Logistic电路在参数周期切换下的动力学行为分析

张 春

(淮阴师范学院 数学科学学院，江苏 淮安 223300)



Logistic电路在参数周期切换下的动力学行为分析

张 春

(淮阴师范学院 数学科学学院，江苏 淮安 223300)

根据周期切换律建立了logistic参数切换模型。指出了离散切换系统会呈现出具有各个子系统动力特性组合振荡模式，同时整个系统还会产生各种分岔，并通过不同的分岔模式连接各种周期轨道甚至使得整个系统进入混沌振荡模式。分析表明，鞍结分岔和跨临界分岔将使得不动点以及不同类型的周期1振荡之间转迁，而周期1振荡可经级联倍周期分岔通往混沌振荡，同时混沌振荡又可经由鞍结分岔直接演化为周期1振荡。

离散切换系统；Logistic电路；周期参数切换；分岔机理

0 引言

Logistic映射是1976年数学生态学家R. May在英国《自然》杂志上提出的一个形式上非常简单却有着极其复杂动力学行为的一维离散动力系统[1]。当前在许多实际问题中，诸如人口预测、保密通信、化学反应过程等都可以用Logistic进行建模仿真，并取得了相当多的成果[2-4]。

目前，基于Logistic映射，许多学者研究了一些新的混沌离散映射。例如，Jiang HB等[5]研究了两种周期脉冲作用下Logistic映射的复杂动力学行为，揭示了脉冲对系统周期解的影响；Fan AL.Zhang XF[6]构造了一个全新的分段Logistic混沌映射，并对其产生的序列的随机性以及初值敏感性进行了研究。文献[7]对具有周期边界条件的二维Logistic组合映射的图灵不稳定性条件进行了研究，并通过数值仿真给出了图灵不稳定性的区域。本文将基于Logistic映射建立周期参数切换条件下的Logistic切换模型，以此来研究离散切换系统的复杂动力学行为。

工程中的许多实际模型都可以用切换系统来描述，而切换模式将导致系统产生非光滑特性，从而呈现大量的非线性行为，对其复杂性分析引起了国内外学者的广泛关注。Zhang C等[8]讨论了Duffing系统以及van der pol系统在时间以及状态混合切换模式下的振荡以及相应的分岔行为；文献[9]讨论了周期参数切换下Lorenz振子的各种切换振荡行为，讨论了周期切换振荡通往混沌的道路。然而，很少有工作介绍离散切换系统。许多问题，诸如离散切换系统的复杂振荡行为、分岔机制以及切换模式的影响等都有待进一步研究。

本文以典型的Logistic映射为例，借助于Floquet理论研究具有参数周期切换条件下离散切换系统的振荡行为及其周期振荡的分岔行为。

1 模型介绍

考虑如下的Logistic切换电路(如图1所示)：虚线框(I)由两个采样保持器S/H(1)和S/H(2)组成，将连续的电压信号转化为离散的信号；虚线框(II)是Logistic模拟电路部分，乘法器M用来实现非线性平方项，而A1与A2为反向器和反向加法器，开关S实现电路在给定的切换模式系实现闭合与断开。相应的电路方程可表示为

图1 参数周期切换下的Logistic切换电路图

(1)

(2)

2 切换振荡及分岔机理

固定参数μ1=3.75，取为分岔参数。图2给出了系统(2)随参数μ2变化的分岔图以及相应的Lyapunov指数图。根据图2(a)结合图2(b)可知，整个切换将呈现稳定的平衡态和周期振荡(相应的Lyapunov指数为负)还会出现混沌振荡(相应的Lyapunov指数为正)。

图2 (a)分岔图,(b)相应的Lyapunov指数图

当μ2<0.643， 整个系统存在稳定的不动点x*=0(图3(a))，当μ2穿过0.643时，不动点x*=0对应的Floquet乘子将从轴的正半轴穿过单位圆，表明不动点x*=0在μ2=0.643时将失稳经由跨临界分岔演变为周期1切换振荡(图3(b))。当μ2穿过1.731时，周期1切换振荡对应Floquet乘子将从轴的负半轴穿过单位圆，意味着周期1切换振荡将在μ2=1.731时失稳经由倍周期分岔演变为周期2振荡(图3(c))，而当参数μ2=2.256时周期2振荡又经由倒倍周期分岔演变为周期1振荡(图3(d))。

