基于微分几何移动机械臂非线性控制的探讨

孙建红

（忻州师范学院五寨分院基础部，山西忻州036200）

基于微分几何移动机械臂非线性控制的探讨

孙建红

（忻州师范学院五寨分院基础部，山西忻州036200）

移动机械臂自诞生以来因具备广阔的工作空间以及灵活的操作能力而受到国际学术界与工业界的高度重视；但是其在运动过程中容易受到一些不确定性的参数以及外扰动等因素的影响，因此其运动控制非常困难，而微分几何法可确保运动系统的精确控制，实现大范围的综合分析.通过对微分几何非线性控制与移动机械臂进行概况分析，探讨基于微分几何移动机械臂的非线性控制.

微分几何；移动机械臂；非线性控制

0 引言

随着中国传感技术以及人工智能技术的发展进步，移动机器人的智能化程度不断提升，其操作能力也得到不断完善，因此也就诞生了移动机械臂.移动机械臂主要应用在制造业、星际领域探测或者具有高危险性的核反应堆建设等方面，在这些国家建设领域移动机械臂的应用能够很好地代替人工操作.但是，移动机械臂在控制过程中却出现一些问题，因此在微分几何的基础上研究了移动机械臂的非线性控制.

1 微分几何非线性控制的概况

微分几何是利用微积分的理论来研究空间的几何性质，是非线性控制研究的数学基础，主要以光滑曲线作为研究对象.而利用微分几何法来研究非线性控制系统，其结构本身就是非线性的微分流形，也就是说所有状态组成的空间不是一个向量空间，而全部呈现微分流形，当非线性控制系统的状态呈现微分流形时，其状态方程就会被当作流形上的光滑向量场，之后所形成的积分曲线就是控制系统的控制状态所形成的轨迹.最后就可以根据微分几何的同胚、向量场、分布以及李代数等相关概念来对非线性控制系统进行相关研究[1].

在20世纪70年代，利用微分几何法来研究非线性系统的控制问题开始逐步发展起来，到目前为止主要形成了能控性、能观性、解藕以及线性化等多种非线性系统的几何理论.微分几何法由于在线性化过程中，其精确线性化方法没有忽略任何的非线性项，因此利用微分几何法来研究非线性控制系统不仅数据精确，而且精确线性化方法也得到充足的发展.

2 移动机械臂的概况

移动机械臂通常情况下是由自由度轮式移动机器人以及二连杆机械臂组成.自由度轮式移动机器人是由两个同轴的驱动轮和一个起辅助作用的前轮以及一个平台所组成，是一个三轮结构的移动机器人，这其中的驱动轮所采用的驱动装置是直流伺服电机，主要负责移动机器人的平台运动以及转移方向.驱动轮的方向角是被固定的，而作为辅助作用的前轮是可以任意转动的，二连杆机械臂则主要装配在移动机器人平台上的质心处，其各个关节的驱动装置同样采用直流伺服电机进行驱动[2].移动机器人的移动机械臂的具体结构如图1所示.

图1 移动机械臂的具体结构

从图1可以看出，移动机械臂是一个具有高度的非线性以及强动力学耦合的多输入多输出的非线性系统，随着现在移动机械臂的应用范围越来越广，其结构设计也越来越复杂，相应地在控制上对精度的要求也越来越高，对运动范围的要求同样越来越大.因此在对移动机械臂进行大范围的非线性控制时，还要将非线性模型转换成解藕并且可以控制的线性模型[2].

3 基于微分几何移动机械臂的非线性控制

3.1 移动机械臂的模型建立

移动机械臂的建模主要包括运动学和动力学两个方面，如图1所示，移动机械臂的移动平台下面的驱动轮与地面之间的约束为非完整性约束，也就是说其移动平台达到了纯滚动与无滑动的约束条件.这种非完整性约束是轮式移动机械臂的显著特征，其约束主要是移动机械臂车轮的纯滚动以及非侧滑的限制所引起的.同时移动机械臂系统的这种约束方程中经常包含有微分项，并且还是不可积的非完整性方程，因此将其称为非完整性系统[3].非完整性系统的主要特点就是约束方程中包含有不可积的微分项，其运动学模型的建立步骤主要为：首先通过约束方程确定非完整性系统；其次通过函数矩阵求出零空间的一组基值，来构造出非完整性系统的运动学模型；最后再依据选取的维向量构建移动机械臂的运动学模型[3].

移动机械臂的动力学建模依据的是动力学方程式，其主要是用来描述非完整性系统所受到的外力与系统本身所处的位置、运行速度以及加速度之间的关系.这是一种系统本身的动态性能，因此这种动力学即是系统设计时的动态分析基础，同时也是其控制器实用性的有效保证.通常情况下动力学的建模方法即适于对相互起约束作用下的多个连杆运动进行分析，又可以有效导出呈封闭形式的机器人模型，奠定理论分析的基础.但是由于其存在非完整性的约束条件，必须将这种建模方法中的约束力作为输入项，再根据建模的形式建立非完整性的动力学方程式，因此移动机械臂的动力学建模步骤主要为：首先求出各个连杆质心在操作空间的坐标系，得出移动机械臂的总动能与系统的势能；其次将移动机械臂的总动能与系统的势能方程式进行简化，最后即可得到移动机械臂的动力学模型[3].

