拉船”模型中绳头两个分运动中，有一个分运动是圆周运动，以此为切入点，命题者将圆周运动与牵连运动结合在一起进行命题考查.

例2如图5所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A

，轻杆靠在一个质量为M，高为h的物块上.若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v

向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，小球A的线速度大小为

A.vLsin2θhB.vLsin2θh

C.vLcos2θhD.vcosθh

解析物块上B点运动较为复杂，B点实际运动水平向右， 大小为v，根据B点参与的两个分运动方向，作如图6所示的分解.

易得vB=vsinθ，又A、B角速度相同易得

vBLOB=vAL，LOB=

hsinθ，

联立二式可得vA=vLsin2θh

A正确.

四、牵连运动结合能量知识的应用

牵连运动往往可以两个物体，巧妙的设置命题背景，就可以将牵连运动问题融进能量内容，从而到达对两个知识进行查.

例3如图7所示，质量相等的A、B两物体用细线连接跨过定滑轮，将A套在水平杆上，杆到滑轮的距离为h，开始滑轮两边的细线均竖直下垂，现使A以水平向左的初速度v0=

3gh开始运动，当vA=53vB时，求A、B的速度vA、vB各为多大？（所有摩擦均不计）

解析将连接A的绳头末端速度分解，如图8所示，易得

vBvA=35=cosθ，θ=53°.

A、B组成的系统机械能守恒，选水平杆所在位置为重力势能参考面，可得

12mv20=12mv2A+12v2B+mg（hsinθ-h），

解之可得，vA=2.5 m/s，vB=1.5 m/s

五、牵连运动在多体运动中的应用

牵连运动中的多体运动问题，是以绳的收缩分运动为中介，将两个看似毫无关系的物体联系在一起.

例4如图9所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A，B的绳分别与水平方向成a、β角，此时B物体的速度大小为？