当2.256<μ2<2.453时，整个系统存在周期1切换振荡(图3(d))。当μ2穿过2.453时，周期1轨道的Floquet乘子将从轴的正半轴穿过单位圆，此时周期1轨道失稳经由鞍结分岔演变为另一个周期1振荡(图4(a))。随着参数μ2的进一步增加，系统的周期1振荡将会经由级联倍周期分岔演变为周期2，周期4，周期8，直至通往混沌振荡，典型的演变过程 (图4)。当μ2穿过3.244时，周期1轨道的Floquet乘子将再次从轴的正半轴穿过单位圆，整个系统的周期1轨道在μ2=3.244时失稳经由鞍结分岔直接进入混沌振荡，典型的演变过程如图5。

图3 (a)μ2=0.5; (b)μ2=1.2;(c)μ2=2.0;(d)μ2=2.38

图4 周期1振荡经由倍周期分岔通往混沌

(a)μ2=2.58; (b)μ2=2.8;

图5 混沌振荡经由鞍结分岔直接演变为周期1振荡 (a)μ2=3.24; (b)μ2=3.3

3 结论

不同子系统之间相互切换会导致复杂的动力学行为。本文建立了logistic参数周期切换模型，给出了整个系统随参数变化的分岔图以及相应的Lyapunov指数变化情况。讨论了系统存在的各种周期切换振荡，同时基于Floquet理论指出了鞍结分岔、跨临界分岔以及倍周期分岔在整个系统各种周期振荡以及混沌振荡之间转变中起到了重要的作用。

[1] May RA. Simple mathematical models with very complicated dynamics[J].Nature,1976,261(5560): 459-467.

[2] Gibson WT, Wilson WC. Individual-based chaos: extensions of the discrete logistic model[J].J Theor Biol,2013,339(39):84-92.

[3] Singh N, Sinha A. Chaos-based secure communication system using logistic map[J]. Opt LasersEng, 2010,48(3):398-404.

[4] Wang B, Wei X, Zhang Q. Cryptanalysis of an image cryp to system based on logistic map[J].Optik,2013,124(14):1773-1776.

[5] Jiang HB, Li T, Zeng XL, et al. Bifurcation analysis of complex behavior in the Logistic map via periodic impulsive force[J].Acta Phys Sin, 2013,62(12):120508.

[6] Fan JL, Zhang XF. Piecewise Logistic Chaotic Map and Its Performance Analysis[J].Acta Electronica Sinica, 2009,37(4):720-725.

[7] Xu L, Zhang G, Han B, et al. Turing instability for a two-dimensional Logistic coupled map lattice[J].Physics Leters A,2010,374(34):3447-3450.

[8] Zhang C, Bi QS, Han XJ, et al. On two-parameter bifurcation analysis of switched system composed of Duffing and van der Pol oscillators[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2014,19(3):750-757.

[9] Zhang C, Han X J, Bi QS. On symmetry-breaking bifurcation in the periodic parameter-switching Lorenz oscillator[J].SCIENCE CHINA Technological Sciences, 2013,56(9):2310-2316.

(责任编辑：孙文彬)

Oscillations and Bifurcation Mechanisms of Logistic Circuit with Periodic Switching Scheme

ZHANG Chun

(School of Mathematical Science, Huaiyin Normal University, Huai'an Jiangsu 223300, China)

Based on the periodic parameter-switching scheme, a switched logistic circuit is established, pointing out that the discrete switched systems will exhibit dynamic characteristics of each subsystem with a combination of oscillation modes. The combined movement and the trajectory of which can be divided into parts which were determined by the subsystems. Study shows that the turning point and saddle-node bifurcations determined the transitions between the fixed point and the different types of the period 1 oscillations, while cascading of period-doubling bifurcation may lead the system to chaotic movement and the saddle-node bifurcation may cause the chaos to period 1 oscillation.

discrete switched system; logistic circuit; periodic parameter-switching; bifurcation mechanism

2016-05-23

国家自然科学基金项目(11502091)

张春(1984-)，男，江苏泗阳人，讲师，博士，主要从事非线性切换系统研究。

O322，O302

A

1009-7961(2016)05-0077-04