3.2 多输入多输出系统的解藕控制问题

如上所述，移动机械臂作为一个多输入多输出的非线性系统，要想实现其有效精确控制，首先要解决的就是解藕问题.通常情况下将这个系统进行一定程度的简化，使其输入输出通道变成各自独立的状态，此时就属于输入输出的解藕问题.解决这个问题的主要条件就是此系统必须有某个向量相对阶[4].如下式所示即为其简化后的正则静态状态反馈控制律：

移动机械臂由于具有多变量非线性控制特性以及与强动力学具有高度的耦合特性，因此其控制的关健就是实现解藕控制，也就是说采取怎样的措施将一个具有耦合影响的多变量控制系统转变为多个无耦合的单变量系统.通常情况下这个非线性控制系统的解藕问题主要分为两部分，即干扰解藕和输入输出解藕，这其中输入输出解藕如上所述，是移动机械臂非线性控制的主要解决问题.到目前为止，解藕办法主要有模糊解藕、神经网络解藕、自校正解藕以及微分几何法等[4]，下面研究的就是基于微分几何法来实现移动机械臂的非线性控制.

3.3 基于微分几何法研究移动机械臂的非线性解藕设计

微分几何法在解决移动机械臂的非线性控制的解藕问题时占据着主导地位，因此基于微分几何法的移动机械臂非线性解藕设计主要从以下几个方面进行分析.

3.3.1 移动机械臂模型的预处理

在移动机械臂的控制系统中，由于其具备多变量的复杂特性，其模型必然是一个非线性的复杂微分方程式，而微分几何非线性控制的最终目标是仿射非线性控制系统，这个控制系统的特点是其对状态向量是非线性的，但却与控制变量呈线性的关系.因此在利用微分几何来解决非线性解藕问题之前，必须将移动机械臂控制系统的模型转换成仿射非线性的系统形式[5].

3.3.2 移动机械臂系统的零动态分析

移动机械臂经由非线性反馈后，剩下的未线性化的部分即为闭环系统中不可观的部分，也就是行为汇点，会受到系统在输入时和其他状态下的影响，但不影响系统的正常输出.主要原因就是闭环系统的输入输出实质上就是一个线性行为，而这个系统行为由4个解藕的单输入单输出的子系统组合而成，同时对于移动机械臂系统来说，其外部状态不但要稳定，保持良好的动态品质，而且其内部同样要呈稳定状态[5].

3.4 移动机械臂的运动轨迹控制设计

轨迹跟踪技术指的是通过相关的控制理论设计出一个控制律，这个控制律是为非完整性移动机械臂系统提供服务的，使非完整性移动机械臂可以到达并最终以预定的速度在跟踪平面上形成即定的某条运动轨迹.相应的这也是移动机械臂在运动时进行动态控制时的重点与难点所在，因此移动机械臂的运动轨迹控制设计就是要设计出相应的运动反馈控制器，以此来保证移动机械臂的运动处在期望的轨迹内.对此首先要设计出解藕后的线性子系统的输出跟踪PD跟踪器，然后再依据跟踪器定义运动的位置误差与速度误差，将系统的运动轨迹通过反馈控制器显现出来，从而进行有效的轨迹控制[6].

3.5 移动机械臂的运动轨迹动态仿真

移动机械臂的运动学与动力学的模型由于结构复杂，同时又具备非完整性的约束条件，相应的其动态仿真就具备了一定的难度，主要表现在3个方面：首先，在移动机械臂系统中向量与输出变量就有多种选择设置方式，而在动态仿真中进行设置时其表达形式较为复杂；其次，移动机械臂系统由于属于非完整性系统，其各个状态下的分量之间都存在函数关系，这也是动态仿真中的难题所在；最后，移动机械臂的非完整性系统在运行过程中，系统的运行状态受到非完整性的条件约束，而这种约束条件虽然统一到了建模之中，但在进行动态仿真时其约束关系必然会在提取的各个状态与导数的仿真条件下得以重现.根据这些原因来对移动机械臂的运动轨迹进行动态仿真，对此可以参照美国公司的Simulink/Matlab软件系统，这套系统软件可对移动机械臂的运动系统进行建模、仿真与分析；而且这套系统软件还支持线性或非线性的系统，同时其中的S函数还可以对常微分状态下的方程组进行运算，从而使得仿真变得更加简洁方便，操作起来更容易.下面探讨基于S函数的情况下移动机械臂运动轨迹的动态仿真[6].

