基于李雅普诺夫指数的临近点选取方法

石鸿雁,魏俊达

(沈阳工业大学理学院,沈阳110870)

基于李雅普诺夫指数的临近点选取方法

石鸿雁,魏俊达

(沈阳工业大学理学院,沈阳110870)

混沌时间序列的局域法预测以其计算量小、适用性强等优点,得到了广泛应用。但是其预测效果受制于临近点的选取,尤其是“伪临近点”的存在将降低预测精度,所以合理选取临近点至关重要。考虑到相点各维分量对预测的影响不同,相点的演化趋势与其前S步相点存在相关性,文章利用最大李雅普诺夫指数构造权系数提出了基于李雅普诺夫指数的临近点选取方法。通过Lorenz方程产生的混沌时间序列进行检验,结果表明改进方法的预测效果明显提高。

混沌时间序列;局域法;临近点;李雅普诺夫指数

0 引言

混沌时间序列预测模型在金融、气象、交通、电力等诸多领域得到了广泛的应用。目前学者们提出了多种混沌时间序列预测模型,根据拟合相点的不同,混沌时间序列预测可分为全域法和局域法。

全域法是将相空间中的所有相点作为参考点进行拟合预测。但是由于混沌系统的内部结构十分复杂,嵌入维数的增加,将导致拟合函数的计算复杂度急剧增加,模型的预测精度下降。因此,全域法只适用于空间结构简单的系统。

与全域法不同的是,局域法预测思想是基于相空间中某一相点的未来演化趋势与其临近点的演化趋势类似,将相空间轨迹的最后一点作为预测中心点,其空间邻域内的相点作为临近点,根据这些临近点的演化趋势f来预测未来演化相点。由于局域法预测具有计算量较小、拟合优度较高、适应性强等优点,因此局域法预测已经得到了广泛的应用[1-3]。但是局域法预测效果依赖于临近点的选取,通常仅根据欧氏距离来评价相点与预测中心点的空间位置关系,而没有考虑相点间的演化趋势易陷入“伪临近点”,因此合理选取临近点至关重要。

目前学者们提出了多种临近点选取方法,文献[4]在欧式距离的基础上通过计算演化相点间的向量夹角,限制向量间的夹角来寻求相点间演化趋势近似的临近点。但是此方法将所有相点的演化趋势笼统地限制在同一个区间内,对于距离较远的临近点,即使方向夹角较小,经过多步演化其演化趋势也会产生较大的偏移,而导致“伪临近点”的出现;文献[5]考虑到高维空间中,欧氏距离无法充分描述相点间相似性的不足,利用参考相点与预测中心相点间的关联度来选取临近点。但是经过标准化的数据在后期计算过程中,会造成部分信息的丢失,无法体现下限参数对关联度的影响。文献[6]利用预测中心点的轨道和其临近点轨道的分离指数来筛选临近点,但是仅考虑了相点间的单步演化的近似关系而忽略了相点的多步演化趋势,易误将“伪临近点”作为预测参考点,影响模型的预测精度。

考虑到混沌时间序列具有初值敏感性,传统欧氏距离无法客观反映相点各维分量对预测的影响,本文利用最大李雅普诺夫指数构造权系数对欧氏距离进行改进,将距离关联度和向量夹角余弦作为相空间中相点间的空间关系和演化趋势的评价标准,并根据相空间相点的演化趋势与其前S步相点存在相关性的特点,通过追踪前S步相点的演化趋势,提出了基于李雅普诺夫指数改进的临近点选取方法。利用Lorenz方程x分量产生的混沌时间序列进行仿真实验,结果表明改进方法的预测效果明显提高。

1 基础理论

1.1 相空间重构

混沌时间序列的相空间重构理论[7]将一维原始时间序列拓扑映射到高维空间中,使得低维空间中无法充分挖掘的系统规律,在更高维空间中得以恢复和提取。因此相空间重构是混沌系统内在特性计算以及预测的基础,相空间重构的效果直接影响到后续分析结果。

时间延迟τ和嵌入维数m是相空间重构中两个重要参数。目前确定时间延迟和嵌入维数有两种观点[8],一种观点认为时间延迟和嵌入维数互不相关,可以独立确定,其中可通过复自相关法、互信息法等方法来确定延迟时间τ,通过关联维数方法、虚假临近点法等方法确定嵌入维数m;另一种观点认为时间延迟和嵌入维数是相互关联的,应该同步确定,这种观点下的最典型方法是C-C方法[9]。

