硬化材料正向螺旋挤压的上限解法

张 黔， 彭炎荣， 罗文波

(湘潭大学 土木工程与力学学院，湖南 湘潭 411105)



硬化材料正向螺旋挤压的上限解法

张 黔， 彭炎荣， 罗文波*

(湘潭大学 土木工程与力学学院，湖南 湘潭 411105)

基于一个运动学许可速度场，用上限理论分析了硬化材料轴对称螺旋挤压过程的塑性成形问题，将理论解与实验结果进行比较发现用上限理论分析所得的结果是真实解的上限.分析变形挤压力与各个参数的关系，结果发现：在挤压比一定时，半锥角有一个最佳值使得挤压力最小；挤压力随着挤压比、材料硬化指数、库伦摩擦系数、剪切摩擦系数及模具各个部分的长度的增加而增加.综合各个影响挤压力的因素，发现挤压比对挤压力的影响最为显著.与理想塑性材料上限理论分析相比，考虑材料硬化特性所得出的上限解适用范围更为广泛.

上限理论；加工硬化；轴对称螺旋挤压；塑性成形

提高材料的力学性能以满足不断增长的社会需求是当前材料科学研究的重要课题.通过剧烈塑性变形促使晶粒细化是改善材料性能的重要途径.到目前为止，已提出多种细化晶粒的塑性变形新技术和新工艺，例如：等通道角挤压(ECAP)、累积轧制(ARB)、反复挤压(CEC)、高压扭转(HPT)[1]等等.近几年来又在正挤压技术基础上发展了一种螺旋挤压新工艺(AFSE).在坯料从锥形凹模中挤出后，立即进入一个带螺旋槽的凹模作螺旋运动(图1).通过螺旋运动给坯料增加剪切应变分量，从而达到更好的晶粒细化效果.螺旋挤压工艺方法简单，装置简易，很有发展前景.

为了深入了解轴对称螺旋挤压过程中材料的受力与变形情况、金属的流动规律及其与各种影响因素的关系，国外学者KHODDAM、FARHOUMAND和HODGSON[2～4]等从理论和试验方面进行了细致的研究，用上限法求得螺旋挤压变形与挤压力的上限解.不过他们的分析都将所研究的材料视为理想塑性材料，没有考虑材料变形硬化的影响.本文将材料的硬化性能(例如σ=Bεn)引入上限理论，用来分析硬化材料的轴对称螺旋挤压过程，使分析方法更加完善，求得的上限解更加合理，更能有效地指导生产工艺与模具设计.

1 上限法原理

上限法是针对具体的塑性变形问题，依其材料流动情况设计一个合适的运动学许可速度场(必须满足速度边界条件、变形体内连续和体积不变条件)，利用由虚功原理和最大塑性功耗原理得出的上限原理基本公式[5]：

(1)

上限理论已经证实：真实变形需要的功率一定小于或等于按运动学许可速度场变形所需的功率J*.因此，根据(1)式求得的功率J*即可确定塑形变形所需载荷的近似解P.显然，该近似解P肯定大于或等于实际变形所需的真实载荷，也就是说，近似解P就是真实载荷的上限值.许可速度场设计得愈合理，近似解P就愈接近真实载荷，计算精度就愈高.

针对图1所示模具中进行的锥形模与螺旋模联合挤压，本文将两个部分分开来研究.

2 锥形模正挤压段的求解

2.1 锥形挤压段的速度场

Γ1：

Δv1=v0sinθ，

(2)

Γ2：

(3)

Γ3：

(4)

(5)

(6)

将式(5)代入式(6)得到等效应变εi为：

(7)

式中:r2=R0/sinα，r2为球面Γ2的半径.

(8)

(9)

(10)

由式(10)可求得界面Γ3上的平均等效应变：

(11)

2.2 硬化材料锥形挤压力的上限解

(1) 消耗功率

① 塑形变形功率

(12)

(13)

于是，整个变形区的塑性变形功率W为：

(14)

式中dV=2πrsinθ·rdθ·dr.

② 各界面上速度不连续消耗功率

Γ1：

(15)

Γ2：

(16)

Γ3：

(17)

(2) 总消耗功率

设外部挤压力为F1，总消耗功率为J1，利用能量守恒定律有：

J1=F1V0=W+W1+W2+W3.

