一道高三数学调研试题的多种解法及教学启示

赵虎

高考是风向标，高考能充分体现最新的教育教学研究成果，能反映最前沿的新课程理念，能折射出高校及社会的人才观，所以高考试题研究对本学科教学及优秀拔尖人才培养有着很好的指导性意义.我们试从对一道高三数学调研试题的多种解法出发，研究高三复习意图，获取对高中数学日常教学的启示，为教学改革寻求导向.题目△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=bcosC+csinB.

（1）求角B（略）；

（2）若b=2，求△ABC面积的最大值.

一、问题的缘由

因第（1）问题求出B=π4，S△=12acsinB=24ac，由余弦定理得4=a2+c2-2ac·cosπ4，故a2+c2-2ac=4（*）.求△ABC面积最大值转化为求ac的最大值，从而引发多种思考.

二、问题引发出的多种不同的解法

解法1（运用辅助角公式法）由

bsinB=2R=2sinπ4得R=2，

故ac=2RsinA·2RsinC=8·sinA·sin（3π4-A）

=8sinA（22cosA+22sinA）

=22sin2A-22cos2A+22

=4sin（2A-π4）+22.

由0

-22<4 sin（2A-π4）≤4，

所以0

所以（S△）max=2+1，此时A=3π8.

解法2（运用基本不等式法）由（*）得

a2+c2-2ac=4，故a2+c2=4+2ac.

由基本不等式

a2+c2≥2ac，

得4+2ac≥2ac，故ac≤4+22，此时a=c.

即A=3π8时，（S△）max=2+1.

解法3（运用判别式法）由（*）得

a2+c2-2ac=4.

令ac=t，得c=ta，

代入（*）式a2+c2-2ac=4，

整理得t2-22 c2t+c4-2c2=-0.

由判别式Δ=（2t+4）2-4·1·t2≥0，

得t2-42t-8≤0，

解得-4+22≤t≤4+22.又t>0，

所以0

即（ac）max=4+22，进而（S△）max=2+1.

解法四（运用参数法）由（*）得

a2+c2-2ac=4，得（a-22c）2+（22c）2=4.

令a-22c=2cosA，22c=2sinA，

则a=2sinA+2cosA，c=22sinA，从而

ac=（2sinA+2cosA）·22sinA

=42sin2A+42sinAcosA

=42·1-cos2A2+42·12 sin2A

=22sin2A-22cos2A+22

=4sin（2A-π4）+22.

所以（ac）max=4+22.

进而（S△）max=2+1.

三、多种解法后对教学的启示.

一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路.在教学中，用多种方法解答同一道数学题，不仅能牢固地掌握和运用所学知识，又能帮助不同程度的学生运用自己的方法去解题.通过一题多解，分析比较，寻找到解题的最佳途径和方法，这对提高学生数学学习兴趣和积极培养学生的创造性思维能力大有益处.在教学中，教师如能回归基础，深度解读教材，在典型问题的引领下，激活学生横的思维，以学生发展为本，促进动态生成，就一定能提高高三数学教学的效率，这也是当前新课标教育的要求.