对于原始混沌时间序列{x(i),i=1,2,3,...,N},以时间延迟τ和嵌入维数m进行相空间重构得:

1.2 临近点的常见选取方法

1.2.1 传统欧氏距离法

最传统的临近点选取方法是欧式距离法,即根据相点间的欧式距离,在给定的γ邻域空间内选取与中心相点距离最近的几个相点作为参考点。

其中Xi是相空间中相点,XM是预测中心点,i≠M, γ为待定参数。

只追求欧式距离上的临近而没有考虑临近点演化趋势的近似,在经过几次迭代后临近点可能会偏离预测点的轨道,出现“伪临近点”。如图1,设预测中心点XM的临近相点为XM1、XM2,其中:

XM的下一步演化相点为XM+1;XM1的下一步演化相点分别为XM1+1;XM2的下一步演化相点为XM2+1。虽然单步欧式距离上XM2与预测中心点XM更近,但是经过一步演化后XM2演化轨道与预测中心点XM的演化轨道明显偏移,因此若将XM2作为临近相点,势必影响到模型的预测精度。

图1 “伪临近点”示意图

此外,临近点的数量与邻域半径γ的取值标准以及预测中心点的空间位置有着直接的关系。孟庆芳[10,11]利用统计学中的信息准则研究了不同临近点数目对模型预测效果的影响,其思想是将满足信息准则达到最低时的临近点个数k作为标准。但是由于临近点的数量受到原始数据多少等因素的影响,因此临近点的数量只需在一定范围内即可,即临近点个数K∈[k-ε，k+ε]。

1.2.2 向量夹角余弦法

向量夹角余弦法是在传统欧式距离方法的基础上所提出的一种改进方法,此方法通过限制演化相点间的向量夹角来寻求相点间演化趋势近似的相点。

设预测中心相点XM的前一步演化相点为XM-1,XM的临近相点为XMi,其前一步演化相点为XMi-1,则夹角余弦为:

此方法就是通过限制δ的取值来筛选临近点,既考虑了相点间距离上的临近,又考虑到了演化趋势上的近似。但是将所有临近相点的演化趋势笼统地限制在同一个区间内,不能完全剔除“伪临近点”。如图2,XM1和XM2是预测中心点XM的临近相点,XM-1和XM+1分别是预测中心点XM的前一步演化点和下一步演化点;XM1-1,XM2-1和XM1+1,XM2+1分别是XM1,XM2的前一步演化点和下一步演化点, cosθM1M＜cosθM2M。对于临近点距离较远的相点XM2,即使方向夹角很小,经过多次演化后其演化轨迹也会与预测中心点的演化轨迹产生较大的偏移。显然,如果利用XM2进行局域预测将极大地降低模型的预测精度。

图2 “伪临近点”示意图

1.2.3 关联度法

关联度法[5]是将灰色理论与混沌时间序列相结合而提出的一种常用的临近点选取方法,通过计算参考相点与预测中心相点间的关联度来选取临近点,一定程度上解决了传统欧氏距离方法不能反映相点各维分量对预测影响的不足。设相空间中相点Xi的第k维元素为:

则相点Xi与相点XM之间的关联度

关联度法仍然存在不足之处,在进行数据标准化过程中,会造成下限参数的丢失,即因此无法体现下限参数对关联度的影响[12]。

2 基于李雅普诺夫指数的临近点选取方法

混沌时间序列具有初值敏感性的特点,即使初始点有微小的变化,其产生的两个轨道之间的距离会呈李雅普诺夫指数分离。混沌时间序列之间的相关性随着时间的变化而呈李雅普诺夫指数衰减。因此经过相空间重构之后,相点的各维分量对预测的影响是不同的,所以应根据时间间隔以及相点间各维衰减程度的不同,对各维分量的预测贡献度进行合理加权。本文在文献[12-14]的基础上,对临近点的选取方法做进一步的改进。

通过李雅普诺夫指数和延迟时间构造权系数对欧式距离进行修正:

ωi(n)是相点Xi的第n维分量的权重,n=1,…,m; ωi(n)=e-(m-n)λτ。

传统关联度方法在经过数据标准化后,无法体现下限参数对关联度的影响,造成部分信息的丢失。为了解决以上不足,利用改进后的欧氏距离对传统关联度方法进行修正,得到距离关联度:

其中,d(XMi,XM)通过式(5)计算。

综合向量夹角余弦和距离关联度,弥补单一评价指标描述相点间近似程度存在片面性的不足:

其中δ为约束参数;γ(XMi,XM)可描述相点间空间位置的近似程度;cosθMiM可描述相点间演化趋势的近似程度。

对于不同的混沌时间序列,重构后的相点演化趋势与其前S步相点存在相关性,仅根据相点间的单步演化关系不能完全剔除“伪临近点”,因此通过追踪前S步相点的演化趋势,对式(7)进行修正。

设相点XMi是XM的临近相点,XMi-S-1和XMi-S分别是XMi的前S-1步和前S步演化相点,XM-S-1和XM-S分别是XM的前S-1步和前S步演化相点,则其构成的向量夹角cosSθiM为:

第S步的评价函数为:

进而得到S步演化相点评价函数:

若r=0,则规定ωS=1;λ为最大李雅普诺夫指数。评价函数值小于δ的相点被视为“伪临近点”予以剔除,而δ的取值根据原始数据和模型的预测精度要求确定。

修正后的式(10),同时兼顾了相点间空间位置以及相点间演化趋势,并根据演化相点的相关性,通过追踪前S步相点的演化趋势进一步剔除“伪临近点”,因此可利用式(10)选取临近点。

3 实验仿真

为了检验选取的临近点对模型预测效果的影响,本文通过Lorenz方程x分量产生的混沌时间序列对原方法和改进方法进行对比检验。Lorenz方程为:

取初值x(0)=-1，y(0)=0，z(0)=1,参数a=16，b=4，c= 45.92,时间步长为0.01。

由Lorenz方程x分量产生的第10001到13010个数据,前3000个数据作为拟合数据,后10个作为检验数据。

选取均方误差(MSE)作为性能评价指标,其公式如下式:

经计算,混沌时间序列的延迟时间τ=10,嵌入维数m=6。对原始时间序列进行相空间重构后,分别利用传统方法和改进方法选取临近点,并采用局域平均法和加权一阶局域法对样本进行递归多步预测。

利用改进方法选取临近点,取S=3,r=4,约束参数δ=0.85,IMiM值小于0.85的相点视为“伪临近点”,予以剔除。采用局域平均法和加权一阶局域法对样本进行递归多步预测。实验结果如图3和图4所示。

图3 局域平均法预测误差对比图

图4 加权一阶局域法预测误差对比图

由图3可知,改进的方法和关联度方法的预测均方误差总体相对平缓,并且经过改进的临近点选取方法,其预测误差较其他方法有明显的降低,说明改进后的方法,可有效筛选临近点,提高局域法预测精度。而从图4和表1可以看出,基于不同的临近点选取方法的一阶加权局域预测法,随着预测步数的增加其预测均方误差均呈现先下降后上升的趋势,当预测步数小于5步时,改进方法的均方误差略高于传统方法,但是随着预测步数的增加其预测效果好于传统方法。

表1 不同方法间的误差对比

4 结论

本文根据混沌时间序列具有初值敏感性的特点,通过李雅普诺夫指数构造权系数对传统欧氏距离进行改进,利用距离关联度和向量夹角余弦的平均值对相空间中相点间的空间关系和演化趋势进行综合评价,并考虑到单步演化关系不能完全剔除“伪临近点”的不足,根据演化相点的相关性,通过向追踪前S步相点演化趋势,提出了基于李雅普诺夫指数改进的临近点选取方法。利用Lorenz方程x分量产生的混沌时间序列进行仿真实验,结果表明改进后的预测精度比其他传统方法有了明显提高,改进后的方法选取临近点的合理性和有效性,为混沌时间序列的局域法的应用打下了坚实基础。

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(责任编辑/亦民)

N941.7

A

1002-6487(2016)20-0012-04

石鸿雁(1962—),女,辽宁沈阳人,博士,教授,研究方向:时间序列分析。魏俊达(1990—),男,黑龙江哈尔滨人,硕士研究生,研究方向:时间序列分析。