(18)

(3) 挤压力

由式(18)可求得挤压力F1：

(19)

3 螺旋挤压段的求解

螺旋挤压段模具进口和出口的半径均为r0，即挤压断面收缩率为零.图3所示螺旋段凹模可分为三个区域：容器区、锥环区和槽套区，长度分别为l1、l2、l3.螺旋凹模挤压孔径r0与前段锥形正挤压模具出口半径相同，可见挤压件直径没有改变，不存在断面收缩引起的应变.设坯料外表面r=r0处任意一点的速度为Vs，Vs与挤压轴向夹角为β.

3.1 螺旋挤压段的速度场

容器区和槽套区均为刚性区，刚性区内试件以纵向速度v0作刚性移动.锥环区为塑性变形区，设塑性区内任意一点的轴向速度分量Vz等于v0，即

Vz=v0,

(20)

径向速度分量Vr为零，即

Vr=0,

(21)

设由塑性区入口(z=z1处)到出口(z=z2处)螺旋角β沿纵向坐标线性变化，由0逐渐增大到γ，即

(22)

由轴心r=0到外表面r=r0处，切向速度分量Vθ也是变化的，设周向速度分量Vθ沿径向的变化规律是随半径线性增大，即

(23)

(24)

于是，可求得锥环区内任意点的等效应变ε″i为：

(25)

3.2 硬化材料螺旋挤压段挤压力的上限解

(1) 消耗功率

① 塑形变形功率P

(26)

(27)

于是得整个变形区的塑性变形功率P：

(28)

式中dV=2πrdr·dz.

② 速度间断面消耗的功率Pd

试件在进入锥环区时，纵向速度不变，切向速度会发生突变，其间断值为：

(29)

按Mises屈服准则进行计算，速度间断面上的摩擦剪应力τ=mk，其中m为剪切摩擦系数，k为剪应力屈服极限，由此得到速度间断面消耗的功率：

(30)

③ 摩擦消耗功率Pf

摩擦消耗的功率包含容器区、锥环区和槽套区三个部分，其中容器区和槽套区所受的摩擦力为库伦摩擦力，摩擦系数为μ；锥环区所受摩擦力为剪切摩擦力,τ=mk，m为剪切摩擦系数.在界面上半径方向的正应力σr是未知的.为了简化分析，我们假定容器区初始正应力平均值取σr=0.3k.下面对各个部分的摩擦功率分别进行计算：

容器区Γ5：

(31)

锥环区Γ6：

(32)

槽套区Γ7：

(33)

总摩擦消耗功率：

Pf=Pf′+Pf″+Pf‴=

(34)

从图3中可以看出，式中z1、z2-z1、z3-z2的数值分别为l1、l2、l3.

(2) 总消耗功率

设外部挤压力为F2，总消耗功率为J2，利用能量守恒定律有：

J2=F2v0=P+Pd+Pf

(35)

(3) 挤压力

由式(35)可得挤压力F2：

(36)

4 总挤压力

将锥形段与螺旋段综合起来，求得其总挤压力F为：

(37)

5 实例计算

以铅为例，取材料参数B=12 MPa，硬化指数n=0.01.模具尺寸：l1=20 mm，l2=0.3 mm，l3=19.7 mm.挤压速度v0= 0.02 mm/s，剪切摩擦系数m=0.4.考察以下两种情况，实验1：半径r0=9 mm，螺旋角γ=30°；实验2：半径r0=13 mm，螺旋角γ=23°.

KHODDAM等人在室温下对不同尺寸的圆柱形铅试件在不同螺旋角的螺旋凹模中进行过试验[2]，测得的挤压力如图4所示.依式(36)计算所得挤压力的上限解结果也表示在图4中.从图4中挤压力的上限解与实验结果的对比可以看出：挤压力的上限解确实大于实际测得的挤压力，但是二者的误差不是很大，说明许可速度场设计合理.

6 分析与讨论

我们通过控制变量法来研究各参数对单位挤压力的影响.取参数值如下：料筒长度L=50 mm，锥形模挤出部分长度l1=20 mm，锥环段长度l2=0.3 mm，螺纹段长度l3=14.6 mm，黏滞摩擦系数m=0.14，库伦摩擦系数μ=0.24，材料参数B=50 MPa，σ0=26.858 MPa，k=22.93 MPa.

取螺旋角为γ=30°，硬化指数n=0.1，挤压材料初始半径R0=25.4 mm，挤压后半径r0=8.15 mm，将半锥角α作为变量，得到挤压力F与半锥角α的关系如图5所示.由图可知，在挤压比λ=9.7时，最佳半锥角为α≈30°.当半锥角超过60°时，挤压力急剧增加.挤压比一定时，半锥角越大，速度间断面上的剪切摩擦损耗越大.半锥角越小，锥形区摩擦面积越大，摩擦损耗越大.因此，在模具设计和实际生产中应根据挤压比在最佳值附近合理设计模具半锥角.