3.5.1 S函数的工作原理

所谓S函数就是其功能模块呈现非图形化的描述方式，通过一种特殊的语法构成，主要用于一些动态系统的描述，而且根据一种特殊的调用语法使函数内容与Simulink求解器之间进行交互.也就是说S函数对Simulink求解器上传输过来的相关信息处于接收状态，同时对Simulink求解器发出的相关命令会做出相关的响应.S函数的外部用非图形化的方式进行系统描述，其内部则通过文本的方式进行系统公式以及方程等的描述，这种内外不同的描述方式对于那些复杂的动态系统非常适合，而且在仿真的过程中还能做到精确控制[7].

3.5.2 建立移动机械臂的仿真模型

移动机械臂仿真模型的建立主要依据的是美国公司的Simulink/Matlab软件系统的S函数与Simulink互相结合，也就是通过移动机械臂的模型模块与跟踪控制器模块共同组成.首先移动机械臂模型模块的主要功能就是根据S函数的微分功能计算出状态向量状态数，这些向量状态数包括初始化阶段的状态数、输入与输出的个数、系统输出阶段所提供的状态数以及导数的传递情况、参考信息、误差信息及其导数等，还有控制输入的构造信息、控制系统的模型构造以及系统的解藕方法与输出转矩的表述情况等，而当跟踪控制器对误差信号有所需要时，需将其输入其中，并在积分环节上将其添加到跟踪控制器中[7].

3.5.3 移动机械臂跟踪控制的仿真分析实验

移动机械臂的仿真模型设计成功之后，需对其进行跟踪控制上的仿真分析实验.首先要确认仿真模型中移动机械臂的参数情况，初始状态下向量输入值以及预定的期望运动轨迹值；其次就是要利用Simulink/ Matlab软件系统的S函数与Simulink互相结合的方法建立移动机械臂控制系统的PD轨迹跟控制仿真模型，这种仿真模型在基于S函数的基础上建立起来的，其具有操作性与移植性强的特点，同时此仿真模型简便，对时变系统、非完整性系统以及非线性系统的运态控制仿真等都具有相应的参考意义[8].移动机械臂的PD轨迹跟踪控制的仿真模型如图2所示，可以看出，移动机械臂的这个PD轨迹跟踪控制系统对其预定的运动轨迹实现了很好的跟踪.

图2 移动机械臂的PD轨迹跟踪控制仿真模型

4 结束语

对微分几何非线性控制以及移动机械臂进行了概况分析，探讨在基于微分几何的情况下移动机械臂的非线性控制，对此分析得出基于微分几何的基础上移动机械臂的非线性系统成功实现了其运动轨迹的跟踪控制.但是由于实验数值的客观性，研究的控制仿真模型具备一定的限制性，具体在实际的应用中需结合实际情况加以验证，同时也希望上述研究对移动机器人及其机械臂的研发起到一定的帮助作用.

[1]白彦伟.基于微分几何移动机械臂非线性控制的研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2007.

[2]孙敬颋，史士财，王学飞，等.大型空间机械臂柔性关节的微分几何算法控制器设计[J].哈尔滨工程大学学报，2012，33（11）：1371-1376.

[3]闫超勤.智能移动机械臂的控制研究[D].西安：西安电子科技大学，2005.

[4]王闻杰，白彦伟.基于微分几何方法和变结构控制的移动机械臂轨迹跟踪控制[C]//上海航天科技论坛暨上海市宇航学会2007年学术年会，2007.

[5]马良，闫继宏，赵杰，等.基于微分几何的非完整移动操作臂解耦控制[J].高技术通讯，2011，21（4）：398-403.

[6]邓雅.空间机械臂建模及轨迹跟踪控制方法研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2013.

[7]何诗文，贾庆轩，陈钢.基于空间机械臂关节齿隙补偿的滑模控制策略研究[EB/OL].中国科技论文在线，（2014-12-30）.http:// www.paper.edu.cn/html/releasepaper/2014/12/984/.

[8]周延霞.非完整移动机械臂的跟踪控制与运动规划问题研究[D].广州：华南理工大学，2008.

（责任编辑 钮效鹍）

A Probe into Nonlinear Control of Mobile Manipulator Based on Differential Geometry

SUN Jian-hong
(Department of Basic Courses,Xinzhou Normal University at Wuzhai,Xinzhou,Shanxi 036200,China)

With its wide working space and flexible operation ability,the mobile manipulator since its coming has been greatly valued in the international academia and industry.But it is vulnerable to some uncertainty in the process of movement parameters and external disturbance,thus its motion control is very difficult.Differential geometry method can ensure the accurate control of kinematic system,achieving a wide range of comprehensive analysis.By analyzing the differential geometry nonlinear control and mobile manipulator situation,this paper explores the differential geometry nonlinear control of mobile manipulator.

differential geometry;mobile robot arm;nonlinear control

O186

A

1673-1972（2016）06-0025-04

2016-09-01

孙建红（1977-），男，山西五寨人，讲师，主要从事基础数学研究.