包络线在经济学中的应用

哈尔滨商业大学基础科学学院 曲国坤

包络线在经济学中的应用

哈尔滨商业大学基础科学学院 曲国坤

在我们的日常生活中，包络线的应用非常广泛，利用包络线不仅可以解决相关的数学函数问题，而且可以处理很多现实生活中所遇见的经济问题。本文介绍了包络线在数学领域和经济学领域中的运用，其中重点介绍了如何利用包络线来求函数的最值、包络线在常微分中的运用、包络原理，以及包络线在西方经济学长期、短期成本曲线中的运用。

包络线 成本曲线

包络曲线是西方经济学中的一个基本概念, 也是分析长期成本中重要的分析工具之一。

1 包络线的基本概念

1.1 包络线的几何学定义常微分方程中对包络线的定义：设给定一个单参数曲线族为参数。如果存在连续可微的曲线，其上任意一点均有中某一曲线与相切，且对上不同的点，有中不同曲线与之相切，那么称曲线为曲线族的包络线。

1.2 包络线的经济学定义

在经济学中，就是各种需求曲线或供给曲线或其他曲线的顶点(所谓的峰点)连接起来形成的一条平滑曲线，就是“包络线”，看起来就像把许多抛物线“包”起来一样。

2 包络线在经济学中的应用

2.1 包络定理(1)无约束模型设最大值函数为：

(2)等式约束模型

设最大值函数为：

2.2 对包络定理的说明

例：求

解：方法一：建立拉格朗日函数：

一阶必要条件为：

由此可得：

方法三：用传统方法验证。

2.3 包络原理的应用

应用一：证明Shephard's 引理[1]

Xi是生产厂商对相应要素i的派生需，其中成本函数在点是可微的, 则有：

应用二：税金问题[1]

问税金的变化对利润影响?

应用三：拉格朗日乘子

(1)约束型参数

有一类特殊的参数是所谓“约束型参数”。例如，消费者的预算线为均为向量)。这里，收入即为约束型参数。

(2)约束型参数对最大值函数的影响

约束型参数对最大值函数的影响有一个非常简单的结果，即它等于拉格朗日乘子在最优处取值)。

设等式约束模型为：

根据包络定理有：

例如：效用最大化问题

该问题的拉格朗日函数

应用四：包络线指标[2]

两条移动平均线组成了包络线技术指标，具体见图1。市场的变化率决定了相关联数量的通道边幅的移动，市场变化率相对较高时，通道边幅的变化也会表现得相对激烈，市场变化率相对较低时，通道边幅的变化也会表现得相对弱化。

包络线指数是由价格变化范围的上下界来定义的。当价格上升到通道顶端时，出现了卖出信号；当价格下降到通道底端时，出现了购买信号。

包络线指标实际上就是卖家以及买家共同作用，推动价格达到边界位置。价格在以上几点的作用下，不断移动以至于到达一个相对现实的水平上，最终达到比较稳定的位置。包络线指标在这一点上保力加通道指标的解释有共通之处。

图1 包络线技术指标

包络线可以用作预测市场价格在平均价格附近的波动范围，包络线的中轴是一条可以移动的平均线，包络线的上轨以及下轨，用当前均线值加上(减去)固定的百分比。

应用五：分析长期成本

我们可以将长期曲线看作由多个不同短期曲线来构成的,每条不同产量的短期平均成本曲线都可以找到最低点，将所有的最低点连接起来,长期平均成本曲线就是由所有的点构成的。从包络的角度来讲，LTC是STC的包络线，另外LAC也称为SAC的包络线。事实上，长期总成本曲线上的每一个点，它都是表示一个最优的生产规模, 也就是表示相应不同产量下短期成本的最低点，所以，在一个长期的分析过程中，长期平均成本也就对应了厂商按照不同的产量生产，所需要的最低平均成本。按照以上分析的方法，就可以得到长期平均成本的曲线图。

对于短期平均成本曲线以及长期平均成本曲线来讲，每条短期平均成本曲线上都会有一个切点，而对于长期平均成本曲线来讲，在它的最低点处，一定会存在一条短期平均成本曲线，此曲线与长期平均成本曲线相切。厂商就可以按照这样的方式来确定自己的生产计划，所以长期平均成本曲线又被称为计划曲线。

长期平均成本曲线和短期平均成本曲线的区别是：长期成本曲线下降和上升时都相对比较平坦。由此可以看出，长期平均成本在增加和减少的速度上来讲，都是相对比较缓慢的，这主要是因为在一个长期的生产过程中，所涉及到的生产要素都要求随时可以调整，在规模收益递增和规模收益递减中间还存在一个阶段，即规模收益不变阶段；而在一个短期过程中，这个规模收益不变阶段是非常短的，或者是不存在的。上述原因导致长期平均成本曲线是短期平均成本曲线的包络线，而不是各短期平均成本曲线最低点的连线。

把生产规模按极限思想无限细分，将每一条SAC曲线的最低平均成本点，这些最低点就是长期分析中各产量水平所对应的最低平均成本，将所有的点连接起来，构成长期平均成本曲线，如图2所示。

图2 构成长期平均成本曲线

另一方面，长期平均成本曲线也可以是短期平均成本曲线的包络线，但是需要满足以下几个条件。首先，要求所有短期平均成本曲线都处于同一个水平线；其次，要求工厂的规模可以无限细分，即可以任意调整，并且要保证在每一个规模的特定产量下，都只有一个最低成本点；再次，生产规模要求服从经济的递增、不变和递减这三个阶段规律。

[1] 邓军，吴汉洪．西方微观经济学中的包络定理述评[J]．北京机械工业学院学报，1994(01)．

[2] 崔慧永．谈包络曲线在实践运用中的矛盾[J]．吉林师范大学学报(人文社会科学版)，2006(04)．

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2096-0298(2016)08(a)-171-02