向量解题以“建”为贵

陈树昱

高考中对于平面向量的考查，多倾向于平面几何内容，这个知识点既是学习的重点，又是求解的热点，因此构建行之有效的方法难能可贵.将向量置于坐标系的背景之下，赋予向量坐标的结构，权称为“建”法，往往有事半功倍之效.下面举例说明.

一、“建”法解数量积问题

例1（2015年福建卷） 已知AB⊥AC，AB=1t，AC=t ，若点P是△ABC 所在平面内一点，且AP=ABAB+4ACAC ，则PB·PC 的最大值等于

A.13B.15 C.19 D.21

分析纵观条件中的长度和角度，不难看出，AB，AC的垂直关系是解题的主线，但长度的引入影响了解题的发挥，怎么办？“建”法试一试，你会茅塞顿开！

解由已知，以点A为坐标原点，以AB为x轴，AC为y轴，如图1建立平面直角坐标系，

则P（1，4），B（1t，0），C（0，t），所以PB·PC=（1t-1，-4）·（-1，t-4）=17-1t-4t≤17-21t·4t=13，当且仅当t=12取等号.

故选A.

点评同一个问题，当置于不同的背景之下，其难易会大有区别，这时，多想一想“建”法，以“建”为贵，你会有意想不到的收获！

二、“建”法解角问题

例2在△ABC中，（AB-3AC）⊥CB，则角A的最大值为.

分析向量出现之时，“建”法立功之日！因此，大胆采用“建”法，将已知三角形的信息放在坐标系中，很快就解决了！

解以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系，如图2.

设B（1，0），C（m，n），则

（AB-3AC）⊥CB（（1，0）-（3m，3n））·（1-m，-n）=0，

整理得3m2+3n2-4m+1=0.

令t=mn，则（3t2+3）n2-4tn+1=0.

故△=（-4t）2-4（3t2+3）≥0，

解得t=mn=1tanA≥3，

故A≤π6，角A的最大值为π6.

点评可以看出一个非常难解的问题在坐标系的背景之下，会变得十分的简单，况且操作起来更能得心应手，采用了“建”法，没有做不到，只怕想不到！

三、“建”法解长度问题

例3在△ABC中，B=π3，A，C∈（0，π2]，则ac的取值范围是.

分析有边的问题，倘若采用正弦定理和余弦定理，需要反复多次使用，而且未必得正果，换个角度，“建”法开道！

解以B为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系，如图3.

设A（c，0）， 由B=π3，设C（a2，3a2），则

AB·AC≥0，CA·CB≥0，即c2-ac2≥0，a2-ac2≥0，解得ac∈[12，2].故ac的取值范围是[12，2].

点评作为向量，其数形结合的实质就是一种化归，因此利用“建”法完成化归，操作起来更加自然迅速.

四、“建”法解参数问题

例4已知△ABC为等边三角形，设点P，Q满足AP=λAB，AQ=（1-λ）AC，λ∈R，若BQ·CP=-32，则λ=

A. 12B.1±22C.1±102D.-3±222

分析这是一个参数问题，由于未知数在条件中，所以求解起来会艰难一些，但是将向量置于坐标系中，剩余的就是计算问题了.

解如图4，建立坐标系，以A为原点，AB为x轴，则B（2，0），C（1，3）.由AP=

λAB，得P（2λ，0）.由AQ=（1-λ）AC得Q（1-λ，

3（1-λ））.

所以-32=BQ·CP=（-λ-1，3（1-λ））·（2λ-1，-3）=（-λ-1）（2λ-1）+3（1-λ）（-3）

解得λ=12.

答案选A.

点评怎么样？又一次的成功让我们有了一个向量解题的方向，建系是实现平面几何数形互化的重要桥梁和纽带，以“建”为贵，“建”法来相伴，解题可归原！