对比分析 把握本质
——《鸡兔同笼》教学实践与思考
2016-11-28施丹桂
施丹桂
(浙江省杭州市胜蓝实验小学 浙江杭州 310004)
对比分析 把握本质
——《鸡兔同笼》教学实践与思考
施丹桂
(浙江省杭州市胜蓝实验小学 浙江杭州 310004)
鸡兔同笼是实验版教材六年级上册的内容,而2013版新教材则把其改编在了四年级下册,其与实验教材相比有较大的差别,教学目标中更注重解题策略多样性的教学,教学过程中更关注列表法和假设法的落实,这些改变给我们在教学中带来了新的困惑。本文针对这一教学内容,反复比较两版教材和教参,从理念引领、内容编排、教学方法等角度进行分析,并提出一些相应的教学策略。
鸡兔同笼 假设思想 数形结合 教学策略
一、背景
对于两版教材,笔者进行了以下比较:
对比一:
新版教材教学目标的描述更详细:在方法上注重列表法和假设法;在能力上体现了数学思维和应用能力的双管齐下。而实验教材的教学目标描述较为笼统:在方法教学上更关注方程法;在能力要求上较重视数学思维能力,略忽视实际应用能力。
对比二:
新版教材在内容编排上展示了列表法和假设法这两种解法;而实验教材则还要求学生掌握方程法。
基于这两版教材的比较,笔者产生了一些困惑:新版教材面对的是四年级的孩子,只需教学列表法和假设法,那么在这两种方法的教学力度上我们如何分配?我们怎么帮助孩子直观的理解抽象的假设法?假设法的教学起点在哪?列表法和假设法之间有联系吗?……带着这些困惑,笔者开始了这一内容的研究。
二、分析
基于对新旧教材的对比研读,针对这个内容的教学,笔者着重分析以下两个方面的问题:
1.列表法和假设法的教学力度如何分配,是两种孤立的方法吗?
2013版教师用书中指出:有序的列表可使学生经历数据逐一调整变化的过程,为后面探究假设法奠定了基础。其实列表法是假设鸡(或兔)的只数一个一个或几个几个的进行推理,假设法是全部假设为鸡(或兔)来推理,从思维层面上讲,两者都蕴含了“假设”的数学思维,并不是两种孤立的方法,我们可以说列表法是假设法的铺垫,假设法是对列表法的提炼。我们可以这样分析:如果夯实了列表法的教学,再引导学生对表格进行分析,假设法是否就水到渠成了?再者2013版教师用书中也明确指出:应明确列表的方法不只有教材呈现的一种方式。教材中所呈现的是列表法中较简单的一种。因此,教学中,可以引导学生先经历这样的“逐一”列表方法,然后再引导学生通过交流探讨发现列表的方法不是唯一的,列表的数据既可以逐一列出,也可以跳跃列举,还可以取中列举。综上两点,笔者觉得对于列表法我们不能轻视,应加大教学力度,让学生在体验多样列表的基础上感知列表的本质,为假设法做铺垫。
2.怎么突破假设法教学的“抽象”难点,它的教学起点在哪?
课程标准指出“要在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力”,而用假设法解题的过程其实就是培养学生逻辑推理能力的过程。“假设法”抽象的特点是学生理解的最大障碍,易造成“生搬硬套”现象:只会死记硬背的套用,而不能理解为什么假设是鸡(兔),先求出的却是兔(鸡)。因此我们首先要找到假设法的起点——列表法。所以在教学中首先要夯实列表法的教学,为假设法的理解积累推理经验;其次采用数形结合的方式,为抽象的理解呈现形象的视觉。
三、对策
基于以上的分析,笔者进行了课堂教学实践。
【书本例题:笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚。鸡和兔各有几只?】
对策一:因“材”而施教,定合理目标,行有效教学。
美国心理、教育学家布卢母说“有效教学始于知道希望达到的目标是什么。”这句话阐述了教学目标的重要地位。既然新教材在教学理念、内容编排、方法选择……这些方面都进行了改革,那么我们也要因“材”施教,定恰当目标,行有效教学。据教材的情况,此内容应分两课时进行教学。第一课时应着力于列表法的教学;第二课时进行假设法的教学和模型的建立与内化。因此制定的教学目标如下:
第一课时
1.了解“鸡兔同笼”问题,感受古代数学问题的趣味性。
2.尝试用列表法解决“鸡兔同笼”问题。理解“逐一列表”、“取中列表”和“跳跃列表”,掌握用“列表法”解决问题的策略。
3.在学习“列表法”的过程中,经历数据调整的过程,引导学生有序思考,为“假设法”的探究奠定基础。
4.用“列表法”解决生活中的问题,培养学生有序思考和迁移类推能力,为模型的建立奠定基础。
第二课时
1.尝试用“假设法”解决“鸡兔同笼”问题,了解两种方法之间的关联性,体验“假设法”是“列表法”的提炼。
2.经历数形结合的过程,让学生在“形象图”与“抽象式”的对应过程中,理解“假设法”的实质,能用此法解决生活中的“鸡兔同笼”问题。
3.在解决问题的过程中,渗透“假设”的思想,培养学生的逻辑推理能力。
4.建立“鸡兔同笼”问题的数学模型,在解决问题的过程中内化模型。
对策二:多样列表,积累理解假设法的逻辑推理经验。
“列表法”是“假设法”的认知起点,是学生进行有序思考的开端。因此在教学的过程中我们应引导学生探究多种列表法,体验有序思考的过程,积累逻辑推理经验,为 “假设法”的学习预热。因此笔者对此进行了如下设计:
【教学片断1】
一、教学列表法
1.逐一列表,有序思考
笼子里有鸡和兔共8只,请你猜猜鸡和兔可能各有几只?