取螺旋角γ=30°，半锥角α=30°，挤压材料初始半径R0=25.4 mm，挤压后半径r0=8.15 mm，将硬化指数n作为变量，得到挤压力F与硬化指数n的关系如图6所示.从图中可以看出硬化指数小于0.2时，挤压力变化不明显，大于0.2后挤压力增大趋势明显.在生产实际中，可以根据加工材料的类型，对加工设备进行合理设计.

取半锥角α=30°，硬化指数n=0.1，挤压材料初始半径R0=25.4 mm，挤压后半径r0=8.15 mm，将螺旋角γ作为变量，得到挤压力F与螺旋角γ的关系如图7所示.由图可知，螺旋角在60°以下时，挤压力随螺旋角度的增加变化趋势较为缓和；而超过60°以后，随着挤压力的增加，挤压力急剧增大.在模具设计中，螺旋角宜设在60°以下，但也不宜过小，以防达不到细化晶粒的目的.

从式(37)中容易看出，库伦摩擦系数μ、剪切摩擦系数m及模具各个部分的长度l1、l2、l3对挤压力的影响都呈线性增加，在模具设计中应尽可能使模具光滑以降低摩擦系数，实际生产中可使用润滑剂来降低能耗.对于模具长度，在保证产品成形满足要求的前提下，适当选择，不应过长.

7 结 论

本文通过上限理论对硬化材料正向螺旋挤压过程中的塑性成形问题进行了分析.通过实验验证了上限理论对于求解加工硬化材料塑性成形问题的适用性.分析加工硬化材料轴对称螺旋挤压过程中挤压力与各个模具结构参数之间的关系，结果发现：在挤压比一定时，半锥角α有一个最佳值使得挤压力最小；螺旋角对挤压力的影响有一个相对平稳的阶段，达到一定值时挤压力才会急剧增加；挤压力随着挤压比λ、材料硬化指数n、库伦摩擦系数μ、剪切摩擦系数m及模具各个部分长度l1、l2、l3的增加而增加.综合各个影响挤压力的因素，发现挤压比对挤压力的影响最为显著.本文考虑硬化特性的上限法求解，相比于针对理想塑性材料进行的上限理论分析，适用范围更为广泛.参 考 文 献

[1] 郭炜, 王渠东. 大塑性变形制备超细晶复合材料的研究进展[J]. 锻压技术，2010(01):4-9.

[2] KHODDAM S, FARHOUMAND A, HODGSON P D. Upper-bound analysis of axi-symmetric forward spiral extrusion[J]. Mechanics of Materials，2011, 43(11): 684-692.

[3] KHODDAM S, FARHOUMAND A, HODGSON P D. Axi-symmetric forward spiral extrusion, a kinematic and experimental study[J]. Materials Science & Engineering A，2011, 528(3):1 023-1 029.

[4] KHODDAM S, FARHOUMAND A, HODGSON P D. A kinematics study of variable lead axisymmetric forward spiral extrusion[J]. Materials Science and Engineering A，2012, 550: 167-175.

[5] 吴诗惇. 挤压理论[M].北京：国防工业出版社, 1994.

责任编辑：罗 联

Upper Bound Analysis of Axisymmetric Forward Spiral Extrusion of Hardening Material

ZHANGQian,PENGYan-rong,LUOWen-bo*

(College of Civil Engineering and Mechanics, Xiangtan University,Xiangtan 411105 China)

Based on an admissible velocity field, the plastic forming problem of strain hardening material is analyzed by upper bound theory. A reasonable agreement between experimental results and the upper bound solution is observed.The relationship between deformation extrusion pressure and each structural parameter is analyzed. The results show that the optimum value of half cone angle has the lowest extrusion pressure, and the extrusion pressure increases with the extrusion ratio, material hardening exponent, coulomb friction coefficient, shear friction coefficient, and the length of each part. Extrusion ratio has the most significant factor on extrusion pressure. It turns out that the upper bound solution of the hardening behavior of material is of greater applicability.

upper bound theory; strain hardening; axisymmetric forward spiral extrusion; plastic forming

2015-12-10

国家自然科学基金项目(11572275)；湖南省研究生科研创新项目(CX2014B270)

罗文波(1969- )，男，湖南 湘乡人，博士，教授，博士生导师. E-mail:luowenbo@xtu.deu.cn

O344.5

A

1000-5900(2016)02-0009-07