生:鸡1只,兔7只。
生:鸡2只,兔6只。
师:还有吗?那谁能按顺序不遗漏不重复地说一说?
生:鸡1只,兔7只;鸡2只,兔6只……
师:如果用列表的形式来表达你们的猜测,那就更清晰了。(课件展示表格)
师:除了这七种,我们还得考虑 “鸡0只,兔8只”或 “鸡8只,兔0只”这两种情况。(在表格中添上“鸡0只,兔8只”和“鸡8只,兔0只”)
师:你们看,表格有序的、不重复、不遗漏地罗列了我们的想法。可是到底是几只兔几只鸡能确定吗?
生:不确定
师:如果再增加一个条件:“从下面数,共有22只脚”,现在你知道有几只鸡几只兔吗?请你像刚才那样列表解决。
1.学生独立列表解决
2.展示学生作品
师:仔细观察,在列举的过程中,脚总数的变化有什么特点?
生:从左往右看,每次减少2只脚。
师:脚总数怎么会2个2个的减少呢?
生:因为鸡在增加,兔在减少。
生:因为每次鸡都增加了1只,兔都减少了1只。
师:是呀,从左往右,每次都把1只兔变成1只鸡,就少了2只脚。
师:如果脚要减少8只,要将几只兔换成鸡?怎样算的?脚要增加8只呢?
2.跳跃列表,感知假设
师:如果鸡和兔的数量较大,这样试起来就麻烦了!能不能跳着列表呢?请你们尝试一下。
生1:当鸡有8只兔有0只时,脚有16只,比26只少好多只脚,我就想:假设鸡5只兔3只,脚就有22只,还比26只少4只。那么还有2只兔被看成了鸡,所以我再假设3只鸡5只兔,脚就是26只了。
生2:我的更简单。当鸡有8只兔有0只时,脚有16只,比26只少10只脚。那1只兔看成鸡要少2只脚,要少10只脚,说明有5只兔被看成鸡,就从8只鸡中拿出5只变成兔,这样就有3只鸡,5只兔,脚刚好26只。
师:谁听明白了?
师:好方法!逐一列举再依次计算确实麻烦,跳着列举和计算,能更快地找到答案。
3.取中列表,深化理解
师:刚才还有同学是这样列表的,谁能看懂?
生:他把鸡和兔各看成4只,脚有24只,比26只少了2只脚,说明鸡被多看了1只,这样就要从4只鸡中拿出1只变成兔,那兔就是5只,鸡就是3只。
师:谁听懂了?
师:同学们真能干。原来用列举的方法解决鸡兔同笼问题时,我们可以一一列举,也可以取中列举,还可以跳跃着列举。
在这一教学过程中,从三种列举法入手,让学生深刻理解了列举的实质,为假设法的学习奠定了基础。
对策三:数与形呼应,搭建形象与抽象的桥梁。
新课标指出:要在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力。而“假设法”的学习过程,是学生逻辑思维能力有效提升的过程。“抽象”是阻挠学生掌握假设法的最大障碍。因此在教学中,我们要设计相应的情景,让学生理解“为什么要假设?”、“假设法是怎么来的?”、“怎么假设?”、“怎么理解推理过程?”,带着这些目标,笔者设计了如下环节:
【教学片断2】
二、学习假设法
师:在上节课中,我们学习了三种列举法,其中有同学是这样列举的:
[当鸡有8只兔有0只时,脚有16只,比26只少10只脚。因为1只兔看成鸡要少2只脚,如果少10只脚,那就有5只兔看成了鸡,就要从8只鸡中拿出5只变成兔,这样就有3只鸡,5只兔,脚刚好26只。
现在你能用算式表示这样的思路吗?
(一)假设全是鸡
2×8=16(只)
兔:(26-16)÷(4-2)=5(只)
鸡:8-5=3(只)
生:我假设全是鸡,有16只脚,比26只少10只脚,然后一只鸡比一只兔少2只脚,共少了10只脚,一共少了5只兔子,那么鸡的只数就是8-5=3只。
师:听懂他的解释了吗?谁能再来说一说?
师:也就是说假设全是鸡,出现了什么情况?
生:会少10只脚。
师:怎么就会少10只脚?
生:因为有一些兔被看成了鸡。
生:因为一只兔看成鸡要少2只脚。
师:是呀,每一只兔看成鸡,就会少2只脚,就是少了1个2,10里面有5个2,少了5个2,所以兔子有5只。
T:我们可以结合图来表达这个过程。
如果我们假设全是鸡,就只有16只脚。
和26只脚相比,少了10只脚。因为每把一只兔看成一只鸡就要少2只脚
现在我们就把少的10只脚补上去。一次补几只脚?这样我们一共需要补——,所以兔共有——(同一张幻灯片中依次出示5个2)。
(二)假设全是兔
4×8=32(只)
鸡:(32-26)÷(4-2)=3(只)
兔:8-3=5(只)
师:能看懂吗?
师:是这个意思吗?
师:这样就——
生:多了6只脚。
师:是因为——
生:有些鸡被看成了兔子。
师继续出示相应的幻灯片,让学生在脑海中进行数形结合。
(三)比较深化,理解本质
师:同样是假设,为什么一个先求出的是鸡,另一个先求出的却是兔呢?
生:假设全是兔,鸡的脚被多看,所以先求出的是鸡;假设全是鸡,兔的脚被少看,那么先求出来的就是兔。
在次教学中,以列表法作为起点,再用“数形”结合的方式辅助理解,突破了假设法“抽象”的难点,让学生深刻理解了假设法的实质。
对策四:学以致用,在应用中建立并深化模型。
数学课程标准指出:要从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义。是指我们要帮助学生建立数学模型,从“一个”推广到“一类”,再从“一类”中提取模型,总结规律和方法,最后应用到实际。因此在掌握了方法后我们还应引导学生学以致用,深化模型。
【教学片断3】
三、建立模型,运用深化
(一)建立模型
课件出示题:有若干只龟鹤头共8个,腿共26只。龟鹤各多少只?
师:接下来请你们独立解决,并想想和刚才的问题有什么共同点。
生独立解决再反馈。
生:其实他们是一样的,龟和兔都有4只脚,鹤和鸡都有2只脚,动物不同,方法相同。
师:是啊,这里的鸡不仅仅是鸡,兔也不只是兔,像这类问题在数学上叫鸡兔同笼问题。那么在我们的生活中,也有很多这样的问题。
(二)巩固提升
课件出示:一星题:1.张老师买来8盒月饼,共有42只,其中甲、乙两种包装,如下图所示。你知道甲、乙两种包装各买了几盒吗?
二星题:学校举行脑筋急转弯竞赛,决赛中每位选手应回答25道题,若答对1题得4分,若答错或不答1题倒扣1分。明明得了70分,他答错或不答共有几题?
本环节先让学生进行“龟鹤问题”与“鸡兔同笼问题”一一对应,理解两类问题的共同特点,建立模型;再拓展到生活中,辨别鸡兔同笼问题的实质,深化模型。
以上是笔者在一次次磨课实践中产生的一些粗浅的体会与感悟,如何让学生能更好地理解鸡兔同笼问题,建立鸡兔同笼问题的模型并灵活运用,还需要我们不断的研读教材与教学实践。
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[4]潘粉娥.“鸡兔同笼问题”教学设计[J].课程教材教学研究,2013
[5]邵丽芳.用列表法解决“鸡兔同笼”问题的教学实践与反思[J].教学月刊小学版,2011.12